1、2.2.2 用样本的数字特征估用样本的数字特征估计总体的数字特征计总体的数字特征1 1、什么是简单随机抽样？、什么是简单随机抽样？什么样的总体适宜简单随机抽样？什么样的总体适宜简单随机抽样？2 2、什么是系统抽样？、什么是系统抽样？什么样的总体适宜系统抽样？什么样的总体适宜系统抽样？3 3、什么是分层抽样？什么样的总体适宜分层抽样？什么是分层抽样？什么样的总体适宜分层抽样？统计的基本思想方法：用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本从总体中抽取一个样本，根据样根据样本的情况去估计总体的相应情况本的情况去估计总体的相应情况.统计的核心问题：如何根据样本的情况对总体的情
2、况作出一种推断.这里包括两类问题：一类是如何从总体中抽取样本?另一类是如何根据对样本的整理、计算、另一类是如何根据对样本的整理、计算、分析分析,对总体的情况作出推断对总体的情况作出推断.复习回顾复习回顾v用样本估计总体有两种用样本估计总体有两种:v一种是用样本的频率分布估计总体一种是用样本的频率分布估计总体,掌握几种掌握几种用来表示数据的图用来表示数据的图:频率分布表频率分布表,频率分布直频率分布直方图方图,频率分布折线图频率分布折线图,频率分布密度曲线频率分布密度曲线,茎茎叶图叶图.v另一种是用样本的数字特征估计总体的数字另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征特征.频率分布直方图如下频率
3、分布直方图如下：月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5连接频率分布直方图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中各小长方形上端的中点中点,得到得到频率分布折频率分布折线图线图总体密度曲线总体密度曲线频率频率组距组距月均用月均用水量水量/tab （图中阴影部分的面积，表示总体在（图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间某个区间(a,b)内取值的百分比）。内取值的百分比）。茎叶图茎叶图甲甲乙乙0123452 54 51 1 6 6 7 94 9086 4 38 6 39 8 3 11.众数、中位数、平均数2.2.2 用样
4、本的数字特征估计总用样本的数字特征估计总体的数字特征体的数字特征一一 众数、中位数、平均数的概念众数、中位数、平均数的概念 中位数中位数：将一组数据按大小依次排列，：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数中位数 众数众数：在一组数据中，出现次数最多：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数的数据叫做这组数据的众数 众数、中位数、平均数都是描述一组众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，
5、其中以平均数的应用最为广泛度不同，其中以平均数的应用最为广泛.平均数:一组数据的算术平均数,即 (1)x=(x1+x2+xn)/n (2)x=(x1f1+x2f2+xkfk)/n 练习练习:在一次中学生田径运动会上，在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的参加男子跳高的17名运动员的成绩如下名运动员的成绩如下表所示：表所示：成绩成绩(单单位：位：米米)150160165170175180185190人数人数23234111分别求这些运动员成绩的众数，中位数与分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数平均数 平均数平均数:一组数据的算术平均数一组数据的算术平均数,即即解：在解：在17个数据中，个
6、数据中，1.75出现了出现了4次，出现的次，出现的次数最多，即这组数据的众数是次数最多，即这组数据的众数是1.75上面表里的上面表里的17个数据可看成是按从小到大个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第的顺序排列的，其中第9个数据个数据1.70是最中间的是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是这组数据的平均数是答：答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是依次是1.75（米）、（米）、1.70（米）、（米）、1.69（米）（米）.思考：如何从频率分布直方图中估计中位数、思考：如何从频率分布直方
7、图中估计中位数、众数、平均数？众数、平均数？二二、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系与频率分布直方图的关系 1、众数在样本数据的频率分布直方图众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。中，就是最高矩形的中点的横坐标。例如，在上一节调查的例如，在上一节调查的100位居民的月位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是数是2.25t.如图所示：如图所示：频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3
8、3.5 4 4.5 月平均用水量(t)2、在样本中，有在样本中，有50的个体小于或等于的个体小于或等于中位数，也有中位数，也有50的个体大于或等于中位的个体大于或等于中位数数，因此，在频率分布直方图中，中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表此可以估计中位数的值。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为据值为2.02t.频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量
9、(t)说明说明:2.02这个中位数的估计值这个中位数的估计值,与样本与样本的中位数值的中位数值2.0不一样不一样,这是因为样本数这是因为样本数据的频率分布直方图据的频率分布直方图,只是直观地表明只是直观地表明分布的形状分布的形状,但是从直方图本身得不出但是从直方图本身得不出原始的数据内容原始的数据内容,所以由频率分布直方所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致实际中位数值不一致.3、平均数是频率分布直方图的平均数是频率分布直方图的“重重心心”.是直方图的平衡点是直方图的平衡点.n 个样本数据的平均个样本数据的平均数由公式数由公式:)x
10、xx(n1n21X=给出给出.下图显示了居民月均用水量的平下图显示了居民月均用水量的平均数均数:x=2.02频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)三三 三种数字特征的优缺点三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数据的最大集中、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征法客观地反映总体特征.如上例中众数是如上例中众数是2.25t,它告诉我们它告诉我们,月均用水量为月均用水量为2.25t的的居民数比月均用水量为其它数值的居民居民数比月均用
11、水量为其它数值的居民数多数多,但它并没有告诉我们多多少但它并没有告诉我们多多少.2、中位数是样本数据所占频率、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量如上例中假设有某一用户月均用水量为为10t，那么它所占频率为，那么它所占频率为0.01,几乎几乎不影响中位数不影响中位数,但显然这一极端值是不但显然这一极端值是不能忽视的。能忽视的。3、由于平均数与每一个样本的、由于平均数与每一个样本的数
12、据有关，所以任何一个样本数据的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因数、中位数都不具有的性质。也正因如此如此，与众数、中位数比较起来，平，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。可靠性降低。四四 众数、中位数、平均数的众数、中位数、平均数的简单应用简单应用例例 某工厂人员及工资构成如下：某工厂人员及工资构成如下：人员人
13、员经理经理 管理人员管理人员 高级技工高级技工 工人工人学徒学徒 合计合计周工资周工资2200 250220200100人数人数16510123合计合计2200 150011002000 1006900（1）指出这个问题中周工资的众数、中）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客观）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？地反映该厂的工资水平吗？为什么？分析分析：众数为：众数为200，中位数为，中位数为220，平均数为平均数为300。因平均数为因平均数为300，由表格中所列，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以出的数
14、据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。工资水平。2.2.2用样本的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征估计总体的数字特征标准差标准差 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：命中的环数如下：如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？标准差标准差 标准差标
15、准差是样本数据到平均数的一种平均距离。是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。标准差常被理解为稳定性。1、平均距离、平均距离在刻画样本数据的分散程度上在刻画样本数据的分散程度上,方差与标准差是一样的方差与标准差是一样的,但但在解决实际问题时在解决实际问题时,一般采用一般采用标准差标准差现实中的总体所包含的个体数往往是很多的现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数总体的平均数与标准差是不知道的与标准差是不知道的,如何求总体的标准差和平均数如何求总体的标准差和平均数?-通常采用通常
16、采用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差准差,只要样本的代表性好只要样本的代表性好,这样做就是合理的这样做就是合理的.从数学角度考虑,有时也可以用标准差的平方 ,方差来替代标准差222212)(.)()(1xxxxxxnsn2s例例1、画出下列四组样本数据的条形图，说明、画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点。它们的异同点。（1）（2）（3）（4）例例2、甲乙两人同时生产内径为、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件。为了对两的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出人的生产质量进行评比，从他们生产的零
17、件中各抽出20件，量件，量得其内径尺寸如下（单位：得其内径尺寸如下（单位：mm)甲甲乙乙从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？它们各自的特点如下：它们各自的特点如下：虽然极差没有充分利用数据，不能虽然极差没有充分利用数据，不能 提提供更确切供更确切 的信息，但由于只涉及两个数据，的信息，但由于只涉及两个数据，计算非常简便，所以极差在实际现场检查时计算非常简便，所以极差在实际现场检查时经常利用，但极差没有考虑各中间值；经常利用，但极差没有考虑各中间值；方差利用了所得到的数据，提供了更确方差利用了所得到的数据，提供了更确切的信息。在统计中，方差
18、能够较好地区别切的信息。在统计中，方差能够较好地区别出不同的组数据的离散情况或程度，但方差出不同的组数据的离散情况或程度，但方差的单位是原始数据的单位的平方，而标准差的单位是原始数据的单位的平方，而标准差能够和方差一样区分数据的离散情况，且其能够和方差一样区分数据的离散情况，且其单位与原始数据的单位一致。单位与原始数据的单位一致。通常选用标准通常选用标准差来刻画数据的离散程度。差来刻画数据的离散程度。注意：不要漏写单位。注意：不要漏写单位。六、小结：六、小结：2、用样本标准差估计总体标准差时，、用样本标准差估计总体标准差时，标准差较大，数据的离散程度较大；标标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。准差较小，数据的离散程度较小。1、用样本平均数估计总体平均数时，、用样本平均数估计总体平均数时，平均数较大，数据的集中趋势所处的水平均数较大，数据的集中趋势所处的水平较高；平均数较小，数据的集中趋势平较高；平均数较小，数据的集中趋势所处的水平较低。所处的水平较低。
