1、 2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积 的物理背景及其意义的物理背景及其意义 我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在 力力F的作用下产生位移的作用下产生位移sFS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角1、向量的数量积、向量的数量积l已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量 叫做叫做 与与 的数量积（或的数量积（或内积内积），），a b|co s|ab a b|co sabab 规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0。注注:两
2、向量的数量积是一个两向量的数量积是一个数量数量，而不是，而不是向量向量，符号由符号由夹角夹角决定决定 a a b b不能写成不能写成a ab b，符号符号也不能省略也不能省略O2、投影：、投影：1B|co sabab Oa b|cosbab 1 1在在 上上的的投投影影：OBOB|cos0b Oa b|cos0b a b|cos0b OBA1BO（）ABOA1BB1B投影是一个投影是一个数量数量3 3、向量数量积的几何意义、向量数量积的几何意义数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积 的几何意义的几何意义：a b a b aabacosb|co sabab 设设 ,都是非零向量，都是
3、非零向量，是是 与与 的夹角的夹角babacosaeeaa0abab22aaaaaba baaa或c o sabab当当a与与b同向时，同向时，ab=|a|b|当反向时，当反向时，ab=-|a|b|l经验证，数量积满足如下运算律经验证，数量积满足如下运算律(1)a bb a (2)()()()aba bab (3)()abca cb c 4、数量积的运算律：、数量积的运算律：1若a=0，则对任一向量b，有a b=02若a 0，则对任一非零向量b,有a b03若a 0，a b=0，则b=04若a b=0，则a b中至少有一个为05若a0，a b=b c，则a=c6对任意向量 a 有22|aa 判
4、断正误7.对任意向量对任意向量，都有都有（)c=(c)解：120cos4510)21(45例1已知|=5，|=4，与 的夹角 ，求 .120 abbabacosbaba二、例题解析：二、例题解析：例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ABAC BCAC AB BC ACB90CAB BC 例例3 3.在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，AB AB=5,=5,AC AC=4.=4.求求解：在解：在ABCABC中，中，90C，AB AB=5,=5,AC AC=4=4 故而故而BC BC=3=335所以所以 cosABC=,即即 =-ABC,AB BC =-cosA
5、BC=-53 =-9AB BC AB BC 35例题讲解 22222222223,()2,()(-)-.,1()2;2()(-)-;a bRabaabbabababa babaa bbababab 例、我 们 知 道，对 任 意,恒 有对 任 意 向 量.是 否 也 有 下 面 类 似 的 结 论？2221()()()2;a ba ba ba a a b b a b baa b b 解：222()(-)-;aba ba aa bb ab bab 例题讲解例4：已知向量 与 的夹角为 ，且 ab1202,4ba求：（1）（2）（3）ab34ab 2ababba)1(2)(ba222bbaa221
6、20cos2bbaa1232ba43)2(2)43(ba2216249bbaa304194)2()()3(baba222bbaa222120cosbbaa12例题讲解 例5：已知非零向量 与 ，满足 ，且 与 垂直，求证：abba2baba2ba证明：)2()(baba0)2()(baba222bbaaba2222cosbbaa222cos22bbbb0cos22b0cosba课堂检测1、若 ，则 与 的夹角 的取值范围是（）0baabA、B、C、D、2,0,2,2,2A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、下列等式中正确的个数是（）22aaababa2222)(baba2222)(bbaa
7、baCB课堂检测3、若 ，与 的夹角为 ，则 =。6,4nmmn135nm2124、，与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 。4aab30ba32三、课堂小结与布置作业 1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？返回返回拓展与提高：已知 与 都是非零向量，且 与 垂直，与 垂直，求 与 的夹角。abba3ba57 ba4ba27 ab作业:课本P121习题2.4A组1、2、3。四、教学媒体设计四、教学媒体设计、
8、高效实用的电脑多媒体课件、高效实用的电脑多媒体课件、科学合理的板书设计四、教学媒体设计、高效实用的电脑多媒体课件、科学合理的板书设计平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义一、数量积的概念一、数量积的概念 二、数量积的性质二、数量积的性质 四、应用与提高四、应用与提高、概念：、概念：例例1 1：、概念强调：（、概念强调：（1 1）记法）记法 例例2 2：（2 2）“规定规定”三、数量积的运算律三、数量积的运算律 例例3 3：3 3、几何意义：、几何意义：平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义一、数量积的概念一、数量积的概念 二、数量积的性质二、数量积的性质 四、应用与提高四、应用与提高、概念：、概念：例例1 1：、概念强调：（、概念强调：（1 1）记法）记法 例例2 2：（2 2）“规定规定”三、数量积的运算律三、数量积的运算律 例例3 3：3 3、几何意义：、几何意义：
