1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态空间控制系统的状态空间模型模型目录(1/1)目目 录录q 概述概述q 2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q 2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 q 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型状态空间模型的线性变换和约旦规范型q 2.5 传递函数阵传递函数阵q 2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 q 2.7 Matlab问题问题 q 本章小结本章小结根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建
2、立状态空间模型(1/2)2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空根据系统的输入输出关系建立状态空间模型间模型q 本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)q 本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型 多输入多输出线性系统多输入
3、多输出线性系统 非线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型q 本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论 由不含输入量导数项和由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。q 本节关键问题:如何选择状态变量 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔!微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1.微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项q 描述单输入单输出线性系统的输入输出
4、间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型ABCDxxuyxu 本节问题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)q 由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下相变量相变量x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),
5、xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)q 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程12111.nnnnnxxxxxa xa xbu和输出方程y=x1微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)q 将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有12101000001000000101000nnnaaaab xxuyx12.,nx xxuyxuy其中和。微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)q 该状态空间模型可简记为:其中ABCxxuyx0.01 0.0-.-
6、1.00.0.1011CbBaaaAnn微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)q 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2-6)中的系数a1,a2,an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。q 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)q 上述实现
7、状态空间模型的模拟结构图如下图所示 b u -a1 1-a22 -an-1-an nx u xn xn-1 x2 x1 y 微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1q 例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6uq 解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下 0100001061166100 xxuyx微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1其系统结构图如下所示 6 -6 1-112-6 3x u x3 x2 x1 y 微分
8、方程中包含输入量的导数项(1/11)2.微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项q 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型ABCDxxuyxu 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项(2/11)q 若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程121()110.nnnnnnnxxxxx
9、a xa xb ub u 根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项(3/11)q 为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项(4/11)q 根据上述原
10、则,选择状态变量如下)1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx 其中i(i=0,1,n)为待定系数。微分方程中包含输入量的导数项(5/11)因此,有102121032(1)(1)12301()()120(1)()(1)101()120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuua ya yb ubub uuuu 微分方程中包含输入量的导数项(6/11)若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20n=bn-a1n-1-an0即i(i=0,1,n)满足如下方程组nnnnn
11、bbbbaaaaaa210210211211010010001微分方程中包含输入量的导数项(7/11)121121001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu12.,nx xxuyxuy其中和。则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型微分方程中包含输入量的导数项(8/11)q 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示 u-a1 -an-1-an nx xn x1 n u n-1 1 1nx x2 y 0 1x 微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2q 例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+5y”+8y+4y=2u”+1
12、4u+24uq 解 本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20=43=b3-a12-a21-a30=-12微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2 因此,当选择状态变量如下时0102001448512100 xxuyx即得系统的状态空间模型为uuyuuuyxuyuuyxyuyx 242012301201微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2 其系统结构图如下所示 u-5 -8-4 3x x3 x1 -12 u 4 2 2x x2 y 1x 由传递函数建立状态空间模型由
13、传递函数建立状态空间模型(1/6)2.3.2 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型q 下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。关键问题:1.如何选择状态变量2.保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变喔,关键!线性定常微分方程由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(2/6)q 由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。传递函数第一章第三节方法第一章第四
14、节方法建立状态空间模型方法对线性定常系统拉氏变换由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(3/6)q 实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数。q 本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数1010101.()(0).nnnnnnb sb sbG saa sa sa由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(4/6)对上述传递函数,由长除法,有101101111000001010.()././.()nnnnnnnnnn
15、nnb sb sbG sa sa saba b asba b aba sa saaG sd其中000001111.)(aabbbaaaabdasasbsbsGiiiiinnnnn由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(5/6)本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。q 上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即 S G(s)(A,B,C)d D 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(6/6)q 下面分传递函数 极点互异和极点互异和
16、 有重极点有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。传递函数中极点互异时的变换(1/8)1.传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换q 对于传递函数G(s),其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为11121212.().(-)(-).(-)-nnnnnb sbkkkG ss ss ss ss ss ss sissiisssGk)-)(自己推导一下,行吗?传递函数中极点互异时的变换(2/8)q 下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。将G
17、(s)的乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,sn互异，有)-(-.-)-)(12211ssssksskksssGnn1)-)(11sssssGkq 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。第2项将s1代入为0。传递函数中极点互异时的变换(3/8)q 考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则,经反变换可得系统状态方程为)(-.)(-)(-)()()(2211sUssksUssksUssksUsGsYnnnisUsssXii,.,2,1)(-1)(1,2,.,iiixs xuin传递函数中极点互异时的变换(4/8)q 相应地,
18、系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxnq 整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型12120.010.01.00.1.nnssskkk xxuyx传递函数中极点互异时的变换(5/8)q 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为对角线矩阵。u xn x1 k1 k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系统矩阵A具有上述对角线形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓对角线规范形。事实上,由式(2-23)和状态空间模型(2-26
19、)可知,对角线规对角线规范形其实是将系统转换为范形其实是将系统转换为n个一阶子系统个一阶子系统(惯性环节惯性环节)的的并联并联,如右图所示。图2-11 对角线规范形的结构图传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例2-3q 例2-3 用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型322()6116G ssss传递函数中极点互异时的变换(7/8)q 解解 由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有332211)(ssksskssksG其中112233()(1)1()(2)2()(3)1ssskG s skG s skG s
20、 s 传递函数中极点互异时的变换(8/8)q 故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型100102010031 121 xxuyxq 将上述结果与例2-1的结果相比较可知,即使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。传递函数中有重极点时的变换(1/13)2.传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换q 当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式nnssksskssksG-.-)(2211的情况,亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。q 不失一般性,为清楚地叙述变换方法,以
21、下设系统特征方程有6个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1为3重极点,s2为2重极点。相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为传递函数中有重极点时的变换(2/13)其中kij为待定系数,其计算公式为552255144111321123111254315451-)-(-)-()-()-)(-()-(.)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsGljsssGsjkisslijjij,.,2,1)-)(dd)!1-(11-1-会推导吗?尝试一下其中l为极点si的重数。传递函数中有重极点时的变换(3/13)q 下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明k
22、ij的计算式 将G(s)的乘以(s-s1)3,有32111121131351524112455()(-)(-)(-)(-)-(-)-G s s skks sks skkks ss ss ss s12313121 d()(-)2!ds skG s s ss第2项将s1代入为0。对等式两边求2次导数后22335152411131222455dd()(-)2(-)dd-(-)-kkkG s s sks ssss ss ss s 因此，有传递函数中有重极点时的变换(4/13)q 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。q 如何选择状态变量如何选择状态变量?考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉
23、氏变换满足)(-)()-()(-)(-)()-()()-()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY传递函数中有重极点时的变换(5/13)q 选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足)(-1)()()-(1)()(-1)()(-1)()()-(1)()()-(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX 则有)(-1)()-(1-1)(212111sXsssUsssssX传递函数中有重极点时的变换(6/13)即有 则经反变换可得系统状态方程为1223
24、31114456655111()()()()()()-1()()-11()()()()-X sXsXsXsXsU ss ss ss sXsU ss sXsXsXsU ss ss s111221233134445556656xs xxxs xxxs xuxs xuxs xxxs xu传递函数中有重极点时的变换(7/13)q 相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6传递函数中有重极点时的
25、变换(8/13)q 因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型111455111213415152101011101sssssskkkkkk xxuyx传递函数中有重极点时的变换(9/13)q 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为块对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重特征值的特定矩阵块(约旦块)。系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓约旦规范形。事实上,约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环节)的串-并联。如下图所示。传递函数中有重极点时的变换(10/13)1 s-s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k1
26、3 k41 k52 k51 u y 1 s-s5 1 s-s5 1 s-s4 1 s-s1 1 s-s1 传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例2-4q 例2-4 用部分分式法将例2-2中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型48524142)(232ssssssG传递函数中有重极点时的变换(12/13)q 解解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有3311122111)()(ssksskssksG其中12)1)(10)2)(dd4)2)(13122122211sssssGkssGskssGk传递函数中有重极点时的变换(13
27、/13)q 故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型q 将上述结果与例2-2的结果相比较可知,可再次验证“状态空间模型不具有唯一性”。210002010011 41012 xxuyx多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(1/5)2.3.3 多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统q 下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。设描述系统的微分方程为 241423223121122111ubyayayubububyayay q 同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。下面采用模拟结构图的方
28、法,按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(2/5)因此,该系统的方程也可表示为241423223121122111ubyayayubububyayay 对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。为此,有21111 12221322111 12132222324142()d()d()d()ya ybua yb ub uta ybutb ub ua ytya ya yb u dt多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(3/5)故可得模拟结构图,如图2-13所示。图2-13 系统模拟结构图多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(4/5)取每个积分器的输出
29、为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为相应地输出方程为24331432312322112111ubxaxaxububxaxubxxax1123yxyx多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(5/5)因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为1111122223234334112231000000100001xaxbuxaxbbuxaaxbxyxyx非线性系统非线性系统(1/10)2.3.4 非线性系统非线性系统q 倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运
30、动等有很多相似之处,因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途,人们对倒立摆控制的研究也越来越感兴趣。下面通过一个一级倒立摆的例子,来简述对非线性系统来说,如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空间模型。非线性系统非线性系统(2/10)q 图2-14为某一级倒立摆结构示意图。图2-14 一级倒立摆示意图非线性系统非线性系统(3/10)图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆,此杆由其底部的一个支点来支撑。该系统中还有一个电机,一根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。还有一些传感器,用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线所成的角度及其微分。其控制任务是由电机通过皮带施
31、加合适的力f给小车从而使杆不倒,并使小车不超过左右边界。一级倒立摆有两个运动自由度,一个沿水平方向运动,另一个绕轴转动。非线性系统非线性系统(4/10)q 解解 通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导,且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由u到f的静态增益为1,得到倒立摆系统的动力学描述如下:其中c是小车与导轨的摩擦系数;f为施加在小车水平方向上的外力;u为作用在驱动电机上的电压,其为控制变量;2222222222dd()(cos)sindddddd()(cos)sinddddcxJmlmlmlgttxxMmmlumltttt非线性系统非线性系统(5/10)J为转动惯量,x为小车的水平位移,由
32、与电机相连的电位计测得;连接的电位计测得的信号经微分而得;为杆与垂线的夹角,并取顺时针方向为正方向,由安装在小车上并与杆的基座相连的电位计测得;为小车的水平速度,由与电机x 为杆转动的角速度,由安装在小车上并与杆的基座相连的电位计测得的信号经微分而得。非线性系统非线性系统(6/10)q 整理上式,得到:其中2PJml2()KJ MmMml2 222 22 222 222 222 222 22 222 222 22sinsin2sinsin2(sin)sincossin2()sinsin2(sin)sincossinccPPmlm l gxxKm lKm lKm lPuKm lmlm l gml
33、g MmxKm lKm lKm lmluKm l 非线性系统非线性系统(7/10)q 对该倒立摆系统,选取状态变量:由上式得到该倒立摆系统的状态空间模型为 xxzzzzz43211222 2234322 23342 2232343332 2322(sin)(sin2)22(sin)2(cos)(sin2)2()sin2(cos)2(sin)cczzPzPmlz zm l gzPuzKm lzzzmlz zm l gz zmlg Mmzmlz uzKm lz非线性系统非线性系统(8/10)q 由于数学方法的局限以及工程系统实现的困难,在进行系统分析与控制时,复杂的非线性模型将导致难于分析求解及控
34、制。因此,常将非线性模型在其平衡点(工作点)附近对其进行Taylor级数展开至一阶线性方程,以获得简化的数学模型,实现系统分析与控制。这种处理也是工程中的常用方法,如若摆杆相对于垂直线的角度保持足够小(如),则常有如下线性展开近似sinsin0 cos1或者，非线性系统非线性系统(9/10)因此,对本例来说,在平衡点 12340000zzzzz附近,非线性状态方程的近似线性化状态方程为 BuAzz其中2 2010000/0,00010()00ccPm l gP KKKABmlmlmlg MmKKK非线性系统非线性系统(10/10)和相应的输出方程:至此,得到一级倒立摆系统的状态空间形式的线性化数学模型。z01000001x
