1、数学 （ 文科）试卷 注意事项：本试卷分第卷 （ 选择题）和第 卷 （ 非选择题）两部分 考试时间为 分钟，满分 分 第卷 （ 选择题 共 分） 一、选择题：本题共 小题；每题分，共计 分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项正确 集合犃狓狓 狓 ，犅狓狓 ，则犃犅 ， 复数狕 犻 犻 （ 犻为虚数单位） ，则狕 狕在复平面对应的点在 第一象限第二象限第三象限第四象限 已知向量犪 （ 犿，） ，犫 （ 犿，犿） ，且犪 （ 犪 犫 ） ，则实数 犿的值为 双曲线 狓 犽 狔 犽 的焦距是 槡 与犽有关 某大型企业为了鼓励大学生创业举办了大学生创业大赛，并对于参赛团队设置了特等 奖、一等奖、二
2、等奖、三等奖、参与奖，获奖团队每队可获得相应金额的奖励，已知 获奖人数的分配情况如图所示，奖励金额分别为：特等奖 万元，一等奖 万元， 二等奖 万元，三等奖万元，参与奖万元，则下 列说法不正确的是 获得参与奖的团队最多 获得三等奖的总费用最高 平均奖励金额为 万元 奖励金额的中位数为 万元 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件犃为 “ 向上的点数是奇数” ，事件犅为 “ 向上的点数 不超过” ，则概率犘（ 犃犅） 函数犳（狓）（ 狓 狓） 狓的图像向右平移 个单位长度后得到函数犵（ 狓） 的 图像，则函数犵（ 狓） 在 ，上的单调递减区间为 ， ， ， ， ， ， ， ， 页 共 页 第 ）科文（学
3、数） （卷考联测自拟模 代时新北河 我国古代数学家提出的 “ 中国剩余定理”又称 “ 孙子定理” ，它在世界数学史上具有光 辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定 理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有 着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到 这 个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构 成数列 犪 ，那么此数列的项数为 某密封三棱柱三视图如图所示，若将内部注入水，且如图所示 位置放置时，液面高度为当此三棱柱的底面水平放置时， 液面的高为 已知函数犳（狓） 犲 狓， 狓 犲 狓
4、， 狓 烅 烄 烆 ，则函数犵（ 狓）狓 犳（狓） 的大致图象是 过椭圆狓 狔 上一点 犘分别向圆犆：（狓） 狔 和圆犆 ：（狓） 狔 作切线，切点分别为犕，犖，则犘犕 犘犖 的最小值为 已知函数犳（狓） 狓，狓 狓 狓，狓 烅 烄 烆 ， 若犳（ 狓）犽 狓有两个不等实根，则实数犽的取值范 围为 槡 犽或犽 犲 犽槡 槡 犽犽槡 或犽 犲 第卷 二、填空题：本题共小题，每题分，共计 分请把正确答案填写在答题纸相应的 位置上 已知定义在（，） 的函数犳（狓） 的导函数为 犳 （ 狓） ，若犳（犲 狓） 狓犲 狓，则 犳 （ ） 页 共 页 第 ）科文（学数） （卷考联测自拟模 代时新北河 直线
5、狓狔 与圆犆：狓 狔 狓 相交于犃，犅两点，则 犆 犃 犆 犅 犆 犃 犆 犅 在犃 犅 犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，若 犃， 犅， 犆成等差数 列，则 犅取最小值时，犮 犪 已知正三棱锥犘犃 犅 犆的外接球为球犗，已知犘 犃槡 ，犃 犅犅 犆犃 犆，点犇 在线段犃 犆上，且犃 犆犃犇，过点犇作球犗的截面，则所得截面圆面积的最小值为 三、解答题：本题共小题，共计 分 （ 本小题满分 分） 已知数列 犪狀 为等比数列，其前狀项和为犛狀，且犛 ，犛 （ ）求数列犪狀 的通项公式； （ ）若数列犫狀 满足犫狀犛狀 犪狀，求数列 犫狀 的前狀项和犜狀 （ 本小题满分 分） 如图，在以犘为
6、顶点，母线长为槡 的圆锥中，底面圆犗的直径长为，点犆在圆犗所在 平面内，且犃 犆是圆犗的切线，犅 犆交圆犗于点犇，连接犘 犇，犗 犇 （ ）求证：犘 犅平面犘 犃 犆； （ ）若犃 犆 槡 ，求点犗到平面犘 犅 犇的距离 （ 本小题满分 分） 新高考新规发布，多数省份采用 “ ”的形式，某省某校为了解高一新生对 “ 走班制”的态度，随机调研了 名学生，并将他们的意见进行了统计，得到了如 下的列联表： 赞同走班不赞同走班合计 女生 男生 合计 已知在被调研的 位同学中随机抽取人且抽到 “ 赞同走班”者的频率是 （ ）请将上面的列联表补充完整； （ ）根据上面的列联表判断能否在犯错误概率不超过 的
7、前提下认为 “ 对走班制 的态度与性别有关” ； 页 共 页 第 ）科文（学数） （卷考联测自拟模 代时新北河 （ ）现从参与调研且赞同走班的同学中，采用按性别分层抽样的方法选取人去参加 座谈会，若从这人中随机选人做一些前期准备工作，求恰好选到一名男生一 名女生的概率 （ 附）参考公式：犓 狀（犪 犱犫 犮） （ 犪犫） （犮犱） （犪犮） （犫犱） ， 其中犪犫犮犱狀 临界值表： 犘（犓 犽） 犽 （ 本小题满分 分） 设抛物线犆： 狓 狆 狔（狆）过点（，） （ ）求抛物线犆的标准方程； （ ）过点（ ，） 的直线犾交曲线犆于犕，犖两点，问：曲线犆上是否存在定点犘，使得 以点犕，犖为直径的
8、圆经过点犘，若存在，求出点犘坐标，若不存在，说明理由 （ 本小题满分 分） 已知函数犳（ 狓） 犪 狓 犲 狓 狓 狓， 其中犪 （ ）求函数犳（狓） 的单调区间； （ ）若犪犲 ，证明：当狓时， 犳（狓） 请考生在第 、 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分解答时请 写清题号 （ 本小题满分 分）选修：坐标系与参数方程 在直角坐标系狓 犗 狔中，曲线犆的参数方程为 狓 狋 狋 狔 狋 狋 烅 烄 烆 ， （ 狋为参数） ，以坐标原点犗为极 点，狓轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线犾的极坐标方程为 槡 （ ）求犆和犾的直角坐标方程； （ ）求犆上的点到犾距离的最小值 （ 本小题满
9、分 分）选修：不等式选讲 已知函数犳（ 狓）狓 狓 （ ）若对于任意的狓，犳（狓）犿 恒成立，求实数犿的取值范围； （ ）记（） 中实数犿最大值为犕，正实数犪，犫，满足犪犫犕，证明：犪犫犪 犫 页 共 页 第 ）科文（学数） （卷考联测自拟模 代时新北河 数 学（ 文科 ）试 卷答 案数 学（ 文科 ）试 卷答 案 1.【答案】B【解析】 1,5A ，1, 1B 则1, 1,5AB ，故选 B. 2.【答案】B【解析】 34(34 ) =43 iii zi ii i ，则| =4+3513zzii ，在复平面对应点在第二象限，故选 B. 3.【答案】C【解析】(2,)abm ，由a /()ab
10、 得 2 4m ，所以2m ，故选 C. 4.【答案】C【解析】 22 22 +1 124 xy kk ，即 22 22 1 124 xy kk ，则 222 12+416ckk ，所以 =4c，则焦距是 8. 故选 C. 5.【答案】D【解析】1-1-5-15-35=44，故 A 正确；设获奖团队共有a组，则特等奖总费用为 50a1=0.5a，一 等奖总费用 20a5=a，二等奖总费用 10a15=1.5a，三等奖总费用 5a35=1.75a，参与奖总费用a44=0.44a， 故三等奖总费用最高， 故 B 正确； 平均奖励金额为 501+20 5+10 15+535+ 144=5.19， 故
11、 C 正确； 1+5+15 =21，1+5+15+35=56，故奖励金额的中位数为 5 万，故 D 不正确. 所以选 D. 6.【答案】B【解析】AB “向上的点数为 1,2,3,5”，故 42 () 63 P AB ，故选 B. 7.【答案】A【解析】 22 ( )(sincos )2cos=sin2cos22f xxxxxx，即( )2sin(2)2 4 f xx ，所以 ( )2sin(2)2 4 g xx ， 7 2, 444 x ，所以当 3 2, 422 x ，即 37 , 88 x 时( )g x单调递减. 故选 A. 8.【答案】C【解析】由数能被 ? 除余 ? 且被 ? 除余
12、 ? 的数就是能被 ? 除余 ? 的数，故2(1)151513. n ann 由15132020 n an ，得 8 135, 15 nnN 故此数列的项数为：?故选 C 9.【答案】C【解析】设三棱柱底面面积为 S，水的体积为 V，当此三棱柱的底面水平放置时，液面的高为 h， 则 3 4 4 VSS h，得=3h，故选 C. 10.【答案】A【解析】函数( )f x为偶函数， 2 yx为偶函数，故( )g x为偶函数，排除 B,D，又0ln4x时( )0f x ， 所以( )0g x ，排除 C，故选 A. 11.【答案】B【解析】 22 PMPN= 2222 1212 |4(|1) |5P
13、FPFPFPF 根据椭圆定义 12 | =212PFPFa，根据不等式 222 2()()abab得 22 12 2(| )144PFPF 所以 22 12 |72PFPF，所以 22 |67PMPN当且仅当 12 | |PFPF时取等号.故选 B. 12. 【答案】D【解析】作出( )yf x图像： 设过原点的直线ykx与lnyx的切点为 00 (,ln)xx，斜率为 0 1 x ， 则切线方程为 00 0 1 ln()yxxx x ， 把?0,0?代入，可得 0 ln1x ，即 0 ex ，切线斜率为 1 e ， 设 2 22yxx与ykx相切，则 2 (2)20xk x， 2 =(2)8
14、0k，得 22 2k ，由图可得实数k的取值范围为 1 22 2= e kk或. 故选 D. 13.【答案】2【解析】(e )e xx fx，则( )lnf xxx，则 1 ( )=1fx x ，所以(1)=2 f . 14.【答案】? ?【解析】设圆心 ? ?,0?到直线的距离为 d， 则2CACBCACBdAB .?= | 204| 2 2 ，则 22 | 22 2ABrd，4 2CACBCACB . 15.【答案】1【解析】依题知 222 2sinsinsinBAC，由正弦定理得 222 2bac 所以 22222 11 cos=() 2442 acbacac B acacca ，当且仅
15、当= ac ca ，即=1 c a 时取等号. 16.【答案】 5 4 【解析】显然过 ? 作球 ? 的截面中，面积最小的是垂直于 ? 的截面，设三棱锥的外接球半径为 ?， 2 22 3(3)RR，解得 ? ?， O 到 AC 的距离 2 97 4 44 d ，所以 2 711 |1 44 OD 垂直于 ? 的截面半径设为 ?，则? 22 115 2|4 44 OD， ? ? ? 5 4 ，即截面最小面积为 5 4 . 17.【解析】 （1） 363 3 8 SS q S ，所以=2q.? ?，则 111 2414aaa，得 1=2 a.故? ? （2）由于：2n n a ,则 1 2(21)
16、 22 2 1 n n n S , 1 2 1 log22. n nn n bSn a 231 (22 1)(222)(22) n n Tn 2341 (2222)2(123) n nn 4(21)(1) 2 2 12 n n n n 22 15 24 22 n nn 18. 【解析】 （1）因为 ? 是圆 ? 的直径，? 与圆 ? 切于点 ?，所以 ? ? ?. 又在圆锥中，? 垂直底面圆 ?，所以 ? ? ?，而 ? ? ? ?，所以 ? ?平面 ?，从而 ? ? ?. 在三角形 ? 中，? ?，所以 ? ? ?，又 ? ? ? 所以 ? ?平面 ?. （2）因为 ? ?， 2 3 3 A
17、C ，? ? ?，所以在直角ABC中， 6 ABC .又 ? ? ? ?，则OBD是等腰三角 形，所以3BD ， 123 1 1 sin 234 OBD S .又 ? ? ?，所以 1515 3 224 PBD S 设点 ? 到平面 ? 的距离为 ?，由 P OBDO PBD VV ，即 11 33 OBDPBD SPOSd ，所以 5 5 d . 19. 【解析】 （1）因为在被调研的 100 名同学中随机抽取 1 人且抽到“赞同走班”者的概率是 3 4 ，所以“赞同走班”的同学共 75 人，根据表格知女生应有 30 人， 列联表补充如下： 赞同走班不赞同走班合计 女生301545 男生45
18、1055 合计7525100 （2）依据表中数据，易得?的观测值为 2 100 (30 1045 15) 3.0302.706 75 25 45 55 k . 因此，在犯错误概率不超过 0.10 的前提下，能够判断“对走班制的态度与性别有关”. （3）由题意，得赞同走班的女生与男生人数之比为 2:3，从中选 5 人，则女生 2 人，男生 3 人，女生记为 A,B，男生记为 a,b,c， 从中随机选 2 人，基本事件有：A,B， A, a， A, b ， A, c ， B, a， B, b ， B, c ， a, b ， a, c ， b, c 共 10 种，记：事件 A:“恰好选到一名男生一名
19、女生”包含基本事件 A, a， A, b ， A, c ， B, a， B, b ， B, c 共 6 种，所 以 63 ( ) 105 P A . 20.【解析】 （1）抛物线 ? ? ? ? ? 0?过点（2,1） ，则 ? ?，得 ?. 曲线 ? 的标准方程为? ?. （2）依题知直线 l 存在斜率，设方程为(2)5yk x，由 2 (2)5 4 yk x xy 得 2 48200xkxk 设 ?,?，?,? ? ?，?0,?0?, 12 12 4 820 xxk x xk 依题知 2222 0012 0102 ()()()()0 4444 xxxx PM PNxxxx ，化简得 2 0
20、12012 ()16xxxxx x , 即 2 00 4840xkxk，整理得 2 00 44 (2)0xk x 所以对于任意的 k， 0=2 x满足上式，代入 2 4xy得 0=1 y，所以曲线 ? 上存在定点 ?（?,?）满足条件. 21.【解析】 （1）? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? 当 ? ? 0 时，令? 0 得? ?， 2 lnxa， 当 ln? ?，即 ? ? 时，? ? 0 恒成立，? ? 在 ? ?, ? 上增； 当 ln? ?，即 0 ? ? 时，令? ? 0，得 ? ? ? 或lnxa， 令? 0，得 ln? ? ?， ? ? 在 ? ?,ln? 上增，在
21、ln?,? 上减，在 ?, ? ? 上增； 当 ln? ? ? 即 ? ? ? 时，令? ? 0，得 ? ? ln? 或 ? ?，令? 0，得 ? ? ln?， ? ? 在 ? ?,? 上增，在 ?,ln? 上减，在 ln?, ? ? 上增； 综上，当 ? ? 时，? ? 的单调增区间为 ? ?, ? ； 当 0 ? ? 时，? ? 的单调增区间为 ? ?,ln? ， ?, ? ? ，单调减区间为 ln?,? ； 当 ? ? ? 时，? ? 的单调增区间为 ? ?,? ， ln?, ? ? ，单调减区间为 ?,ln? . （2） 2 11 ( )(1) 22ee xx axa f xxxxx，
22、 当0x 时，只需证 1 10 2ex a x .当 e 2 a 时， 1e1 11 22e2e xx a xx 令 e1 ( )1 22ex g xx， e1ee ( ) 22e2e x xx g x ( )g x在(0,1)单调递减，在(1,+ )单调递增，( )(1)0g xg. 1 10 2ex a x 成立，所以当0x 时，( )0f x 成立. 22.【解析】（1） 由 2 2 1 1 t x t 得：2 1 0,( 1,1 1 x tx x ， 又 2 2 2 2 16 1 t y t ， 22 2 1 16 1 4 1144 1 1 1 x x yxxx x x 整理可得C的直
23、角坐标方程为： 2 2 1,( 1,1 4 y xx 又cosx，sinyl的直角坐标方程为：2 3110xy . （2）设C上点的坐标为 cos ,2sin 则C上的点到直线l的距离 4sin11 2cos2 3sin11 6 77 d 当sin1 6 时，d取最小值，则 min 7d 23.【解析】(1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =1， 当且仅当 ? ? ? ? ? 0 时取等号，所以 ? ? ? ?，即 0 ? ?； (2)由(1)知 ? ? ? ?， 111 111 =()()() 1 22 abab ab abbababa 1 21=2 2 a b b a 当且仅当 ? ? 时取等号，所以 ? ? ? ? ?.
