1、 开卷教育联盟开卷教育联盟 2020 届全国高三模拟考试（五）届全国高三模拟考试（五） 数学（理科）数学（理科） 一、选择题一、选择题 1.设 1Ax x， 2 20Bx xx，则() R C AB（ ） A. 1x x B. 11xx C. 11xx D. 12xx 【答案】B 【分析】先求集合 B,再利用补集及交集运算求解即可 【详解】由题得 R |1C Ax x， | 12Bxx ，所以 | 11 R C ABxx . 故选B. 【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题 2.已知i为虚数单位，复数z满足 1 iiz，则z （ ） A. 1 2 B. 2 C.
2、2 2 D. 1 【答案】C 【分析】根据复数的除法求出复数z的代数形式，然后再求出z即可 【详解】1 iiz， (1)11 1(1)(1)222 iiiii z iii ， 22 112 ( )( ) 222 z 故选 C 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题 3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90 后从事互 联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90 后指 1990年及以后出生，80后指 1980-1989年之间出生，80 前指 1979年及以前出生. A. 互联网行业
3、从业人员中 90 后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【答案】D 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网 行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定不 80后多，即可求解. 【详解】在 A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中 90 后占 56%，所以 是正确的； 在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 5
4、6% 39.6%22.176%20%，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的； 在 C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到： 13.7% 39.6%9.52%，互联网行业从事运营岗位的人数 90后比 80后多，所以是正确的； 在 D 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行 业中从事技术岗位的人数 90 后不一定不 80后多，所以是错误的. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着 重考查了推理与运算能力，属于基础
5、题. 4.若等差数列 n a的公差为2，且 5 a是 2 a与 6 a的等比中项，则该数列的前n项和 n S取最小值时，n的值等 于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【详解】因为 5 a是 2 a与 6 a的等比中项， 2 2 5262222 689aa aaaaa ， 所以通项公式为 2 2922213 n aandnn ， 令0 n a 得6n，所以该数列的前n项和 n S取最小值时n的值等于 6 5.函数 2 ( )1 cos 1 x f xx e 图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数 f x的奇偶性，可排除
6、A、C，再判断函数 f x在区间0, 2 上函数值与0的大小，即可得出 答案. 【详解】解：因为 21 ( )1 coscos 11 x xx e f xxx ee ， 所以 111 ()coscoscos 111 xxx xxx eee fxxxxf x eee ， 所以函数 f x是奇函数，可排除 A、C； 又当0, 2 x ， 0f x ，可排除 D； 故选：B. 【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题. 6.已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的一条渐近线l的倾斜角为 3 ， 且C的一个焦点到l的距离为3， 则双曲线C 的方程为（ ） A. 22 1 124 xy
7、 B. 22 1 412 xy C. 2 2 1 3 x y D. 2 2 1 3 y x 【答案】D 【分析】 根据题意求出参数, a b的值后可得双曲线的方程 【详解】由 22 22 0 xy ab 可得 b yx a ，即渐近线的方程为 b yx a ， 又一条渐近线l的倾斜角为 3 ， 所以tan3 3 b a 因为双曲线C的一个焦点( ,0)c到l的距离为3， 所以 22 | 3 bc b ab ， 所以1a ， 所以双曲线的方程为 2 2 1 3 y x 故选 D 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，解题的关键是根据题意求出参数, a b的值，解题是要注意将条件中给 出的数据进行适当
8、的转化，属于基础题 7.已知 4 log 0.2a ， 2 log 3b ， 3 log 2c ，则a，b，c的大小关系是（ ） A. abc B. cba C. acb D. cab 【答案】C 【分析】 根据对数函数的单调性比较大小即可； 【详解】解：因为 44 log 0.2log 10，即0a ， 22 log 321logb ， 333 log 1log 2log 3即01c， 所以acb 故选：C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 8.中国诗词大会亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团 齐声朗诵，别有韵味因为前四场播出后反响很
9、好，所以节目组决定将进酒 、 山居秋暝 、 望岳 、 送 杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒与望岳相邻，且将进酒 排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词 的排法有（ ） A. 144 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 72 种 【答案】C 【解析】采取“捆绑法”、“插空法”，利用分步计数乘法原理可得结果. 详解：将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有 3 3 6A 种排法，再将山 居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在3个空里（最后一个空不排） ，有 2 3 6A 种排法，则后六场的排法 有6 636 种
10、，故选 C. 点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”；（2） 不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列， 然后除以有限制元素的全排列数. 9.设点O在ABC的内部,且有 3 2 ABOBOC,则ABC的面积与BOC的面积之比为（ ） A 3 B. 1 3 C. 2 D. 1 2 【答案】A 【分析】 先根据向量加法平行四边形法则化简条件得 3ABOD ，再根据面积公式求比值. 【详解】 如图，取BC中点D， 1 3 EBAB，则 2OBOCOD ， 3 3 2 ABOBOCOD， 1
11、 3 EBAB，EB OD ， 3 ABCABC BOCBEC SS SS . 故选 A. 【点睛】本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力 10.已知数列 n a的通项公式是 6 n n af ， 其中 sin()0| 2 f xx ，的部分图像如图 所示， n S为数列 n a的前n项和，则 2019 S的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 2 D. 1 【答案】B 【分析】 由三角函数的周期和最小值点可求得 sin 2 3 fxx ，从而得到 n a，根据三角函数周期可知 n a是 以6为最小正周期的周期数列，求得 6 0S 后，可将 2019 S化为 6123 336Saaa
12、，代入求得结果. 【详解】由函数图象可知： 7 41234 T ，即： 2 T 2 代入 7 , 1 12 得： 7 sin 21 12 73 2 62 k ，kZ 2 3 k ，kZ 又 2 3 sin 2 3 fxx sin 633 n nn af 2 6 3 n a是以6为最小正周期的周期数列 则： 1 23 sin 32 a ， 2 sin0a， 3 43 sin 32 a ， 4 53 sin 32 a ， 5 sin20a， 6 73 sin 32 a 6 0S 2 0 1 96123 3360SSaaa 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式、周期数列前
13、n项和的求解问题，关键是能够通过三 角函数的周期确定数列的周期，从而将所求和转化为一个周期内的几项和的求解问题. 11.定义在 R上的函数 ( )f x满足：( )( )1f xfx ，(0)4f，则不等式( )3 xx e f xe 的解集为（ ） A. (0,+) B. (,0)(3,+ ) C. (,0)(0,+) D. (3,+ ) 【答案】A 【分析】 由( )3 xx e f xe变形得， ( ) 1 30 x ef x ，构造函数( ) ( ) 1 3 x g xef x，利用导数得其单调性， 即可得到不等式的解集 【详解】由( )3 xx e f xe变形得， ( ) 1 30
14、 x ef x ，设( ) ( ) 1 3 x g xef x，所以原不等式等价 于 ( )(0)g xg ， 因为( ) ( ) 1( ) ( )( ) 10 xxx g xef xefxef xfx，所以( )g x在定义域R 上递增，由 ( )(0)g xg ，得0x，故选 A 【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学 建模能力 12.在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是 BC 的中点， 点 P 是正方形 DCC1D1面内(包括边界)的动点， 且满足APDMPC，则三棱锥 PBCD 的体积最大值是( ) A. 3
15、6 B. 24 C. 18 3 D. 12 3 【答案】D 【分析】 要求三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大，通过轨迹得到高的最大值 【详解】易知APDMPC，则 PDAD PCMC 2， 欲使三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大， 通过坐标法得到动点P运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值2 3， 所以 11 6 62 312 3 32 P BCD max V . 故选D 【点睛】本题考查了几何体的体积问题，在计算过程中先找出以哪个三角形为底面，以哪条线为高，通过 轨迹求出高的最大值，继而求出体积最大值 二、填空题二、填空题 13.若实数 x，y满足： 22 1 1 yx yx yx ，
16、则3zxy的最大值是_； 【答案】5 【分析】根据可行域求z的最大值 【详解】由题意作图 可知，在点（3,4）处取得最大值，5z 【点睛】本题考查线性规划，属于基础题 14.2018年 1月 31 日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在 19时 48 分，20 时 51分食既，21时 29 分食甚，22时 07 分生光，23 时 11 分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红 月亮，全食阶段的“红月亮”在食既时刻开始，生光时刻结束.小明准备在 19：55 至 21：56之间的某个时刻 欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过 30分钟的概率是_. 【答案】 57
17、121 【分析】 根据几何概型长度型计算公式进行求解即可. 【详解】小明准备在 19：55 至 21：56之间的某个时刻欣赏月全食，时长为 2 小时 1 分钟，即 121 分钟，等 待“红月亮”的时间不超过 30 分钟，应该在 20：59至 21：56 之间，时长为：57 分，因此他等待“红月亮”的 时间不超过 30 分钟的概率是 57 121 . 故答案为： 57 121 【点睛】本题考查了几何概型长度型，考查了数学运算能力. 15.我国南宋数学家杨辉在所著详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律， 现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2
18、，1，1，3，3，1，1，4，6， 4，1，记作数列 n a，若数列 n a的前n项和为 n S，则 67 S_ 【答案】2048 【分析】 令 每 行的 序数 与该 行的 项 数相 等可 得第k行 最 后 项在 数列 n a中 的 项数 为 1 2 k k ； 根 据 11 67 22 k kk k 可求得12k ，进而可确定 67 a位于第12行第1个；根据每一行数字和的规律可 知 0121 16 00 17 2222SC，计算可得结果. 【详解】使得每行的序数与该行的项数相等，则第k行最后项在数列 n a中的项数为： 1 2 k k 设 67 a位于第 * k kN行，则： 11 67
19、22 k kk k ，解得：12k 且第11行最后一项在数列 n a中的项数为：11 1266 2 67 a位于杨辉三角数阵的第12行第1个 而第一行各项和为 0 12 ，第二行各项和为 1 22 ，第三行各项的和为 2 42 依此类推，第k行各项的和为 1 2k 11 0121001 1716 1 2 2222122048 1 2 CS 本题正确结果：2048 【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前n项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征， 确定第n项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题. 16.设椭圆C： 22 22 10 xy ab ab
20、 的左、右焦点分别为 12 ,F F，其焦距为2c，点( , ) 2 a Q c在椭圆的内 部，点P是椭圆C上的动点，且 112 5PFPQFF恒成立，则椭圆离心率的取值范围是_ 【答案】 12 ( ,) 42 【解析】 点 Q（c， 2 a ）在椭圆的内部， 2 2 ba a ，2b2a2a22c2 2 2 c a |PF1|+|PQ|=2a|PF2|+|PQ| 又因为|QF2|+|PQ|PQ|PF2|QF2|，且|QF2|= 2 a ， 要|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立，即 2a|PF2|+|PQ|2a+ 2 a 5 2c, 5 10c 2 a ， 1 4 c a ，则椭圆离心率
21、的取值范围是 12 , 42 故答案为： 12 , 42 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式， 再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 三、解答题三、解答题 17.在ABC中，内角A BC， ， 的对边分别是abc， ，且满足 tan tan2 Aa Cba (1)求角 C； (2)设D为边AB的中点，ABC的面积为3 3，求边CD的最小值 【答案】 （1） 3 C ； （2）3 【分析】 (1) 先用正弦定理将已知等式
22、两边都化为正，余弦角的关系，再根据ABC对其进行化简，计算 可 得 角 C (2) 由 三 角 形 的 面 积 可 得12ab， 用 余 弦 定 理 将 边 CD 表 示 出 来 ， 再 根 据 22 2,(0,0)abab ab可求出 CD最小值 【详解】(1) 由正弦定理： sin 22sinsin aA baBA ，又 tansincos tancossin AAC CAC ， 由题 tan tan2 Aa Cba ，所以 sincos cossin AC AC sin 2sinsin A BA 因为sin0A，所以cos (2sin sin )cossinCBAAC , 即cossin
23、cossin2sincosCAACBC,即sin sin()2sincosBACBC , 因为sin0B，所以 1 cos 2 C ，则 3 C . (2) 由 1 sin 2 ABC SabC ，即 13 3 3= 22 ab，所以12ab. 由 1 () 2 CDCACB,所以 2221 (2) 4 CDCACBCA CB 2222 11 (2cos)() 44 baabCbaab 1 (2)9 4 abab 当且仅当ab时取等 所以边CD的最小值为3. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，运用基本不等式是求解最小值的关键 18.如图，已知在四棱锥PABCD中，O为AB中点，平面POC 平
24、面ABCD， / /ADBC，ABBC， 2PAPBBCAB，3AD （1）求证：平面PAB 平面ABCD； （2）求二面角OPDC的余弦值 【答案】 （1）见解析； （2） 3 4 【解析】 分析： （1）由勾股定理可得OCCD，可得CD平面POC，于是CDPO，由正三角形的性质可得 POAB，可得PO底面ABCD，从而可得结果；（2）以 ,OB OP为 , x z，过O作AB的垂线为y 建立坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面OPD的一个法向量与平面PCD的一个法向量， 利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角OPDC的余弦值. 详解：（1）证明：/ADBC，ABBC，2BCAB，
25、3AD， 5OC ，10OD ，5CD ， 222 ODOCDC， OCCD，CD平面POC， CDPO， PAPBAB，O为AB中点， POAB，PO底面ABCD， 平面PAB 平面ABCD （2）如图建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0, 3P，1,3,0D ，1,2,0C， 0,0, 3OP ，1,3,0OD ，1, 2, 3CP ，2,1,0CD ， 设平面OPD的一个法向量为 111 ,mx y z，平面PCD的法向量为 222 ,nx y z，则 由 0, 0, OP m OD m 可得 1 11 30, 30, z xy 取 1 1y ，得 1 3x ， 1 0z ，即3,1,0
26、m， 由 0, 0, CP n CD n 可得 222 22 230, 20, xyz xy 取 2 3x ，得 2 2 3y ， 2 5z ，即 3,2 3,5n ， 5 33 cos, 41040 m n m n m n 故二面角OPD C的余弦值为 3 4 点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出 相应点的坐标，求出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出 方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19.“大众创业，万众创新”是李克强总
27、理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极 响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试 销，得到一组销售数据,(1,2,3,4,5,6) ii x yi ，如表所示： 试销单价 x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y（件） q 84 83 80 75 68 已知 6 1 1 80 6 i i yy （1）求出 q 的值； （2） 已知变量 x， y 具有线性相关关系， 求产品销量 y （件） 关于试销单价 x （元） 的线性回归方程 ybxa； （3）用 i y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与 i x对应的产品销
28、量的估计值.当销售数据, ii x y对 应的残差的绝对值1 ii yy时，则将销售数据, ii x y称为一个“好数据”现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数的分布列和数学期望( )E （参考公式：线性回归方程中 , ba最小二乘估计分别为 1 22 1 , n ii i n i i x ynxy baybx xnx ） 【答案】 （）90q （） 4106yx （） 3 ( ) 2 E 【解析】 （）根据 6 1 1 80 6 i i yy ，可求得结果； （）由公式 6 1 6 22 1 ( ) ii i i i x ynxy b xn x 可得b 4 ，样本的中心 点 带
29、入可得a值， 从而求得回归方程；（）| 1 ii yy（i 1,2.6） 的共有3 个“好数据”：(4,90)、(6,83)、 (8,75) 于是的所有可能取值为0，1，2，3分别求出对应概率，利用期望公式求解即可. 试题解析： （） 6 1 1 80 6 i i yy ，可求得90q （） 6 1 62 2 1 30506 6.5 8070 4 271 253.517.5 ii i i i x ynxy b xn x ， 80 4 6.5106aybx ， 所以所求的线性回归方程为1 406yx （） 利用 （） 中所求的线性回归方程1 406yx 可得， 当 1 4x 时， 1 90y ；
30、 当 2 5x 时， 2 86y ； 当 3 6x 时， 3 82y ；当 4 7x 时， 4 78y ；当 5 8x 时， 5 74y ；当 6 9x 时， 6 70y 与销售数据对比可知满足1 ii yy（i 1,2， ， 6） 的共有 3 个“好数据”：4,90、6,83、8,75 于是的所有可能取值为0，1，2，3 3 3 3 6 1 0 20 C P C ； 12 33 3 6 9 1 20 C C P C ； 21 33 3 6 9 2 20 C C P C ； 3 3 3 6 1 3 20 C P C ， 的分布列为： 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20
31、于是 19913 0123 202020202 E 20.直线: l y xm与曲线 2 :2C xpy交于A，B两点，A与B的中点N的横坐标为 2 （1）求曲线C的方程； （2）过A，B两点作曲线C的切线，两切线交于点E，直线NE交曲线C于点M，求证：M是线段NE 的中点 【答案】 （1） 2 4xy； （2）证明见解析； 【分析】 （1）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ，利用平方差法求解直线斜率，推出p，然后求解曲线C的方程 （2） 求出抛物线在 1 (A x， 1) y点处的切线方程， 抛物线在点 2 (B x， 2) y 处的切线方程， 联立求出(2,)Em
32、然 后转化证明即可 【详解】解： （1）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 则 22 12 121212 ,4 22 xx xxyyxx pp ， 于是直线AB的斜率 2 22 1 1212 1212 22 1 2 xx yyxxpp k xxxxp ，所以 12 24pxx 所以曲线C的方程为 2 4xy （2）因为 2 4xy，所以 1 2 yx ， 则抛物线在 1 (A x， 1) y 点处的切线方程为： 111 1 () 2 yyx xx ， 整理得： 2 11 11 24 yx xx， 同理：抛物线在点 2 (B x， 2) y 处的切线方程为： 2 22
33、11 24 yx xx 联立方程组解得： 2 11 2 22 11 24 11 24 yx xx yx xx ，解得： 11 2x yxym ，即(2,)Em 而(2,2)Nm，所以直线NE的方程为：2x；与抛物线方程联立可得(2,1)M 由(2,2)Nm，(2,1)M，(2,)Em，可得M是线段NE的中点 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题 21.已知函数 2 ( ). 2ex axxa f x (I)若0a,函数 ( )f x的极大值为 5 2e ,求实数a的值； ()若对任意的0a 1n1 ( ) 2 bx f x 在 0,x上恒成立,求
34、实数b的取值范围. 【答案】()a2（）b 1 【解析】 分析：（1）求出导函数，对a分类讨论，根据单调性判断函数的极大值，确定a的值即可； （2）构造关于a的函数令 2 1 22 xx xa x g a ee ，,0a ， 则 ln1 2 bx g a 对 ,0a 恒成立等价于 ln1 0 2 bx g ag ， 即ln1 x x bx e ，对0,x恒成立，把问题转化为最值问题，对b分类讨论得出b的范围即可 详解： （）由题意， 2 1 21 2 xx fxaxeaxxa e 2 1 1 21 2 x eaxa xa 1 11 2 x exaxa . 当0a时， 1 1 2 x fxex
35、，令 0fx，得1x； 0fx，得1x ， 所以 f x在,1单调递增，1,单调递减.所以 f x的极大值为 15 1 22 f ee ，不合题意. 当0a时， 1 11 a ，令 0fx，得 1 11x a ； 0fx，得 1 1x a 或1x ， 所以 f x在 1 1,1 a 单调递增， 1 ,1 a ，1,单调递减. 所以 f x的极大值为 215 1 22 a f ee ，得2a.综上所述2a. （）令 2 1 22 xx xa x g a ee ，,0a ，当0,x时， 2 1 0 2 x x e ， 则 ln1 2 bx g a 对 ,0a 恒成立等价于 ln1 0 2 bx g
36、 ag ， 即ln1 x x bx e ，对0,x恒成立. 当0b时，0,x ，ln10bx，0 x x e ，此时ln1 x x bx e ，不合题意. 当0b时，令 ln1 x x h xbx e ，0,x， 则 2 1 11 x xx x bbex h xexe xxe ，其中10 x xe，0,x ， 令 2 1,0, x p xbexx，则 p x在区间0,上单调递增， 1b时， 010p xpb ， 所以对0,x ， 0h x ，从而 h x在0,上单调递增， 所以对任意0,x， 00h xh，即不等式ln1 x bxxe在0,上恒成立. 01b时，由 010pb ， 10pbe及
37、 p x在区间0,上单调递增， 所以存在唯一的 0 0,1x 使得 0 0p x，且 0 0,xx时， 0 0p x. 从而 0 0,xx时， 0h x，所以 h x在区间 0 0,x上单调递减， 则 0 0,xx时， 00h xh，即ln1 x bxxe，不符合题意. 综上所述，1b. 点睛：本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C参数方程为 ,xt ymt （t为参数，mR）以原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 3 12sin （0,0,）. （1）求曲线 1 C、 2
38、 C的直角坐标方程. （2）若P、Q分别为 1 C、 2 C上的动点，且P、Q间距离的最小值为2 2，求实数m的值. 【答案】 （1） 1: 0Cxym， 2 2 2: 1(0) 3 x Cyy.（2）43m 或者6m. 【解析】 分析：（1）消去参数可得 1 C的直角坐标方程为:0xym，极坐标方程化为直角坐标方程为 2 2 10 3 x yy. （2）设3 ,Qcossin，0,，由点到直线距离公式可得Q到 1 C的距离 2 3 2 sinm d ， 结合题意分类讨论可得43m 或者6m. 详解：（1）消去参数可得 1 C的直角坐标方程为:0xym， 2 C的方程即： 222 2sin3，
39、即 222 23xyy， 则直角坐标方程为： 2 2 10 3 x yy. （2）设3 ,Qcossin，0,， 则Q到 1 C的距离 3 2 cossinm d 2 3 2 sinm ， 4 , 333 . 由P、Q间距离的最小值为2 2知： 当0m时，24m得6m； 当0m时，34m，得43m . 综上：43m 或者6m. 点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知实数正数x, y满足1xy （1）解关于x的不等式 5 2 2 xyxy； （2）证明： 22 11 1
40、19 xy 【答案】(1) 1 ,1) 6 .(2)见解析. 【分析】 （1）利用零点分段法即可求解. （2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明. 【详解】 （1） 1,0,0xyxy且 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx 01 01 111 2121 222 x x xxxxx 解得 1 1 6 x，所以不等式的解集为 1 ,1 6 （2）解法 1： 1,xy且0,0xy， 22 22 2222 11 11 xyxxyy xyxy 22 22 22xyyxyx xy 22 22 22yyxx xxyy 22 5 xy yx 22 259 xy yx . 当且仅当 1 2 xy时，等号成立. 解法 2： 1,xy且0,0xy ， 22 2222 1111 11 xy xyxy 22 1111xxyy xy 22 11x yy x xy 1xyxy xy 2 1 xy 2 2 19 2 xy 当且仅当 1 2 xy时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值 不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质 以及基本不等式.
