1、计算流体力学讲义计算流体力学讲义2020 第十二讲第十二讲 湍流与转捩（湍流与转捩（1）李新亮李新亮知识点：知识点：1Copyright by Li Xinliang1.流动稳定性流动稳定性2.转捩的预测方法转捩的预测方法3.湍流的模式理论（湍流的模式理论（RANS）:涡粘模型：涡粘模型：0方程，方程，1方程，方程，2方程方程 4.大涡模拟简介大涡模拟简介Copyright by Li Xinliang2 12.1 流动稳定性流动稳定性一、一、稳定性基本概念稳定性基本概念常识：流体中的不稳定性常识：流体中的不稳定性K-H不稳定性不稳定性A.K-H(Kelvin-Helmholtz）不稳定性）不
2、稳定性 自由剪切流自由剪切流的的无粘无粘不稳定性不稳定性混合层混合层 K-H不稳定性不稳定性K-H不稳定性的关键：不稳定性的关键：速度剖面有拐点速度剖面有拐点 Lee-Lin:速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件流体不禁搓，流体不禁搓，一搓搓出涡一搓搓出涡已知某运动状态；已知某运动状态；在此基础上施加微小扰动；在此基础上施加微小扰动；如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定Copyright by Li Xinliang3自然界中自然界中 K-H不稳定性图片不稳定性图片智利塞尔扣克岛智利
3、塞尔扣克岛的卡门涡街的卡门涡街澳大利亚澳大利亚Duval山上空的云山上空的云 KelvinHelmholtz instability clouds in San Francisco佛兰格尔岛周围的卡佛兰格尔岛周围的卡门涡街门涡街高速流低速流自由剪切层受到扰动界面变形后的情况自由剪切层受到扰动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理不稳定性的产生机理受阻减速，压力升高，受阻减速，压力升高，产生高压区产生高压区高压导致变高压导致变形加剧形加剧Copyright by Li Xinliang4B.T-S(Tollmien-Schlichting)不稳定性不稳定性不可压不可压 壁面剪切流壁面剪切流的
4、的粘性粘性不稳定性不稳定性Mack 不稳定性不稳定性 超声速壁面剪切流的不稳定性超声速壁面剪切流的不稳定性不可压边界层速度剖面不可压边界层速度剖面（Blasius解）解）无拐点无拐点可压缩情况可压缩情况 Mach数足够高时会出现广义拐数足够高时会出现广义拐点点 出现无粘不稳定性出现无粘不稳定性 y/00.511.500.5z=400du/dydegreedegreedegreeGIPs0)(dydudyd不可压缩无粘不可压缩无粘不稳定性不稳定性 需存在拐点需存在拐点可压缩无粘可压缩无粘不稳定性不稳定性需存在广义拐点需存在广义拐点022dyudMach 6 钝锥（钝锥（1攻角）攻角）不同子午面不
5、同子午面 的分布的分布dydu超音速平板边界超音速平板边界层的不稳定波层的不稳定波第第1模态（模态（T-S波）波）第第2模态模态（Mack模态）模态）Copyright by Li Xinliang5激波激波密度界面密度界面C.R-M(Richtmyer-Meshkov)不稳定性不稳定性 激波与密度界面作用的激波与密度界面作用的斜压斜压效应效应惯性约束聚变（惯性约束聚变（ICF）示意图示意图小知识小知识 涡的产生机制：涡的产生机制：粘性、粘性、斜压、有旋的外力斜压、有旋的外力0p激波密度界面p)(31)(1)()(2vvFvvpdtd斜压项斜压项Copyright by Li Xinliang
6、6D.R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性不稳定性 重力带来的不稳定性重力带来的不稳定性R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性不稳定性重重介介质质轻轻介介质质Copyright by Li Xinliang7E Barnard热对流不稳定性热对流不稳定性其他学科的不稳定性：其他学科的不稳定性：Euler压杆压杆的不稳定性的不稳定性Barnard 热对流热对流的胞格结构的胞格结构板壳的不板壳的不稳定性稳定性Copyright by Li Xinliang8二、二、稳定性问题的常用数学方法稳定性问题的常用数学方法 线性稳定性分析线性稳定性分析Step 1:得到线性化的扰动方程
7、得到线性化的扰动方程0PU控制方程为：控制方程为：已知其具有解已知其具有解 0U0P0U最好是精确解，也可最好是精确解，也可用高精度的数值解用高精度的数值解令令：UUU00)(UUU0PP舍弃高阶小量，得到线性化的舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程扰动方程0UL（1）xuuxuuxuuxuuuuxuuxuu)()(000000 例如：例如：平板的平板的Blasius解，槽道的解，槽道的Poiseuille 解解线性方程线性方程Copyright by Li Xinliang9Step 2:求解求解 的特征值问题的特征值问题什么条件下具有非零解，非零解如何？什么条件下具有非零解，非零解如何？通常
8、假设在某些方向具有周期性，转化为一维通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题问题)()(tzxieyUU0UL数值方法：数值方法：将将（1）离散离散代数方程代数方程何时有非零解，何时有非零解，非零解如何？非零解如何？特征值问题特征值问题xAx0)(xIA0Bx什么条件下有什么条件下有非零解？非零解？特征值问题计算量巨大，目特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题前通常只能处理一维问题Copyright by Li Xinliang10 12.2 边界层转捩的预测方法边界层转捩的预测方法1.经验公式法经验公式法),(ReReMafxx转捩位置z200400600800100000.00
9、10.002transition flowlaminar flowBlasiusKarmanblow and suctionperturbation regionTransition onset ofHorvaths experment(a)CfMach 6 钝锥边界层表面的摩擦系数分布钝锥边界层表面的摩擦系数分布(Li et al.Phys.Fluid.22，025105，2010.Li et al.AIAA J.46（11），），2899-2913，2008)x 摩阻或摩阻或热流热流转捩起始点转捩起始点（transition onset)转捩峰（转捩峰（transition peak)充分
10、发展湍流区充分发展湍流区2004015.02325.037.510ReeeMMtrL球锥的转捩Reynolds数eM边界层外缘的Mach数3048.0/197.0240ReeMtrLe动量厚度定义的转捩Reynolds数Copyright by Li Xinliang112.eN 方法方法)()()(txixtxirie fee ffxLST理论：理论：积分起积分起始点始点x),(xi0),(xi0 xxixdxexAxA0),(0)(/)(扰动波进入中性曲线后，开始增长，扰动波进入中性曲线后，开始增长，局部增长率为局部增长率为),(xi0 xxxixdxexAxA0),(0)(/)(eN理论
11、：扰动波增长到理论：扰动波增长到eN倍，即发生转捩倍，即发生转捩N值需要由实验（或经验）确定，通常为值需要由实验（或经验）确定，通常为811,即扰动增长即扰动增长4个量级（个量级（10000倍）左右倍）左右。在不可压缩及航空领域（亚、跨、超）较在不可压缩及航空领域（亚、跨、超）较为成熟。为成熟。在航天领域（高超声速），还有待检验。在航天领域（高超声速），还有待检验。不足之处：不足之处：未考虑扰动波进入中性曲线前的衰减过程，没考虑感受性过程。未考虑扰动波进入中性曲线前的衰减过程，没考虑感受性过程。他人的改进：他人的改进：苏彩虹，周恒等苏彩虹，周恒等 考虑衰减过程考虑衰减过程 C.H.Su,and
12、 H.Zhou,Science in China G,52(1):115-123(2009).Copyright by Li Xinliang123.PSE（抛物化扰动方程）法（抛物化扰动方程）法 优点：优点：1）无需平行流假设；无需平行流假设；2）可处理非可处理非线性线性(N-PSE)xyStep 1:得到扰动的控制方程得到扰动的控制方程qqq已知解已知解0 qN线性化线性化0 qLL-PSEN-PSEStep 2:假设扰动具有波动形式假设扰动具有波动形式),(),(),(txieyxqtyxq振幅，沿振幅，沿x方向是个方向是个缓变量缓变量（相对（相对y方向而言）方向而言）Step 3:带入
13、扰动方程，得到振幅带入扰动方程，得到振幅 的控制方程的控制方程“缓变量缓变量”是个是个很有用的概念，很有用的概念，可用来简化方程可用来简化方程Plantdl边界层理论就边界层理论就是利用是利用“缓变量缓变量”的的概念进行简化的。概念进行简化的。pvuqq LST的的 方程是一维的方程是一维的PSE的的 方程是二维的方程是二维的q q Step 4:利用缓变量性质，舍弃方程中的椭圆项利用缓变量性质，舍弃方程中的椭圆项（为高阶小量），得到抛物化的扰动方程（为高阶小量），得到抛物化的扰动方程22xqqNxq沿沿x方向推进求解方向推进求解（类似时间方向的处理），计算量（类似时间方向的处理），计算量相当
14、于一维问题。相当于一维问题。（“抛物化抛物化”的优势）的优势）非线性项的处理方非线性项的处理方法与谱方法相似法与谱方法相似Copyright by Li Xinliang134.转捩模型法转捩模型法（间歇因子模型）（间歇因子模型）实际粘性系数(1clt）层流粘性系数 湍流粘性系数（由湍流模型给定）湍流间歇因子湍流间歇因子（0表示纯层表示纯层流，流，1表示纯湍流）表示纯湍流）方法方法 1）根据经验公式，给定根据经验公式，给定 沿流向的分布沿流向的分布方法方法2）给出给出 的发展方程，进行求解的发展方程，进行求解 xyCopyright by Li Xinliang14常识：常识：湍流的间歇性湍流
15、的间歇性外间歇性：外间歇性：层流及湍流交替出现的现象层流及湍流交替出现的现象Mach 6 钝锥边界层的密度分布钝锥边界层的密度分布（Li et al.PoF 22,2010)边界层有清晰锐利的界边界层有清晰锐利的界面（层流区、湍流区面（层流区、湍流区“泾渭分明泾渭分明”）t湍流信号湍流信号层流信号层流信号内间歇性：内间歇性：湍流脉动的概率密度分布偏湍流脉动的概率密度分布偏离离Gauss分布（随机分布）分布（随机分布）)log(PDF u2xe概率论（中心极限定理）概率论（中心极限定理）独立随机事独立随机事件满足件满足Gauss分布分布偏离偏离Gauss分布分布 湍流不是完全随机的湍流不是完全随
16、机的。既非确定，又非随机既非确定，又非随机 湍流的复杂性湍流的复杂性Copyright by Li Xinliang15 12.3 湍流的工程模式理论湍流的工程模式理论RANS 1.为什么用湍流模型为什么用湍流模型N-S方程适用于湍流，但其解过于复杂方程适用于湍流，但其解过于复杂如果网格分辨率不够，数值解误差较大如果网格分辨率不够，数值解误差较大常用方法常用方法 进行平均，求解平均进行平均，求解平均量满足的方程量满足的方程以不可压缩为例研究以不可压缩为例研究 -推广的可压缩情况推广的可压缩情况压缩折角流动例例1：压缩折角流动：压缩折角流动：如果网格分辨率如果网格分辨率不足，且不用湍流模型，则分
17、离区过大不足，且不用湍流模型，则分离区过大例例2：有攻角机翼流动，如果分辨率不有攻角机翼流动，如果分辨率不足，且不用湍流模型，则造成足，且不用湍流模型，则造成“非物理非物理分离分离”翼型绕流jjiijjiiiixxuxpxuutuxu210平进行均平进行均Copyright by Li Xinliang162.Reynolds平均的平均的N-S方程方程以不可压缩以不可压缩N-S方程为例方程为例jjiijjiiiixxuxpxuutuxu210时间平均；时间平均；空间平均；空间平均；系综平均系综平均uuuii脉动ijjijijijjiijiuuuuuuuuuuuuuu)(引入平均引入平均：0ji
18、uuRANS比比N-S方程多了该项方程多了该项jiRuu称为称为Reynolds应力应力)(Re1102jijjjiijjiiiiuuxxxuxpxuutuxuCopyright by Li Xinliang17)(102jijjjiijjiiiiuuxxxuxpxuutuxu3.Reynolds平均平均N-S方程的求解方程的求解 Rijiju u 未知量，必须用已知量表未知量，必须用已知量表示才能求解示才能求解湍流模型湍流模型方法方法 1）Boussinesq 涡粘假设涡粘假设（常用）（常用）kxuxuuuijijjitji32jjitijjiiiixxuxpxuutuxu2)(10与原先方
19、程的唯一区别：与原先方程的唯一区别：改变了粘性系数改变了粘性系数程序实现方便程序实现方便 的计算模型：的计算模型：0方程（代数模型）：方程（代数模型）：B-L 1方程模型方程模型 :S-A 2 方程模型方程模型 ：tkkSST方法方法2）Reynolds应力模型应力模型jiRuu给出给出的控制方程的控制方程可并入压力项中Copyright by Li Xinliang184.湍流边界层的结构及平均速度剖面湍流边界层的结构及平均速度剖面 内层1020%外层钝锥边界层的密度分布内层：内层：主要受壁面影响主要受壁面影响外层：外层：受边界层外部影响受边界层外部影响 （压力梯度、外部无粘流（压力梯度、外
20、部无粘流）速度剖面接近尾迹流速度剖面接近尾迹流内层的速度剖面内层的速度剖面221xyuuuuvputxyxyy 定常小量零压力梯度xyyyu220尾迹流的剖面（亏损律）零压力梯度的平板边界层零压力梯度的平板边界层)(yuCopyright by Li Xinliang19xyyyu220粘性底层区粘性底层区 湍应力可忽略湍应力可忽略5ywwxyyuconstyuyu yu/,/wwyyuu壁面律壁面律总应力保持不变总应力保持不变0)(xyxyy粘性应力粘性应力湍应力湍应力湍流核心区湍流核心区粘性应力可忽略粘性应力可忽略wxyPlantdl混合长模型混合长模型yuyulxy2kyl wxy/wy
21、ukyCykuln141.0kKarman常数C=5.5 （平板）（平板）5.1壁面律壁面律对数律对数律亏亏损损律律过过渡渡区区Copyright by Li Xinliang20 12.4 常用的涡粘性模型常用的涡粘性模型 1 零方程模型零方程模型 Baldwin-Lomax(BL)模型模型术语术语“N方程模型方程模型”指计算湍流粘性系数指计算湍流粘性系数 时，使用了时，使用了N个偏微分方程个偏微分方程t零方程模型直接写出零方程模型直接写出 的表达式，简便的表达式，简便tBL模型是模型是 Plantdl混合长模型的推广混合长模型的推广 湍流核心区湍流核心区 过渡区过渡区 粘性子层区粘性子层区
22、壁面律壁面律对数律对数律亏亏损损律律过过渡渡区区内内层层外外层层混合长模型混合长模型kylyult,2)/exp(1 Aykyl0t内层统一内层统一表达式表达式尾迹亏损律尾迹亏损律近壁区趋近于近壁区趋近于0，远壁区趋近于远壁区趋近于ky26A2)(lint涡量涡量Copyright by Li Xinliang21外层模型外层模型外层特点特点 1）间歇性间歇性层流层流-湍流交替出现湍流交替出现Klebnoff间歇公式（根据实验间歇公式（根据实验得到的经验公式）：得到的经验公式）：16)/(5.51),(yyFKleb1为纯湍流，0为纯层流特点特点2）类似尾迹流动的亏损律类似尾迹流动的亏损律)/
23、,min(max2maxmaxmaxFUyCFyFdifwkwake)/exp(1)(AyyyFmaxymaxF yydifU为边界层内的最大速度与最小速度之差为边界层内的最大速度与最小速度之差difU内层外层1wkCCopyright by Li Xinliang22外层模型外层模型=间歇因子间歇因子*亏损律亏损律 wakeklebouttFF16)/(5.51),(yyFKleb边界层厚度不易计算16max5.51)(yyCyFklebKleb3.0klebC用用 估算边估算边界层厚度界层厚度maxyklebCy/max)/exp(1)(AyyyFmaxymaxF yy内层3.0内层及外层
24、的设定内层及外层的设定yt2)(lint wakeklebouttFF内层外层Copyright by Li Xinliang232 一方程模型一方程模型 k-方程模型方程模型1）湍动能方程湍动能方程（不可压缩）（不可压缩）iiuuk21jjiijjjjijijjupuuuxxkxxuuuxkutk121推导方法推导方法获得扰动量获得扰动量 的方程，的方程，两端乘以两端乘以 并平均即可并平均即可iuiu生成生成 耗散耗散 粘性扩散粘性扩散 湍流扩散湍流扩散jijixuxu2）k方程模型方程模型kxuxuuuijijjitji322kctjjx扩散型dsdVxjjn湍流扩散湍流扩散以湍流粘性系以
25、湍流粘性系数进行的扩散数进行的扩散对于一方程模型（k-模型）内部不会产生，也不会消失11.009.0clk2/3由量纲分析得出由量纲分析得出jktjjijijjxkxxuuuxkutk/ijijS1kCopyright by Li Xinliang243 一方程模型一方程模型 Spalart-Allmaras(S-A)模型模型构造原则：构造原则：经验经验+量纲分析量纲分析jjjjxxPxutDtD湍流场中标量方湍流场中标量方程的一般形式：程的一般形式：对流对流 生成生成 耗散耗散 扩散扩散 对流对流 扩散扩散 生成生成 耗散耗散四四大大机机制制假定湍流粘性系数假定湍流粘性系数 满足上述方程满足
26、上述方程假设：假设：1）生成项与当地涡量成正比生成项与当地涡量成正比剪切越强，湍流越强：剪切越强，湍流越强：符合直观符合直观vvScPb1ijijS22/)/(ijjiijuuuu1355.01bc关键的参数关键的参数这是湍流模型的这是湍流模型的“主要矛盾主要矛盾”混合长模型也是这么混合长模型也是这么假设的假设的生成项最为关键，对湍流粘性系数的生成项最为关键，对湍流粘性系数的影响最大。影响最大。更简单的模型（零方程），更简单的模型（零方程），仅保留了生成项仅保留了生成项感想：感想：生成项很多情况下都是最重要的生成项很多情况下都是最重要的 工资是工资是“生成项生成项”，消费是消费是“耗散项耗散项
27、”，把钱给其他人（家人、亲朋等）是，把钱给其他人（家人、亲朋等）是“扩散项扩散项”显然显然“生成项生成项”是最重要的。是最重要的。222vfdkvSSCopyright by Li Xinliang252）耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小yn/mmTurbulent kinetic energy budget012-0.00100.001PTDx=-30.0 mm21dvfcww湍流粘性系数越大，耗散越大湍流粘性系数越大，耗散越大离壁面越近，耗散越大离壁面越近，耗散越大直观/)1(/2211bbwckcc3/2,41.0,622.02kcb3）扩散项
28、简单模化扩散项简单模化 以以 层流层流+湍流粘性系数湍流粘性系数 为扩散系数为扩散系数kkxvxD1最终涡粘系数的最终涡粘系数的 的控制方程为的控制方程为kkbjkwwbjjxxcxxdvfcvScxvutv)(12211vgcgcfwww6366312262),(dkSvrrrcrgwCopyright by Li Xinliang26近壁修正近壁修正 保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到0f01020304000.20.40.60.81v1v/v1vtfvv 衰减函数衰减函数1.7,/,131331vvvcvvcf衰减函数衰减函数 的图像的图像1vf最终的湍流粘
29、性系数最终的湍流粘性系数得到得到 方程后，对方程后，对 求导，乘以求导，乘以 并平均，得到并平均，得到 的方程的方程Copyright by Li Xinliang274 经典的两方程模型经典的两方程模型 模型模型 k2kctjktjjijijjxkxxuuuxkutk/jijixuxujixu2iujxljljlllliljlijijlijilljlijliljijjxxuxpuxxxuxuxuxuxxuxuuxuxuxuxuxuvxutDtD222222生成耗散扩散主项：主项：小涡拉伸小涡拉伸粘性耗散粘性耗散ltllilixxkcxuuukcDtD)/(22192.19.1,45.141.
30、1,3.121cc近壁区仍需衰减处理近壁区仍需衰减处理“低低Reynolds数数k-模型模型”固壁边界条件：固壁边界条件：0,0k与物理情况不符，近壁需要特殊处理与物理情况不符，近壁需要特殊处理Copyright by Li Xinliang285 k-两方程模型两方程模型用用 方程代替湍流耗散率方程代替湍流耗散率 方程方程/kt由量纲分析得到jkjjijijjxkkcxxuuuxkutk2jktjjijijjxkxkxuuuxkutk*/k*09.0*的模化方程：的模化方程：jtjjijijjxkxxuuukxutw*2/2*wk生成 耗散 扩散40/3,9/5固壁边界条件：固壁边界条件：0
31、k21610y1y第第1个点到壁面的距离个点到壁面的距离k-模型模型近壁准确性优于近壁准确性优于k-模型；模型；但外层预测准确性不如后者但外层预测准确性不如后者1y固壁/k“比耗散率”Copyright by Li Xinliang296 k-SST(Shear-Stress-transport)两方程模式两方程模式近壁：近壁：k-外层：外层：k-写成统一的写成统一的 k-形式形式),max(211Fakt222500,99.02maxtanhyykFjwtjjjjjxkxxxkFPxut/)1(2212jktjjijijjxkxkxuuuxkutk/*2wP222214,500,99.02m
32、axmintanhyCDkyykFky较小时趋近于较小时趋近于k-模式模式y较大时趋近于较大时趋近于k-模式模式兼具兼具k-及及k-模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一jtjjijijjxkxxuuukxutw*2/221+(/)ijiltjlllucucu utxkxkxx 方程方程 vs 方程方程 二者非常相近（仅系数差异）二者非常相近（仅系数差异）Copyright by Li Xinliang30 12.5 非涡粘模型非涡粘模型涡粘模型的基本假设涡粘模型的基本假设：kxuxuuuijijjitjit32实际使用时，经实际使用时，经常不考虑
33、该项常不考虑该项不符合物理规律不符合物理规律：（涡）粘性是各向同性；（涡）粘性是各向同性；雷诺应力为湍流脉动影响雷诺应力为湍流脉动影响各向异性各向异性 舍弃涡粘假设舍弃涡粘假设，直接针对直接针对 构造模型，构造模型，更为合理更为合理jituu合理的不合理的不一定好用一定好用写出脉动量写出脉动量 的方程，乘以的方程，乘以 并平均，得到雷诺并平均，得到雷诺应力应力 的控制方程：的控制方程：iujujiuuijjilijilijlljilljlililjljlijixuxupxuuuupuuuxxuxuxuuuxuuuuuDtD112生成耗散扩散压力-变形“再分配”对湍能无影响，不同分量之间再次分配
34、分别模化，即可得到分别模化，即可得到Reynolds应力模型（又称应力模型（又称“二阶矩模型二阶矩模型”）出现三阶统计矩出现三阶统计矩Copyright by Li Xinliang31jilijlljiltuupuuuxD1湍流扩散项湍流扩散项jilkljiltltuuxkcxuuxxD2扩散速度与梯度呈正比假设扩散系数为湍流粘性系数湍流耗散项湍流耗散项模型模型1：假设湍流耗散是各向同性的假设湍流耗散是各向同性的ijljlixuxu322模型模型2：考虑各向异性考虑各向异性 大小由速度脉动决定大小由速度脉动决定kuuxuxujiljli222该张量幅值为该张量幅值为分量大小由速度脉分量大小由
35、速度脉动均方根决定动均方根决定6个自由变量的张量个自由变量的张量标量 模型模型3：各向异性各向异性 耗散率与耗散率与Reynolds本身呈正比本身呈正比kuuxuxujiljli2更为合理出现了出现了湍能湍能耗散率耗散率 （标量），需要单独给出方程（标量），需要单独给出方程 用前文给出的用前文给出的 方程即可方程即可Copyright by Li Xinliang32Reynolds应力模型推导采用了更为理性的方法应力模型推导采用了更为理性的方法 更多的（严格）公式推导更多的（严格）公式推导 更为复杂的公式更为复杂的公式ijjixuxup1压力压力-变形项变形项 （“再分配项再分配项”）模化最
36、为困难模化最为困难 压力压力-速度关联速度关联 实验测量实验测量困难，困难，数据少数据少 DNS可能发挥很大作用推导思路：推导思路：脉动压力的控制方程脉动压力的控制方程 压力压力Poisson方程方程 lmmlmlmlmlxuxuuuuuxxp222rdVxuxuuuuuxxpVlmmlmlmlml2412VijijijjilmmlijjimlmlijjirdVxuxuxuxuxuxuxxuuxuxup)2()1(*22411kuukCijjiij321)1(kkijijijPPkC322)2(使使Reynolds应力应力趋近于各向同性趋近于各向同性复杂，计算量大，复杂，计算量大，工程应用不广
37、泛工程应用不广泛（直觉）（直觉）“再分配再分配”的特点的特点 趋近各向同性趋近各向同性显然，涡粘模型显然，涡粘模型是一种最简单（各向同性）是一种最简单（各向同性）的代数模型。的代数模型。ASM模型考虑了各向异性模型考虑了各向异性效应效应Copyright by Li Xinliang33kkijijijjilikljililjljlijiPPkCkuukCxuukcxkuuxuuuxuuuuuDtD3232)(212liljljliijxuuuxuuuP最终，二阶矩模型（雷诺应力模型最终，二阶矩模型（雷诺应力模型RSM）为：）为：仅是其中一种模型，还有仅是其中一种模型，还有其他模型其他模型代数
38、应力模型（代数应力模型（ASM）注：注：需要与需要与k方程、方程、方程联立求解方程联立求解某些情况下，某些情况下，RSM的对流项与扩散项可忽略的对流项与扩散项可忽略高剪切流动：高剪切流动：生成项为主，对生成项为主，对流、扩散项很小流、扩散项很小局部平衡流动：局部平衡流动：对流与扩散基对流与扩散基本抵消本抵消得到代数模型：得到代数模型：03232)1(212kkijijjiijPckuukCPCRodi部分保留了对流与扩散项，得到新的代数模型：部分保留了对流与扩散项，得到新的代数模型：kkijijijjiijijkkjiPPkCkuukCPPkuu323232)(21注：注：仍需要与仍需要与k方
39、程、方程、方程联立求解方程联立求解ijjijixuxukcuu2Copyright by Li Xinliang34 11.5 压缩性对湍流模型的影响压缩性对湍流模型的影响压缩性效应：压缩性效应：与平均量有关的压缩性效应与平均量有关的压缩性效应 外压缩性效应，非本质压缩性效应外压缩性效应，非本质压缩性效应 与脉动量有关的压缩性效应与脉动量有关的压缩性效应 内压缩性效应，本质压缩性效应，声效应内压缩性效应，本质压缩性效应，声效应Morkovin 假设：假设：当当Mach数不是很高（例如平板边界层数不是很高（例如平板边界层Ma 近壁温度升高近壁温度升高-密度降低密度降低-平均速度剖面改变平均速度剖
40、面改变举例：举例：常用措施：常用措施：通过修正（例如密度加权平均）进通过修正（例如密度加权平均）进行弥补行弥补 借用不可压缩的理论借用不可压缩的理论uduuwVD0/常用措施：常用措施：Favre 平均平均密度加权平均密度加权平均 相对于相对于Favre平均的脉动平均的脉动Copyright by Li Xinliang35对可压缩对可压缩N-S方程进行（方程进行（Reynolds）平均，令）平均，令TTTpppuuuiii ,密度和压力用密度和压力用Reynolds平平均，其他量用均，其他量用Favre平均平均可压缩可压缩N-S方程有大量方程有大量 项利用项利用Favre平均可简化方程推导平
41、均可简化方程推导1）Reynolds平均平均可压缩可压缩N-S方程方程0iiuxt0iiuxt平均0iiuxt0iiutxjiijjijijiuuxxpuuxut Reynolds应力jiijijiijiijTjLjjjjuuuxuuuuqqxHuxEt 21TRRTpkuueEii2112iiHhuuk 1122iiiiuukuu 总能总能=内能内能+动能动能+湍能湍能/PrLjpjTqcxTjjqu h 层流热流湍流热流Copyright by Li Xinliang362）Reynolds应力及常用模型应力及常用模型12233kijRijTijijijkuuuSkx 涡粘模型涡粘模型 涡
42、粘系数涡粘系数 可利用可利用B-L,S-A,k-,SST等模型计算等模型计算t3）能量方程的模化）能量方程的模化jiijijiijiijTjLjjjjuuuxuuuuqqxHuxEt 21PrTpTjTjcTqx Pr0.89 0.90T湍流热流湍流热流：湍流能量扩散：湍流能量扩散：1/2ijijiitkjkuu uux 以以 层流粘性层流粘性+湍流粘性湍流粘性 扩散扩散 直观直观湍流模式理论（湍流模式理论（RANS）：）：计算量较小，但普适性差，很难找到通计算量较小，但普适性差，很难找到通用的模型用的模型 12.6 湍流大涡模拟简介湍流大涡模拟简介原因：原因：湍流脉动的多尺度性湍流脉动的多尺
43、度性 大尺度脉动：大尺度脉动：受几何条件、外部因素影受几何条件、外部因素影响强烈。响强烈。复杂、多态、强各向异性复杂、多态、强各向异性思路：思路：小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化ijjijixuxukcuu2大涡模拟（大涡模拟（LES）：）：流动流动=大尺度流动大尺度流动 +小尺度脉动小尺度脉动直接求解直接求解通过模型，由大尺度通过模型，由大尺度量给出量给出kEnergy spectrum10010110210-1010-910-810-710-610-510-410-310-2FE2FE1FF1k*(-5/3)大尺度区 惯性区 耗散区可压均匀各向同
44、性湍流的能谱可压均匀各向同性湍流的能谱受几何条件，外受几何条件，外部因素影响强烈，部因素影响强烈，只能直接求解只能直接求解受外部因素影受外部因素影响较弱，容易响较弱，容易模化模化1.控制方程控制方程 20()1iiijiijiuxuuuputxx 20()1iiijiijiuxuuuputxx jijiijuuuuLES的控制方程（大尺度流动满足的方程）：的控制方程（大尺度流动满足的方程）：20()1iiijijiijijuxuuuputxxx )(jijijijiuuuuuuuu滤波：滤波：亚格子亚格子Reynolds应力应力N-S方程：方程：主项主项次项次项2.常用的亚格子湍流模型常用的亚
45、格子湍流模型1）涡粘模型涡粘模型20()1iiijijiijijuxuuuputxxx 123ijkkijeijS 各向同性项，各向同性项，并入压力项中并入压力项中涡粘系数涡粘系数20()1()iiijieijiuxuuuputxx 分子粘性系数分子粘性系数涡粘性系数涡粘性系数例：例：Smagorinsky 模型：模型：2()esCS uCs 经验常数，通常0.17ijjuux形式上与形式上与NS方程相同，仅方程相同，仅粘性系数不同粘性系数不同2)相似性模型相似性模型jijiijuuuujijiijuuuu用用 替代了替代了 uu优点：优点：有物理含义，无自由参数有物理含义，无自由参数确点：确
46、点：亚格子亚格子Reynolds应力预测偏低；应力预测偏低；数值稳定性差数值稳定性差（应力波动大，易出现负粘性（应力波动大，易出现负粘性）otherwiseuifcjiij001,人为限制：3）梯度模型梯度模型2222224222411()()2424()1()()241()12jiijijijikjkkkkkijijkkkjikkkkkuuuuuuuuxxxxuuu uOxxuuOxxxx 222112jiijkkkkkuuxxxx )()(241)(.)(21)()(1)(1)(4222222 Oxfxfdxfxfxfdxfxf缺点：缺点：稳定性差稳定性差4）Vremann的涡粘模型的涡粘
47、模型evijijBc jijiux2ijmmimj 222112212113313223323()BII 第第2不变量不变量速度梯度速度梯度张量张量222T 优点：优点：形式简便、易用，计算量小，稳定性好；形式简便、易用，计算量小，稳定性好；具有坐标旋转不变性（标量）；具有坐标旋转不变性（标量）；近壁区衰减为小量；近壁区衰减为小量；层流区衰减为小量；层流区衰减为小量；考虑到滤波尺度的各向异性；考虑到滤波尺度的各向异性；eevijijBc 第第2不变量不变量第第1不变量不变量不足：不足：含有可人为调节的经验常数；含有可人为调节的经验常数；22.5vscC该常数与物理问题、网格、数值方法有关该常数
48、与物理问题、网格、数值方法有关5）动力学模型动力学模型原理：原理：利用二次滤波，自动确定其中模型（经验）常数；利用二次滤波，自动确定其中模型（经验）常数；滤波尺度为滤波尺度为 的第一次滤波后再作用一次滤波尺度为的第一次滤波后再作用一次滤波尺度为 的第二次滤波，的第二次滤波，相当于直接用相当于直接用 为尺度做一次滤波为尺度做一次滤波。（对于Gauss型滤波 ）123222312 Germano恒等式恒等式 ijijijijijTuuuuLjijiijuuuuTjijiijuuuuLonard应力，可直接计算)()(22uSuSCijdij2231()()()()ijijddijTCS u S u
49、CS u S uL求出系数求出系数dC)()(22uSuSCijdij3.近壁处理近壁处理jijiijuuuu显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，但很多模型却不满足该条件但很多模型却不满足该条件因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）而动力学模型无需衰减函数而动力学模型无需衰减函数ijijijijdMMLMC 2()()ijsijCS u Su2()()ijdijCS u Su)/(exp(13AyD例如：1.背景背景突出问题：高突出问题：高Re数湍流，数湍流，LES计算量仍然过大，计算量仍然过大，难以满足工程计算需求难以满足
50、工程计算需求内层外层原因：原因：边界层内层（边界层内层（Inner layer）计算量过大）计算量过大内层涡尺度：内层涡尺度：外层涡尺度：外层涡尺度：l内、外层网格点数随Re的变化 12.8 RANS/LES混合方法简介混合方法简介 内在原因：内在原因：近壁区含能涡尺度小近壁区含能涡尺度小，难以模化，难以模化，必须用网格分辨；必须用网格分辨；内层外层解决方案：解决方案：1.采用壁模型采用壁模型；2.LES/RANS 混合方法混合方法Ref:Piomelli U,Balaras E,Wall-layer models for large-eddy simulations,Annu.Rev.Flu
