1、-1-2-在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。深入研究解的性质和解的结构。-3-(4-1)mnmnaaaaA1111 mbbb1 nxxx1bxxxbAxnn 2121),(mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111()bAx ()bxxxnn 2211()-4-非齐次方程组解的存在性定理非齐次方程组解的存在性定理对于对于方程组方程组)0(bbxAnm )()()(
2、)()1(ArArArAr 无解无解有解有解nArAr )()()2(有唯一解有唯一解nArAr )()()3(有无限多解有无限多解(4-1)向量向量 可由可由A的列向量组的列向量组 n ,21线性表示。线性表示。-5-nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设设nn 的线性方程组的线性方程组0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD的系数行列式的系数行列式Cramer法则法则则方程组有唯一解则方程组有唯一解,且解为且解为:njDDxjj,2,1,(4-2)-6-齐次方程组解的存在性定理齐次方程组解的存在性定理(4
3、-3)mnmnaaaaA1111 00b nxxx10 Ax()02211 nnxxx ()000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa()-7-对于对于方程组方程组0 xAnmnAr)(只有零解只有零解nAr)(有非零解即有无限多解有非零解即有无限多解(1)A的列向量组线性无关的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关推论推论1当方程的个数当方程的个数m小于未知量的个数小于未知量的个数n，则，则方方程组必有非零解。程组必有非零解。-8-000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxax
4、axaxa设设nn 的线性方程组的线性方程组有非零解有非零解(4-4)0 D学习书学习书P.135 例例2-9-10-(2)解集的秩是多少解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为)如何求如何求?0 Ax齐次方程组齐次方程组(假设有无穷多解假设有无穷多解)(1)解集的特点解集的特点?是方程组的解，是方程组的解，若若nncxcx ,11.),(1为方程组的解向量则称Tnccx称：称：-11-性质性质1：若若 是是(4-3)的解，的解，12,解空间解空间:0AX 的所有解向量的集合的所有解向量的集合S，对加法和数乘，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次都
5、封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的线性方程组的解空间解空间。|0,nSX AXXR的解。的解。也是也是则则)34(21 性质性质2：,)34(1Rk 的解，的解，是是若若 的解。的解。也是也是则则)34(1 k注：注：如果如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。只有零解，解空间是零空间。如果如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。有非零解，解空间是非零空间。推论推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题首先回答问题(1)0 Ax-12-设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果(),r Arn则齐次线性方程组则齐
6、次线性方程组0AX 的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有nr 个解向量。个解向量。设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果(),r Arn则齐次线性方程组则齐次线性方程组0AX 的任意的任意 个线性无关个线性无关的解向量均可构成基础解系。的解向量均可构成基础解系。nr-13-设设12,n r 是是0AX 的解，满足的解，满足121 ,n r （）线性无关；线性无关；2 0AX （）的任一解都可以由的任一解都可以由12,n r 线性线性12,n r 是是0AX 的一个的一个基础解系基础解系。基础解系基础解系表示表示,则称则称下面我们用一个例子回答第下面我们用一个例
7、子回答第(2)和第和第(3)个问题，个问题，同时也是定理同时也是定理4.2.1的例证。的例证。ttkkkx 2211(取任意实数取任意实数)ik从而从而也是也是(4-3)的解。的解。-14-齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）000010011111rn,rrrn,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵A 进行初等变换，将其化为最简形进行初等变换，将其化为最简形-15-nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于分别令分别令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同时也可知方程组含有，同时也可
8、知方程组含有 rAR rn 个自由未知量：个自由未知量：12,rrnxxx-16-1111100rbb 1222010rbb 1,.001n rr n rn rbb ,bb,bb,bbxxrn,rrn,rrr 12121111得得于是得于是得-17-下证下证12,n r 是方程组的是方程组的 基础解系基础解系由上式可以看出由上式可以看出，12,n r 就是就是n-r个个n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的维单位坐标向量，它们是线性无关的 12,n r 也是线性无关的也是线性无关的后后n-r个分量，个分量，因而添加了因而添加了r个分量的向量组个分量的向量组-18-与与 1111100rrbbd
9、 1222010rrbbd 1,.001n rr n rnbbd 比比较较112rrrnddddd 现现在在证证明明任任一一解解可可以以由由，线线性性表表示示1112 (,)Trrnn rdddd 最后最后n-r 个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样样 即即 r+1 1r+22nn-rr+1 1r+22nn-r=d=d +d+d +d+d-19-于是得通解于是得通解 1 11 1nnxccc所以所以，12n-r12n-r,是方程组的是方程组的基础解系基础解系-20-因为秩因为秩(A)24，所以方程组有非零解。，所以方程组有非零解。x12x1x12x
10、2x2x22x32x34x3x42x43x4000 解：解：2 1 2 2 1 1 4 3 1 2 2 1A 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 0 3 6 4 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0 2 5/3，例1解线性方程组解线性方程组通解为通解为x1x2x3x422105/34/301 c2 c1，(c1，c2是任意常数是任意常数)。-21-例例1 1解线性方程组解线性方程组 。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000 解：解：2 1 2 2 1 1 4 3
11、1 2 2 1A 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0 2 5/3，对应方程对应方程(x3，x4为自由未知量为自由未知量)，x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x43410,01xx 令122 10 25/34/3 01 得基础解系得基础解系通解为通解为x1x2x3x422105/34/301 c2 c1，(c1，c2是任意常数是任意常数)。-22-说明：说明：通过基础解系求通解和原来方法求出的通过基础解系求通解和原来方法求出的通解是一样的，过程稍有一点区别而已通解是一样的，过程稍有一点区别而已-23-例例2 2 解线性方程组解线性方程组 07653023055320345432
12、1543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换-24-00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令,010,001.100-25-所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为,001121 故原方程组的通解为故原方程组的通
13、解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依次得依次得.12,31,010312.100123-26-例例2设设 ,是是 的的1)(nArnm21,0 Ax两个不同的解向量两个不同的解向量,k 取任意实数取任意实数,则则 Ax=0 的通解是的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk-27-设设 ,证明证明OBAlnnm nBrAr )()(证证,21lB 记记则由则由),1(0liAOABi 说明说明),1(lii 都是都是0 Ax的解的解)()(,21ArnANrrl 因此因此nBrAr )()(移项移项-28-的三个解向量，是设
14、OAXAr32156,2)(且线性无关，则且线性无关，则_是是AX=O的基础解系。的基础解系。;,)1(3221 ;,)2(321 ;,)3(133221 .,)4(133221 (2),(3)的不同的解，的不同的解，是是设设OAX 21,1)(nArnm则则_可为可为AX=O的基础解系。的基础解系。;)1(11 k;)2(22 k);()3(21 k).()4(21 k(4)(1)(2)-29-例例3)()()(TTAArAArAr 证明证明设设 ,首先证明首先证明nmA 0)(,0)(,0 xAAxAxxAATT即即则则满满足足若若00)()(AxAxAxT同同解解与与0)(0 xAxAn
15、nTnmA)()()()(AArArAAr nArnTT 因此因此即即则则满足满足若若,0)(,0)(xAxAxAxATTT)()()()(ArArAArAArTTTTT 利用这一结论利用这一结论证证-30-例例4求一个齐次方程组求一个齐次方程组,使它的基础解系为使它的基础解系为T)3,2,1,0(1 T)0,1,2,3(2 记之为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程,习惯把未知习惯把未知OABTT 0 xBT的的 A 放在右边放在右边,转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 的列的列(A 的行的行)即可即可.TA 01233210TB解解 得基础解系
16、得基础解系0 xBT,)0,1,2,1(1T T)1,0,3,2(2 设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 ,则则0 AxOA,21 取取 1032012121TTA 即可即可.解解-32-4.3 以下总假设以下总假设)1(bxAnm 有解有解,而其对应的齐次方程组而其对应的齐次方程组)2(0 xAnm的基础解系为的基础解系为rn ,21这里这里)r(Ar -33-)1(.bxAnm )2(.0 xAnm()设设 都是都是(1)的解的解,则则21,21 x是是(2)的解的解.()设设 是是(1)的解的解,是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.x设设 是是(1)的一个解的一个解(
17、固定固定),则对则对(1)的任一解的任一解 x x是是(2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得ikrnrnkkkx 2211)3(2211 rnrnkkkx又形如又形如(3)的向量的向量(任取任取)都是都是(1)的解的解.ik由此得由此得:()注：非齐次方程组的解集不是空间。注：非齐次方程组的解集不是空间。-34-设设 是是(1)的任一解的任一解,则则(1)的通解为的通解为 )(2211Rkkkkxirnrn .2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx 2132111311101111A,00000212100211011 例例5故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解
18、可见可见,42)()(ArAr解解-35-212 2143421xxxxx,042 xx取取,2131 xx则则T)0,0,(2121 xxxxx434212 在对应的齐次方程中在对应的齐次方程中取取,100142 及及xx,210131 及及则则xx,1201,0011 21 得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx 于是所有通解于是所有通解即得方程组的一个解即得方程组的一个解-36-021 mkkkm ,21设设是非齐次方程组是非齐次方程组 Ax=b 的解的解,则则mmkkk 2211是是 Ax=0 的解的解mmk
19、kk 2211是是 Ax=b 的解的解121 mkkk例例6-37-例例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量,且且321,4321,5432321 求该方程组的通解求该方程组的通解.解解T)6,5,4,3()(2321 取取 ,则它就是解则它就是解,从而也是基从而也是基础解系础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为)(1Rkkx -38-自学书自学书P.144-145 例例2、3、5。-40-4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用
