1、大学物理电子教案(运动学2)西北工业大学应用物理系第1章 质点运动学1.3 匀加速运动匀加速运动1.5 相对运动相对运动1.速度和运动方程速度和运动方程2.自由落体自由落体3.抛体运动抛体运动1.4 圆周运动圆周运动2.自由落体自由落体-29.8 m sg=地-21.67 m sg=月-2274 msg=日 仅受重力作用仅受重力作用,物体在垂直方向上的运动称物体在垂直方向上的运动称为为自由落体自由落体.显然显然,它是它是垂直方向上的一维匀加垂直方向上的一维匀加速直线运动速直线运动,处理时可直接应用前面讨论的结果处理时可直接应用前面讨论的结果.自由落体的加速度自由落体的加速度 是由重力产生的是由
2、重力产生的,称为称为重力加速度重力加速度.在地面附近在地面附近 垂直向下且为常矢量垂直向下且为常矢量.gg例例1 从建筑物边缘以初速度从建筑物边缘以初速度v0=20 m/s竖直上抛竖直上抛一一物体物体(1)求上升的最大高度和所经历的时间求上升的最大高度和所经历的时间;(2)物体在物体在3 s和和5 s末位于何处？末位于何处？(3)求经过建筑物上方求经过建筑物上方15 m处的时间处的时间.解解:(1)取取建筑物边缘建筑物边缘为坐标原点为坐标原点,y 轴竖轴竖直向上直向上.物体物体到到达最高点时速度为零达最高点时速度为零.0+atvv0v0y(m)-4520-20由速度由速度-2=-9.8 m s
3、a且且以及以及得得-1-1000m s20m s-202.04s-9.8tavvvv2102 y=t+atv2102 ytatv2132=2039.83 =16m y22m说明此时物体已位于建筑物下方处.由由20.4 my=得得3s 5st，(2)由由代入代入可分别求出3秒末位置5秒末位置2152=2039.85 =22m y45m，？若建筑物高度为物体落地时间为多少=-45m y212-45209.8=t-t2202044.94524.9t 12=5.69s=-1.61s tt将2102 y=t+atv代入有可求得无意义,舍去.220204 4.9 152 4.9t 0v0y(m)-4520
4、-20(3)=15my将2102 y=t+atv代入有212 15209.8=t-t可求得12=1.08s=3.09s tt上行时间下行时间3.抛体运动抛体运动 抛体运动是加速度为重力加速度的匀加速运抛体运动是加速度为重力加速度的匀加速运动动.在运动平面内建立直角坐标系在运动平面内建立直角坐标系,并取水平方向并取水平方向为为 x 轴轴,竖直向上为竖直向上为 y 轴轴.抛体运动抛体运动水平方向水平方向:匀速直线运动匀速直线运动;垂直方向垂直方向:匀加速直线运动匀加速直线运动.两个一维独立运动的合成两个一维独立运动的合成(或叠加或叠加)xyymxmv0v0 xv0yo设初速度设初速度v0 与与 x
5、 轴成轴成 角角,则其分量为则其分量为例例1.1.以初速度以初速度 抛出一物体抛出一物体,试分析其运动规律试分析其运动规律.0v解解:取如图直角坐标系取如图直角坐标系,抛出点为坐标原点抛出点为坐标原点o,x轴轴和和y轴分别沿水平方向和竖直方向轴分别沿水平方向和竖直方向.显然显然,在在 x方方向是匀速直线运动向是匀速直线运动;而在而在 y 方向方向是是匀加速匀加速()直直线运动线运动.g00cossinxyvvvv式中 为速度v(x)与 x 轴间夹角.0000cos(sin)xxyydx dtdy dta tgt j vvvvvv00cos(sin)xyijigt jvvvvv22()tanxy
6、yxtvvvvvxyxmv0v0 xv0yovxvyPv积分上式积分上式,并注意到初始条件并注意到初始条件t=0时时,x=0,y=0；故；故其运动方程为其运动方程为:2(cos)1(sin)2xtytgtvv002220()()2cosgyx tgxv=-由上式消去由上式消去 t,又得轨道方程为又得轨道方程为:可以看出可以看出,这是一这是一抛物线方程抛物线方程.1.抛射体所能达到的最大高度抛射体所能达到的最大高度 ym 称为称为射高射高.由其由其特征特征vy=0 0sintgv到达最大高度的时间到达最大高度的时间220sin2my=gv射高射高当当 =时时,射高射高 ym=v02/2g.90讨
7、论讨论:xyymxmv0v0 xv0yo2.抛射体所能达到的最远距离抛射体所能达到的最远距离 xm 称为称为射程射程.由其由其特征特征 y=0 可得可得可见当可见当 =45时时,射程射程 xm=v02/g最远最远.0sint=gv到达最远点的时间到达最远点的时间20sin2mx=gv射程射程xyymxmv0v0 xv0yo如下图如下图,由于函数由于函数sin2 在在 =45两侧是对称的两侧是对称的,当当 超过或不足超过或不足45而相差同一数值时而相差同一数值时,射程相射程相同同.xy704520v02/gv02/2go例例5.猎人与猴子猎人与猴子如图如图,猎人瞄准攀在树枝上的猎人瞄准攀在树枝上
8、的猴子时猴子时,问猎人能否射中猴子？问猎人能否射中猴子？00cossinxtytvvxy1/2gt2解解:无重力时子弹运动方程无重力时子弹运动方程有重力时运动方程有重力时运动方程020cos1sin2xtytgt vv 在左边一组方程中在左边一组方程中,消去消去 t 可得可得 y=xtg.若无若无重力重力,抛射体将沿初速度方向直线前进抛射体将沿初速度方向直线前进.再比较再比较右边两方程可看出右边两方程可看出:重力的作用是在无重力作用重力的作用是在无重力作用的基础上叠加一个自由落体运动的基础上叠加一个自由落体运动(y 中的中的-(1/2)gt2 项项),其结果不能射中猴子其结果不能射中猴子.有重
9、力时运动方程有重力时运动方程无重力时运动方程无重力时运动方程00cossinxtytvv020cos1sin2xtytgt vv1.4 圆周运动圆周运动(r是常数是常数)运动轨道为一圆周运动轨道为一圆周.显然显然,圆周运动是平面运圆周运动是平面运动动.对于圆周运动对于圆周运动,若在直角坐标系中讨论时若在直角坐标系中讨论时,其其表达式较为复杂表达式较为复杂,但用极坐标系却非常方便但用极坐标系却非常方便.Ox()r treeP位置矢量:其中 r 为常数.rrreOx()r t()r ttrreeree所以在极坐标系中,特别注意两个单位矢量 和 的方向时刻在变,故它们不是常矢量.ree00rdedt
10、dedt0limtrdrd=retdtdtv r ee vvox()r t()r ttrreeree位置矢量位置矢量rr=ret 时间内的时间内的位移矢量位移矢量r=r e速度速度若令若令 角速度角速度d=dt为单位时间内质点转过的角度为单位时间内质点转过的角度(rad/s)则速度则速度rrdedeedtdt rdedeedtdt2()rrtn rdededda=+edtdtdtdtdd =e-e=re-r edtdta e+a evvvvvv 圆周运动的加速度圆周运动的加速度两个单位矢量两个单位矢量 和和 随时间的变化率随时间的变化率:ereoxddredderereee22tnaaa：加速
11、度的大小Ox()r tvtanaa圆周运动的加速度在极坐标系中的两个分量圆周运动的加速度在极坐标系中的两个分量22na=-=-rr v，法向加速度法向加速度 反映速度方向的变化反映速度方向的变化tdda=rdtdt,v切向加速度切向加速度 反映速度大小的变化反映速度大小的变化加速度的方向加速度的方向tanntaa则则和切线的夹角为和切线的夹角为设设a()()=()(-)+()()=0costi+sintj-sinti+costjcostsintsintcostr v 所以rv解解:(1)由速度定义可知由速度定义可知sincosdr dtt it j v例例1.已知运动质点的位矢已知运动质点的位
12、矢 ,式中式中 为一常数为一常数.试证明试证明(1)质点的速度质点的速度 ;(2)加速度加速度 指向原点指向原点,且其大小与质点到原点的距且其大小与质点到原点的距离成正比离成正比;(3)为常矢量为常矢量.cossinrtitjvrr va222222cossin(cossin)addtddttitjti+tj rvr,arr.可知 与 方向相反 且大小与 成正比22cossinsincoscossin0(cossin)sincos0rttttijk=tt=t+t k-tt=kvijij()()=+-+rrrrrrrrrrr(2)(3)由上述讨论看出由上述讨论看出,质点做质点做匀速圆周运动匀速圆
13、周运动,其其结论和我们在极坐标系中讨论的结果相同结论和我们在极坐标系中讨论的结果相同.xy tcostsin tvar解解.(1)由角加速度的定义由角加速度的定义d=dt00 tddtd=dt有有积分积分0-=t00=t 由于由于故有故有分离变量分离变量例例2.一质点沿半径为一质点沿半径为R 的圆周以等角加速度的圆周以等角加速度 运运动动.如果质点从静止开始运动如果质点从静止开始运动,证明经证明经 t 时间时间 后后(1)角速度角速度=t;(2)所经历的路程为所经历的路程为S=(1/2)R t2.得得(2)由角速度定义由角速度定义ddtddttdt00tdtdt201()2SRR t有有积分积
14、分所以路程为所以路程为201-2t 得得例例3.一质点沿半径为一质点沿半径为 R 的圆周以角速度的圆周以角速度 0运动运动.t=0 时刻质点开始以角加速度时刻质点开始以角加速度-减速运动减速运动,证明证明:(1)经时间经时间 0/后质点静止后质点静止;(2)所行路程为所行路程为R20/2 .0t 解解.(1)由例由例2可知可知00 t故有故有质点静止质点静止,即即故有故有可得可得0 0t0 t(2)由角速度由角速度0t00()dtdtdt dt000200()1-2 tdt dttt 得得积积分分有弧长有弧长代入代入2001(-)=(-)2S=RRtt 0t202RS例例.以速度以速度 与地面
15、成与地面成 角发射一火箭角发射一火箭,在驱动在驱动力、阻力和重力三者作用下力、阻力和重力三者作用下,作速率不变的曲线作速率不变的曲线运动运动.已知驱动力和阻力产生的加速度只有切向已知驱动力和阻力产生的加速度只有切向分量分量.试证其轨迹方程为试证其轨迹方程为v22coslncos(+)y=ggxvv证证:取如图所示的自然坐标系取如图所示的自然坐标系.设驱动力与阻力产生的加速度设驱动力与阻力产生的加速度为为 ,则则tata=a+g 的切向分量和法向分量分别为的切向分量和法向分量分别为asin0ttda=a-gdtv2cos nagRv其中其中,R 为质点所在处的曲率半径为质点所在处的曲率半径,为为
16、 与轨道与轨道法线间的夹角法线间的夹角.gR=ds d(1)(2)(3)(2)代入代入(1)式得式得2cos dgdsv(4)又又cos,dx=dstan dy=dx而而(5)故故2 dg=dxv上式分离变量后积分并代入初始条件上式分离变量后积分并代入初始条件 0,x=20 gd=dxv而而2g=x+v上式代入上式代入(5)式式,得得2tan()dygx=+dxv2220costan()lncos(+)xgxy=+dxggxvvv上式分离变量后积分并代入初始条件上式分离变量后积分并代入初始条件得得 0,0 x=y=1.5 相对运动相对运动不同参照系对质点运动形式的描述不同不同参照系对质点运动形
17、式的描述不同.P21r2r1rx1y1z1o1K1系x2y2z2K2系o21212rddtddadtdtrvvr1111质点在质点在K1系中的位系中的位矢、速度和加速度速度和加速度22222222rdr=dtdd ra=dtdtvv质点在质点在K2系中的位矢系中的位矢、速度和加速度速度和加速度212112121211212121r=r-rdrdr=-=-dtdtdda=-=a-adtdtvvvvvP21r2r1rx1y1z1o1K1系x2y2z2K2系o2K2系在系在K1系中的位系中的位矢矢、速度和加速度速度和加速度坐标坐标(平动平动)变换关系变换关系2122222212rddtddadtdt
18、1111rvvr2121211212121212112212121212r=r-r=-drdr=-=-a=-adtdtdda=-=a-adtdtvvvvvvv经典力学坐标经典力学坐标(平动平动)变变换关系换关系-伽利略变换伽利略变换(1)这是经典力学的坐标平移变换这是经典力学的坐标平移变换,它是物体运动它是物体运动速度远小于光速时的速度远小于光速时的非相对论近似非相对论近似.(2)它体现了时间和长度测量的变换不变性它体现了时间和长度测量的变换不变性,即经即经典力学的绝对时间和绝对空间观典力学的绝对时间和绝对空间观-绝对性原理绝对性原理.但但在讨论高速运动物体时应利用在讨论高速运动物体时应利用洛仑兹变换洛仑兹变换.(3)在处理实际问题时在处理实际问题时,选取合适的坐标系往往会选取合适的坐标系往往会使问题得到简化使问题得到简化.
