1、第第七七章章 交流电路交流电路7.17.1线性稳定电路的本征讯号线性稳定电路的本征讯号7.27.2元件的阻抗与相位差元件的阻抗与相位差7.37.3交流电路矢量图解法交流电路矢量图解法7.47.4交流电路复数解法交流电路复数解法&基尔霍夫方程组基尔霍夫方程组7.57.5谐振电路及其谐振电路及其 值值7.67.6交流电功率交流电功率7.7 7.7 变压器变压器&三相电三相电一、基于电路传输变换的眼光，论述了电路的线性和稳定性，及其本征讯号为简谐讯号，接着论述了准恒条件下准恒电路中出现的两类叠加关系，这些皆是建立交流电路方程的物理依据；二、基于简谐量与矢量的对应、简谐量与复数的对应，而形成了交流电路
2、的两种解法矢量图解法&复数解法，关注频率特性和特征频率，包括电压频率特性，电流，阻抗和相位差，正是频率特性导致了交流电路具有滤波、相移、旁路分流和谐振等实用功能；本章概述三、对于谐振电路及其品质因数 的多重意义，对于交流电功率及提高功率因数的意义，均作了重点论述。最后，对理想变压器的三种变比关系，对三相电从发电、输电到用电的优越性，作出简明介绍。7.1 线性稳定电路的本征讯号交变电讯号的多样性 简谐讯号系基元讯号简谐讯号的特征量 基本元件及其线性和稳定性电路的线性和稳定性 线性稳定电路的本征讯号为简谐型交变电讯号的多样性（a）直流电路 （b）暂态电路 （c）交流电路电路是由电源和元件组成、且通
3、过导线而构成的一个闭合回路。当电源提供的电动势为周期性的交变电动势时，该电路为交流电路。可按电路的工作状态来划分，交流电路和直流电路均系定态电路，与其对立的是暂态电路。交变电讯号的多样性：（a）简谐型 （b）锯齿型 （c）方垒型（d）半波型 （e）梯型 （f）次波型简谐讯号系基元讯号简谐讯号是一种最基本的典型讯号，称其为基元讯号。任意线型的周期函数可以展开为，一系列特定幅值特定频率的简谐函数之叠加。比如，次波型讯号可以被分解为：1133()coscosu tAtAt311,3AA313.113355()coscoscosu tAtAtAt其中再叠加一个5倍频的小讯号，合成讯号十分接近右图显示的
4、方垒型。511,5AA515.简谐讯号的特征量简谐电动势、简谐电压 和简谐电流，其标准函数形式分别为：0()cos(),ee ttE0()cos(),uu tUt0()cos().ii tIt简谐型物理量特征量有三个：一是其峰值（）。二是其相位或初相位（）；三是其角频率。角频率(rad/s)、频率(Hz)和周期(s)之间的换算关系为,eui 000,UI2,f1.fT我国市电的标准频率为50Hz，即每秒50周或每分钟3000周，相应的角频率和周期分别为：0.02;Ts250Hz100(/),rad s我国广播电台的载波频率标定为：中波段中波段 535 KHz 1605 KHz535 KHz 1
5、605 KHz；短波短波I I段段 1 MHz 1 MHz 10 MHz 10 MHz；短波短波II II段段 10MHz 10MHz 20 MHz 20 MHz。基本元件及其线性和稳定性交流电路中的基本元件有三种。一是电阻元件；二是电容元件；三是电感元件。凡电路元件的性能参数与工作电流 的数值大小无关，则称其为线性元件。三种元件（）系线性元件，而晶体管或电子管系非线性元件。一个电路在长时间工作过程中，由于电流的热效应及其引起的元件结构的热胀冷缩，使电阻值、电容值 和电感值 稍有变化，这涉及元件性能的稳定性问题。简言之，我们讨论的交流电路是由线性且稳定元件组成的电路，泛称其为线性稳定电路。随后
6、将从理论上普遍证明，线性稳定电路的本征讯号或基元讯号为简谐型讯号。,R C L电路的线性和稳定性电路或传输系统，可 抽象地概括为一种变换；它将一输入讯号，变换为一输出讯号，即()(),u te t F也称输入讯号为激励，称输出讯号为响应。设1122,eueuFF定义：当同时输入 ，经电路变换而输出的 若满足线性叠加关系：即则定义此变换为线性变换，相应地称该电路为线性电路。12()ee()u t12()()(),u tu tu t1212 ,eeeeFFF稳定电路：若一电路在一段时间的工作过程中，其传输性能不变，则称其为稳定电路.()(),e tu t数学定义：()(),e tu t()(),e
7、 tu tF()(),tt.e tu t F设若或者是若则称此电路为稳定电路；其中 为延迟时间(延时).稳定电路具有时间平移不变性线性稳定电路的本征讯号为简谐型对一个电路或一个变换而言，若某种线型的讯号具有以下三个特征，则称该线型讯号为本征讯号，或称其为基元讯号。一是，线型不变，同频响应。比如，输入讯号为简谐型，而其输出讯号也是简谐型，且频率相同，只是幅值有变，相位不同（相移）；又比如，输入讯号为锯齿型，而其输出讯号也是同频锯齿型。二是，独立传输，互不交混。比如，输入讯号含有两种不同周期即不同频率 ，且为同一线型的讯号，而输出讯号中仅含 两种成分，彼此间无交混无干涉，不出现混频讯号，诸如 等讯
8、号。12(,)12(,)12()三是，许可分解，满足叠加。这一条可作为以上两个特征的推论。人们探求一电路本征讯号的最终目的，就是将输入的复杂讯号，分解为一系列不同参数的本征讯号的组合，于是其总响应就等于各分响应之叠加。对于线性稳定电路，其本征讯号为简谐型讯号。设输入讯号为简谐型，以复数形式表示，即()(),(),i tite tee te其响应分别为()(),i tu te teFF()()(),itii tu te teeeFFF()(),u tu t()().iu teu t再由电路的稳定性，得于是令 ，取这个关系式暗示 函数的线型为一同频简谐型，它表明当输入延时 ，其对输出的影响仅在于添
9、加一相移因子 ；惟有简谐函数才具此性能。()u t()()()(1)(),iu tu teu t将该关系式改写为：()t 0t(1)(1)d,iiteeit(d)()(),du ttu ti u ttd,dui ut0(),i tu tu e 有于是即由此可见，对于线性稳定电路，当输入为简谐型讯号时，其输出讯号仍为同频简谐型，即所谓同频响应。简谐型讯号理所当然地被确定为线性稳定电路的本征讯号或基元讯号。基于此，将任意线型的周期讯号分解为一系列不同频率简谐讯号的叠加，这一数学手段才有物理意义，或者说，这样处理才有物理功效。故，即将学习的交流电路理论，就是一简谐电路理论，其中传输的均为简谐讯号，即
10、简谐电动势、简谐电压和简谐电流，所要探讨的电路问题就是这类同频简谐量之关系。此外，反映了电路的传输性能。普遍而言，电路的电压传输系数定义为00();()i ti tu eu tue te为一复数形式，可写成其中，反映电压数值的变化率，称其为衰减系数，反映相位变化（相移）；通常，两者与频率息息相关，和 的具体函数形式，取决于电路的具体组成。本征讯号的独立传输互不交混的品性，可用 量给予明确描写：121212()().ititititeeee输入输出,ie()()0u 7.2 元件的阻抗与相位差元件的阻抗与相位差元件的伏安特性 阻抗&相位差基本元件的 几点说明(,)Z元件的伏安特性 阻抗&相位差凡
11、电路中的元件，人们关注其两方面的性能。一是其伏安特性，即其两端电压与其间电流之关系；二是其换能特性，即该元件中发生的能量转换性能。在交流电路中，元件的电压和电流为一同频简谐量，表示为：00()cos(),()cos();uiu tUti tIt两者之关系需两个量才能给予完全描述。一是两者峰值之比值 ，被定义为阻抗 ；二是两者相位之差值 ，直呼其为元件之相位差 。即，00,()UZI阻抗,(rad)ui相位差00/UIZ()ui交流电路中的一个元件，有两个性能指标 .(,)Z交流电路中常使用有效值以替代峰值，比如电压有效值和电流有效值；有效值 与峰值 之间是一个简单的比例关系，被规定为：(,)U
12、 I00(,)UI00000.71,0.71.22UIUUII交流电压表和交流电流表其面盘上的指针读数系有效值。比如，市电标准电压为220伏，则其峰值为021.41.4 220V311V.UUU有效值的引入源于电阻元件上所消耗的平均电功率的表达：22200011dcosdTTPRitRIttTT22200122II RRI R,PIU2.UPR或或基本元件的(,)Z（1）电阻元件。0()()cos(),RiutRi tRIt00,.uiURI这说明：对于纯电阻元件RZR0.R阻抗相位差（2）电感元件。0dd()(cos()ddLiiutLLIttt0cos,2iLIt00,.2uiULI,LZ
13、L这说明：对于纯电感元件阻抗相位差.2L（3）电容元件。0011()()()d,tCutq ti ttCC0dd()(cos(),ddCuui tCCUttt0cos,2uCUt这说明：对于纯电容元件阻抗相位差.2C 00,.2iuICU1,CZC阻抗阻抗相位差相位差电感电感电阻电阻电容电容几点说明（1）这三种基本元件的 各有特点：(,)ZLZL2L RZR1CZC0.R.2C（2）要特别关注阻抗的频率特性。对于电感元件和电容元件，仅给出其电感 值或电容 值，还不足以确定其在电路中的阻抗 值；频率越高，则电感阻抗（感抗）越大，而电容阻抗（容抗）越小。正是阻抗的频率特性导致交流电路的滤波功能、旁
14、路功能，乃至谐振功能。（3）这三种元件均系集中性元件，称之为纯元件。纯电阻元件，集中了电流的热效应；纯电感元件，集中了电流的磁场效应；纯电容元件，集中了电荷的电场效应。换言之，如此看待这类元件，忽略了分散于导线各处的分布电感、分布电容和分布电阻；这在低频条件下是合理的，如果工作频率 甚高，这等忽略就不许可了。7.3 交流电路矢量图解法叠加问题 准恒条件&准恒电路 两类叠加关系 简谐量与矢量对应 矢量图解法大意 RC组合滤波功能RC组合相移功能 RC组合旁路分流功能例题 估算分流比的频率特性 测定实际电感元件的 讨论 RC串联与RL串联组合的并联电路之电压分配特点叠加问题 两个元件 和 串联时，
15、总电压 等于 与 之叠加.11(,)Z22(,)Z1()u t()u t2()u t121122()cos()cos()u tuuUtUtcos().Ut求解思路：将两个串联元件等效于一个元件 求出 与 、之定量关系。(,),Z11(,)Z22(,)Z(,),Z两个元件并联时，总电流等于 与 之叠加.)(1ti)(2ti121122()cos()cos()i tiiItItcos().It求解思路：将两个并联元件等效于一个元件 求出 与 、之定量关系。注：处理两个或两个以上同频简谐量叠加的数学方法有两种，即矢量解法和复数解法。(,),Z11(,)Z22(,)Z(,),Z准恒条件&准恒电路上述两
16、种电路所显示的电压或电流叠加关系，承袭了恒定电路的关系，即认为交流电路中，或 的瞬时分配规律雷同于恒定电路那样。其实，这是有理由被怀疑的()u t()i t长度为 的支路上，串联有两个元件。其左端 a处电流设为 ，右端b处电流设为 。我们知道，电流自a处的传播到b处是需要时间的，因为电磁场传播速度是有限的。即，l()i t()i t()(),.lE tE tc对于交变电讯号而言，其特征时间尺度就是其周期T,当 ，则意味着左端a处几乎即刻传播到b处，以致电流 与 同值同步交变。故称 为准恒条件，满足准恒条件的电路称为准恒电路。()i t,lTc()i t()i t/l cT按准恒条件估算准恒电路
17、的高频上限值。设电路长度 100 cm，且 cm/s，估算出此电路中讯号传播特征时间，103 10c 910100 cm3 10s,3 10cm/slc 取交变讯号准恒周期下限 50倍于 ，即70501.5 10s,T60016 10 Hz6 MHz.fT这一频率值处于我国收音机短波段。至于市电50Hz，远远小于 值，故其交变电路具有甚好的准恒性；即便传输距离 长达10Km,市电50Hz也还是远小于相应的准恒频率上限。0f两类叠加关系目前研究的交流电路都是线性不变的准恒电路，这是建立交流电路方程的依据。在这类交流电路中存在两类叠加关系：一类是电路输入讯号与输出讯号之间的叠加关系。121212(
18、)()()().e te teeu tu tFFF另一类是交流电路内部各段电压之间或各路电流之间的叠加关系，()()()();adabbccdutututut123()()()().aba ba ba bitititit串联：并联：前一类叠加关系基于电路的线性，后一类叠加关系基于电流的准恒性，而电路的时间不变性，保证了简谐讯号为电路传输中的本征讯号或基元讯号。因此，上述两类叠加在数学方法上均归结为若干同频简谐量的求和，这有两种运算方法，即矢量图解法和复数解法。简谐量与矢量对应在角频率给定时，一简谐量有两个特征，即幅值和初相位，而平面上一个矢量也有两个特征，即其长度和方向。让两者对应起来，以简谐
19、电压为例，其对应关系如图所示，令电压矢量之长度等于电压幅值，令电压矢量之方向角等于初相位，即()cos()uu tUtU|,arg.uUUU同样，用一电流矢量对应一简谐电流，即()cos()ii tItI|,arg.iIII矢量图解法大意两个元件串联时，其总电压 与分电压 之关系已由前面给出，相应地总电压矢量 与分电压矢量 之关系由矢量合成图给出：1212()()()();u tu tu tUUU借助于平面三角学中的余弦定理和有关知识，22121221(2cos),();UUUU U11221122sinsinarctan.coscosUUUU为相干项，其中相位差起着重要作用。122cosU
20、U/2 2212();UUU12();UUU012().UUU时，时，时，注意到总阻抗 ，而 ，这里 为串联一路的共同电流，则：221212(2cos).ZZZZ Z/ZU I11/ZUI22/ZUII一般而言，仅当 时，方有 。不过，分电压之比值等于分阻抗之比值，在串联交流电路中依然成立，即：12ZZZ012ZZZ1122.UZUZ1212()()().i tI ti tIII对于并联电路，可画出类似的电流矢量图，22121 2(2cos),IIII I11221122sinsinarctan.coscosIIII遂得:相应地，并联总阻抗与分阻抗之关系为1222121211112cos.ZZ
21、ZZ Z对于交流并联电路两支路电流幅值之比等于分阻抗之反比1221IZIZ这是因为并联时，其两端电压是共同的，即：1122.UI ZI Z RC组合滤波功能RC串联组合具有低通滤波功能221,tan;cRCRUUUUUCR 22221;RCZZZRC如图可得，串联电路的输入电压幅值 和相位 值分别为：相应的阻抗关系为：11.CCRRUZUZCR电容输出电压 与电阻输出电压 之比值：这表明，频率越低的电压讯号将有更大比例从电容输出，或者说，从 C输出的 以低频为主，从R输出的 以高频为主，故称RC串联组合具有低通滤波功能()Cut()Ru t以电压传输系数 描述其低通滤波功能，则21.1()CC
22、UUCR可见，频率越低，则 值越高；当 ，则 ，即输入的直流电压全部降落在电容两端，人们形象地称电容 具有“隔直流”的功能。用电感 替代电阻，而形成LC串联组合，将具有更为明显的滤波功能，其两个分电压幅值之比为:01C2211.CCLLUZUZLC RC组合相移功能输出 与输入 之间具有相位差 ，称 为相移量。)(tuC)(tuCtan.CR 当 ，甚高频情形，有 ；当 ，甚低频情形，有 ；当特定频率，/200001,.4RC 利用RC组合一级相移功能，可进一步形成多级相移，可使输出 与输入 之间相移，从而设计出正反馈线路，制成相移振荡器，它是一种特定频率可调的讯号发生器。RC并联组合旁路分流
23、功能22RCIIIRC并联组合如图所示，相应的电流矢量关系式有：2.1()RZCR,;RcUIICUR.CRICRI总电流：总阻抗：分流：分流比：可见，分流比正比于频率。时，有 。电容一路电流远大于电阻一路，称RC并联电阻具有高频旁路功能，意指高频成分的电流主要从电容支路通过，有时干脆称 C为旁路电容。1/()RCCRII例题 估算分流比的频率特性针对一RC并联电路，设其输入电压幅值 ，电阻 电容 ，试分别算出频率 f=50Hz，500Hz和5KHz时的电流幅值 。先算电阻线路的电流。9.0 VU 210,r 30FC,IRcII 和9.0A90 mA,100RUIR（与频率 无关）。再计算电
24、容线路的电流：6322(30 109)1.7 10(A),CICUfCUff50HZ85.CfImA，500HZ850.CfImA，5 HZ8.5.CfkIA，相应的总电流幅值229085 mA124mA,I 或850.5mA或8.5A；对应的分流比分别为：1,CRII10,CRII210,CRII50HZ.f 500HZ.f 500HZ.f 测定实际电感元件的(,)L r实际电感元件并不单纯，它含绕线电阻r，以及相应的焦耳热耗散，在电路中可用一纯电感 与纯电阻 的串联组合来等效一实际电感元件。故，对于一个实际电感元件应有 两个性能参数 ，它俩决定着该电感元件的品质。拟可选择如图所示的实验方法
25、来测定。(,)L r应用余弦定理：22212122cosUUUU U2221212()cos;2UUUU U 1cos,rUUIr10sin,(2)LUULIf 10sin,2ULf I1cos;UrItan.LQr最终给出 值的推算公式为：得又有：(,)L r电感电阻品质因数【讨论】一RC串联组合与一RL串联组合的并联电路之电压分配特点。参见图，设其总电压为 ，在两支路中点c、d 间跨接一个交流电压表，以观测电压 随可调电容 的变化；当出现跨接电压 为极大值时，试求其电容 ，已知 。abUcdUcdUC(,)L r R7.4 交流电路复数解法&基尔霍夫方程组复数 简谐量与复数对应 复电压&复
26、电流 复阻抗 电阻&电抗 基本元件及其组合的复阻抗公式复数基尔霍夫方程组 例题 两级RC滤波与相移电路讨论 LRC并联组合的两个特征频率 复数 复平面上一点定义一复数:,zajbe.jzA指数式表示:复数两种表示中的两组特征量 和 ，其换算关系为:(,)a b(,)A22,tan;cos,sin.bAabaAbAa322132e,e,ejjjzjjj cossin.zAjA三角函数表示法：比如，简谐量与复数对应 复数有两个特征量，即模与辐角；而简谐量也有两个特征量，即幅值与相位。两者匹配，可以建立一种对应关系如下：模=辐值，辐角=相位即()cos()x tAt()()e.jtx tA简谐量复数
27、 对应的运算操作，比如，两个同频简谐量的叠加，对应为两个复数的求和，即12()()x tx t1212()e,j txxAA 直接用两个复振幅的求和，表达合成复振幅，有：121121212ee(e)ejjjjAAAAAAA112221(cossin)e,()jAAjA222221221212(cos)(sin)2cos.AAAAAAA A 复数算法的优越性充分显现于对简谐量的微分或积分运算中：d()dd(e e);dddjj tx txAj xttt1()dde ed.jj tx ttx tAtxj微分微分积分积分相当于算符的对应变换：ddjt1dtj实数域实数域实数域实数域复数域复数域复数域
28、复数域这样一来，就有可能将有关简谐函数的微分方程或积分方程，转化为复振幅的代数方程予以求解，其优越性不言而喻。与简谐电压 对应的复电压函数为：复电压&复电流()cos()uu tUt()e,j tU tUe.ujUU复电压复电压同理，与简谐电流 对应的复电流函数为：()cos()ii tIt()e,j tI tI复电流复电流e.ijII对于交流串联电路，因其复电流是统一的，其总电压等于各段电压的叠加关系，就被表达为：123UUUU对于交流并联电路，因其复电压是共同的，其总电流等于各支路电流之叠加，可被表达为：123IIII 复阻抗 电阻&电抗交流电路中的一个元件，具有两个参数 ，不妨令它俩组成
29、一复数，称之为复阻抗，用符号 示之，即：(,)ZZe.jZZ其中，阻抗和相位差的原本定义是,;uiUZI()ee.euuiijjjUUUZIII故，复阻抗 的定义式被展开为复数欧姆定律：交路电路中一元件的复阻抗与其复电压和复电流之关系，具有类似欧姆定律的简单形式。,UZI.UZ I 或交流电路中一旦所有元件的分布及其复阻抗给定，则这电路的解便可确定。故确定基本元件和基本组合的复阻抗公式，是颇为必要的。首先给出串联组合或并联组合的复阻抗一般性公式。若三个元件 串联起来，则其总阻抗为：123;ZZZZ若这三者并联起来，则其总复阻抗满足以下关系：1231111;ZZZZ取 之倒数，被称为复导纳，以表
30、达上式较为简单，即并联复导纳公式为Z1/YZ123.YYYY复阻抗是一复数，它在复平面上就有相应点。取其实部 和虚部表示复阻抗为：,Zrjx称实部 为电阻，称虚部 为电抗。与 之间的换算关系为：rx(,)r x(,)Zcos,sin;rZxZ22,tan.Zrxxr 基本元件及其组合的复阻抗公式,RZR,LZj L1,CZj C1CZjC 或1ZRj C,ZRj L11.j CZR“电容性电容性”“电感性电感性”“电容性”1,ZRjLC其相应的特定频率为01.LC11j CZRj L也有“三性”，何种条件，值得讨论。1/.YZ复导纳 复数基尔霍夫方程组对于任意一节点，其电流方程为：()0,0;
31、i tI()0,0.u tU对于任意一个回路，其电压方程为,;LLUj LI 凡经电感每段复电压的具体表达：1,;CCUIj C 凡经电容,;RRURI凡经电阻凡经电源,U E=E.前面正负号选择的原则是，顺 方向取正号，逆 方向取负号。II 例题 两级RC滤波与相移电路一个两级RC电路如图所示，求其电压传输系数，()00e.babaUUUU出入其回路复电压方程组如下：11202121()0,11()0;aRIIIUj CRIIIj Cj C经整理1201211,120.aRIIUj Cj CIRIj Cj C202.1()3aj CIUCRj CR解出输出电压为020211,1()3baUI
32、Uj CCRj CR复电压传输系数为：21e.1()3iCRj CR（1）电压比的频率特性。241()|.1 7()()UUCRCR 出入01,CR01,RC01().3 随频率增加其输出电压递降，此电路具有低通滤波功能。对于某一特殊频率。（2）相移量的频率特性。23()argargtan,1()baCRCR 0,;2 0,.2 在特征频率邻近出现阶跃.交流电桥交流电桥一般结构交流电桥的一般结构如图所示，其四臂元件之复阻抗设为 ，桥路中串接一灵敏电流计，用以检测桥路电流 是否为零。交流桥的平衡指标为1234(,)Z ZZ Z()gIt()0,gi t()0,abut 00()().abutut
33、即或这里0点选定为电势参考点。交变电压 与 必须时时相等，电桥方可平衡；这不仅要求电压幅值相等，而且要求两者相位一致。0au0bu将桥路断开，有1113,ZUUZZ2224;ZUUZZ12,UU3124.ZZZZ令得称其为交流桥的平衡条件，它表明交流桥四臂之阻抗应当匹配，以满足该式而达到平衡，此时电流计示零。这一复数等式包含两个实数方程。3124,ZZZZ1234,（阻抗匹配条件）（相位匹配条件）如果四臂元件选配不当，无论怎样调节其参量，也将无法使电桥达到平衡。右图所示电桥便是如此。其症结在于那相位匹配条件，原则上是否可能被满足。对于该电桥的四个元件，其相位取值符号为：1234()(0)()0
34、;()()(0)0;例题 测定介质电容器的漏电阻由于诸多原因，电容器中的介质并非绝对绝缘，比如，材料中混有杂质，或填充介质时混进气泡，以致工作时有些许电流通过电容器，称其为漏电，在高电压或湿热环境中，这漏电就将加重。在电工学中，测定实际电容器的 是必要的，这里r为漏电阻。如图所示的交流电桥，其四臂复阻抗分别为：(,)C r133242441,111,;xxZrZRj CZj Cj CZR其复阻抗匹配方程为：234411,xxrj CRj Cj CR322434,xxRCj C rj C RCR324,xRCCR243,xC rC R即得(实部相等实部相等)；（虚部相等）（虚部相等）最终测出该电
35、容器的两个性能参数及其损耗因数，423,xRCCR432;xCrRC44.xCrR CZ电容漏电阻损耗因数【讨论】LRC并联组合的两个特征频率如图，一个含电阻的电感元件 与一电容并联。试讨论：（1）四个参量 为怎样的定量关系时，该组合呈现电容性，或电感性，或电阻性。（2）求出其复阻抗之相位差为零时的特征频率。（3）求出其阻抗为极大值时的特征频率。(,)L R C7.5 谐振电路及其 值串联谐振电路&定态解 频率特性谐振电路的品质因数 谐振峰的通频 带宽度谐振电路储能与耗能之比值 无源LRC电路的对数衰减率谐振系统Q值的多重意义 并联谐振电路电流谐振&电压谐振Q通过 ，将上式转换为：串联谐振电路
36、&定态解 串联谐振电路如图所示，该电路微分方程的原始形式为：d1dcos()diLRii tttCE0d/diqt20002dd1cos()ddqqLRqtttC E这是一个标准的二阶线性常系数非齐次的微分方程，其齐次方程之通解均为衰减型函数，它系非定态解，已在第6章6.5节LRC暂态过程中讨论过；眼下关注的是其定态解，此乃非齐次方程的特解。有理由预设其特解具有同频余弦型函数形式，凭借简谐量与复数的对应及其算符的对应变换：()cos()e,e,ijj tii tItiIIIcos()j tteEEEed;djt1d;tj可将上式转化为复函数的方程如下：d1ddiLRiittCE1j LiRii
37、j CE相应的解为()e,1j ti tRjLCEe.1ijIIRjLCE实电流幅值及其初相位为22,1IRLCE1tan.iLCR 复电流也可由串联复阻抗之公式，而直接求得，1RLCZZZZRjLC,1UIZRjLCE还可以采用矢量图解法予以求解，以电流矢量为水平基线，三个分电压矢量分别为，垂直向上，垂直向下，而 沿水平方向。于是，总电压幅值 与 之关系为LUCURUU(,)LCRUUU22();RLCUUUU,RURI,LULI1;CUIC221UIRLC即1tan.LCRLUUCUR 频率特性本电路的频率特性，集中体现在以频率为变量的三个函数上，即电流幅值，阻抗 和相位差，相应的三条频率
38、响应曲线（频应曲线）显示于右图，其特征择要如下。（1）令人注目的谐振角频率 。电流随频率的变化并非单调，当出现电流极大值 ，阻抗极小值 ；称 为电流谐振峰，谐振一词或谐振电路之命名源于此。010,LCMImZMI由上式得谐振角频率和谐振频率公式，比如，则 ；若 则 。（2）电流峰值&阻抗谷值。在谐振频率处，电流峰值和阻抗谷值分别为01,LC01.2fLC50,3,LmH CF0400fHz0130fKHz5,300,LmH CpF0(),BMUIIRRE0(),mZZR0()0.此处（3）电流谐振峰的锐度。从图中看到，当电阻 减少，则电流峰值越高，且 曲线显得越尖锐。（4）总之，当频率 ，此L
39、RC串联组合宛如一纯电阻那样，这源于感抗等于容抗，以致电压 与 两者幅值相等，而相位差彼此恰巧抵消；于是，包括幅值与相位均相等，即 ，。LRC串联组合的这一品性，在曲线 上显得更为清楚：0()Lu t()Cut()()Rutut总RUU总0R总0,电感性：电感性：电容性：电容性：纯电阻性：纯电阻性：1,LC当0;则0,1,LC当0;则0,1,LC当0.则,;2当0,;2 当 谐振电路的品质因数电路出现谐振时，四个电压幅值之关系为：0,LCMUULI;RMUURI总当感抗 大于或远大于电阻R时，电压 、就将大于或远大于总电压 或电动势；兹将电压之比值 定义为谐振电路的品质因数（quality f
40、actor），用符号 Q示之，即0()LLUCUU总/LUU总LUQU总，CUQU总；或0.LQR得一串联谐振电路中，前已算得 ，于是其品质因数值为50,3.0,3.0,LmH RCF02400 rad/s3(2400)(50 10)40;3.0Q将该组合连接于 =25V 的交流电源，则达到谐振时，25V,RU LCUUQ40 25 V1000 V.在进行交流电路实验时，要注意其局部电压可能大于或远大于总电压。局部可以大于整体，此乃相干叠加场合常见的一种物事。谐振峰的通频带宽度在交流讯号传输场合，人们关注谐振峰的锐度。为此引入通频带宽度 一量，用以反映谐振峰的锐度，言下之意，频率在 以外的输入
41、讯号，该电路所响应的电流值显著下降而变得甚弱，如图所示。通频带宽度被定义为 212101()()()70%.2MIIII且满足据此导出关于 的一个公式如下1(),(1,2);2nMIIn22,21nnRRLCEE22212;nnRLRC212111,;LRLRCC 2222111,1;LCCRLCCR 222121()(),LCCR21().RL令即有遂得化简为最终得：以 与谐振频率 之比值，来考量通频带性能更有意义。0001,LQQR这表明谐振电路Q值越高，其通频带越窄，谐振峰越尖锐，它对外来讯号的频率选择性也就越好；对于接收广播电台电磁波的收音机而言，就不易串台。然而，峰值过分尖锐，可导致
42、收音机的音色不够丰满，音质下降。如何选择合适的Q值，要视不同用场予以酌定。比如，对于收音机中的谐振元件称为中周变压器而言，选择 左右为宜；如是，则此收音机便可以将电台发射的载波讯号，其频宽约为音频范围 ，完满地予以接收。50Q 20 KHz 谐振电路储能与耗能之比值在 三个元件 之中，电感和电容系储能元件；而电阻元件始终为耗能元件。可以通过储能与耗能之比值来度量谐振电路在能量方面的品质。其总储能，(,)L R C2211()()()(),22SLCCWW tWtLi tCut2201(),2SW tLILI当 ，电路处于谐振。0（与时刻 t无关）；在交变一周期过程中，电阻的耗能为:2002;R
43、WPTI R两者之比值为001,.22SRWLLQQWRR 无源LRC电路的对数衰减率先给电容充电，尔后合上电键，则电容放电而电感充磁，同时电阻耗能，可以预料该无源LRC电路的解呈现衰减函数形式，在低阻尼情形下，将呈现衰减振荡，而并非单调下降，其解为0()ecos,tSq tqt24;LRC21,;24SRLRLLC当在极低阻尼条件下，有01,selfLC当24.LRC 为LRC串联电路谐振频率，相应的谐振周期为 引入对数衰减率一量，用以度量相邻两个幅值的比率0002/.T 00000()2lnlne,()2Tq tRRTq tTLL00()ln,()Lq tQq tTQR即 Q值越高，幅值衰
44、减越小，这乃是预料中的事，因为电阻R值越小，则耗能就少，而电感L值越大，则储能就多。谐振系统Q值的多重意义品质因数 Q值具有多重物理意义，谐振电路诸多方面的品质均与 Q值直接相关，或正比于Q值，或反比于Q值，而这些品质正是实际上所关切的。对于谐振系统及其Q值，尚有三点值得指出。（1）谐振系统是物理世界中一类重要系统。比如，眼前的谐振电路，力学中的受迫振动系统，乐器中的共鸣腔，激光器中的光学谐振腔，光谱学中的共振吸收；还有，凡电视机、收音机或雷达接收站等这种电磁波接受系统中，皆有谐振功能器件作为其核心器件之一。面对任何一种谐振器或谐振系统，首当其要的是其谐振频率及其品质因数Q值，关注Q值取决于哪
45、些因素，因为由其 值便可推定该系统的所有品质。（2）究竟如何定义Q值，这可以有不同的选择。在谐振电路中，选择谐振频率点 时的电压比或电流比，作为Q值的定义式最为直观和实用，进而导出其它物理量比率与Q值之间的简单比例关系。其实，选择上图中任何一个比率作为Q值的定义式，均可导出其它三个比率与Q值之间的简单比例关系。换言之，从逻辑程序上看，上图表中显示的四个比率中各自之地位是等价的。（3）无疑，选择储能与耗能之比值，作为谐振系统品质因素Q值的定义，具有更为广泛的适用性。如此便不受制于电压电流概念，而通用于其它非电路式的谐振系统，因为能量概念相当普适。当然，这种定义方式也适用于谐振电路。并联谐振电路（
46、a）并联谐振电路，（b）电流矢量图，（c）支路电流自行循环并联谐振电路三条频应曲线（1）频率特性。其电流幅值、阻抗 和相位差 的频应曲线，显示于右图。当频率为 ，出现电流极小值，即 ，同时阻抗出现极大值；而当频率为 时，相位差 ，此时该电流呈现纯电阻性，其电压与总电流同步交变，相位之差为零。r()rmII00()0（2）两个谐振频率。注意到 并联谐振电路，存在两个特征频率 和 ，不妨称呼 为阻抗谐振频率，称呼 为相位谐振频率，两者并非同值略有差别。若无特别声明，其谐振频率指称 ，在这 频率点上，该电路既非电容性亦非电感性，而表现为纯电阻性。(,)L r Cr0r000（3）运用矢量图解法。该电
47、路的电流矢量关系如图。在电压U给定条件下，从电流矢量图中获知，22221,()CCUUICUIUZZrL2tan;Lr对支路 的电流矢量 作正交分解为 ，其中，(,)L r2I/(,)II/2222222cos,()()rrIIIUrLrL2222222sin;()()LLIIIUrLrL222222/22()(),()CrrLCLIIIIUrL而总电流幅值为（4）求出相位谐振频率。令 ，则总电流矢量 与电压矢量 方向一致，且 ，表现为纯电阻性。据此，有CIII/IIU22,()LCrL221,rLLC20011;,rLCLLC2.LrC01;rLC01.rLC当得即2,LrC当令 ，成为无阻
48、尼的理想情形，则以上近似式均过渡为严格的等式，即0r（5）分支电流与总电流值之比值。在谐振频率点处，考量分支电流与总电流 之比值02/tan.CILIQIIr此比值被定义为并联谐振电路的品质因素Q值；电阻r值越小，则Q值越高，分支电流则更大于总电流.比如，设 ，且 ，则电容支路电流 而电感一路的电流为50Q 2 mAI 100 mACIQI22222/1100 mA.IIIQIQI支流远大于总流。惟有一种可能，即支流环行于 自身回路，形成一幅电流自我循环图像，如图所示，这正是 与 相位差 的体现，而对总电流 有贡献的仅是 ，其幅值 或 ，当Q值很高时。说到底，这种支流分配特征根源于 并联组合含
49、有两个性质相反的储能元件，一者充、放磁能，另者充、放电能，彼此交流，互相转换而循环不已。(,)L r C()Cit()i t()i t/()it/IICI(,)L r C 电流谐振&电压谐振对于 串联谐振电路，由于其阻抗 出现极小值，因而其电流出现峰值，故称其为电流谐振。对于 并联谐振电路，由于其阻抗 出现极大值，因而在与其它电阻或电源内阻串联而分压时，它将获得极大电压，故称它为电压谐振。曾记得，在力学受迫系统中，有所谓速度谐振与位移谐振之别；如果将谐振电路与它作类比的话，那么串联谐振类似于那速度谐振，而并联谐振类似于位移谐振。顺便提及，在电磁讯号接受和传输的电子线路中，常用（LrC）并联组合
50、作为负载，以获得特定频率 的极大电压讯号，而实现选频，再耦合至下一级放大器。(,)L r C(,)L r C7.6 交流电功率瞬时电功率 平均电功率及其计算公式有功&无功 提高功率因数元件Q值&介质损耗角 瞬时电功率 电功率等于其电流与电压的乘积，这一关系是普遍成立的。在交流电路中，为任意元件提供的瞬时电功率为，00()()()coscos(),p ti tu tIt Ut001()cos(2)cos.2p tI Ut其结果为瞬时电功率呈现周期性变化，且频率加倍（倍频）平均电功率及其计算公式00011()dcoscos.2TPp ttI UIUT交流电的平均电功率00,22IUIU(有效值,）
