1、空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）第三章 平面与空间直线小结平面束平面束点到直线的距离点到直线的距离平面的一般方程平面的一般方程.一一、平面平面第三章 平面与空间直线小结.线的向量与平面平行的两个不共平面的方位向量,0),(0barr：,0222111000ZYXZYXzzyyxx或,222111为平面的方位向量ZYXbZYXa平面的点位式方程平面的点位式方程,000
2、0zyxrzyxr,),(),(0000点上的定点和动分别为点zyxMzyxM.,210210210vZuZzzvYuYyyvXuXxx：.,为参数的参数方程平面vu的方程的平面过不共线三点)3,2,1)(,(izyxMiiii,0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx或0),(13121rrrrrr,0DCzByAx平面的截距式方程平面的截距式方程1 czbyax.,)0(,轴上的截距分别称为平面在zyxabccba平面的一般式方程平面的一般式方程).3,2,1(,izyxOMrzyxriiiii为平面上动点的向径，.0,不同时为一次项系数CBA平面一般式方程的几
3、种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：0)1(D平面通过原点；平面通过原点；);()00(0,0轴轴或轴平面平行于或xyzABCD则中有一为,0,)2(CBA);()00(0,0轴或轴轴平面过或xyzABCD则中有两个为,0,)3(CBA.,是平面的一个法向量在直角坐标系下CBAn 0)()()(000zzCyyBxxA).()00(0,0面面或面即为平面或xyxzyzBACACBD平面的点法式方程平面的点法式方程);()00(0,0面面或面平行于平面或xyxzyzBACACBD.,),(0000个法向量是平面的一为平面上定点CBAnzyxM平面的法式方程平面的法式方程.0coscosco
4、spzyx,cos,cos,cos是平面的单位法向量n.,到该平面的距离是原点常数方向余弦一次项系数是法向量的p.0coscoscospzyx将一般方程,0DCzByAx必须乘以它的法化因子化为法式方程,2221CBA程符号的选取是使法式方,0)(DCzByAx.中常数项非正关于平面点),(0000zyxM.0coscoscospzyx间的离差是.coscoscos000pzyx离为间的距与平面点0),(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd.0,0,0)(的同侧在与原点点上在点的异侧在与原点点OMMOMM离差符号的几何意义两个平面,022222DzCyBxA：,01
5、1111DzCyBxA：之间夹角的余弦),(cos21.222222212121212121CBACBACCBBAA,021212121CCBBAA，2121212121/DDCCBBAA,:22211121CBACBA相交与.2121212121DDCCBBAA重合与面束交线的所有平面构成平与通过平面21束中平面的方程是,0)()(22221111DzCyBxAmDzCyBxAl.,是不全为零的任意实数ml(*)2121(*),与式为有轴面束则是相交平面与若平面也可写为这时方程式为平行面束则平行(*),(*),0111zCyBxA.为任意实数二二、直线直线.与直线共线的非零向量直线的方向向量
6、.,为参数的向量式参数方程 tl.0v trr,),(0000向量为其方向为直线上一定点ZYXvzyxMzyxr,分别是直线上动点与0000,zyxr.0的向径与MM.的坐标式参数方程l.,000ZtzzYtyyXtxx，对称式对称式(或标准式或标准式)方程方程.000ZzzYyyXxx两点式方程两点式方程).(121rrtrr,)2,1(),(为直线上定点izyxMiiii.)2,1(,的向径为点iiiiiMizyxr).(),(),(121121121zztzzyytyyxxtxx或空间直线的一般方程空间直线的一般方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA（注：两平面不平行）（
7、注：两平面不平行）：l221122112211,BABAACACCBCBv的方向向量为l两直线,:1111111ZzzYyyXxxl,:2222222ZzzYyyXxxl之间夹角的余弦),(cos21ll.222222212121212121ZYXZYXZZYYXX:1 异面;0222111121212ZYXZYXzzyyxx:2 相交;:,0222111ZYXZYX:3 平行);(:)(:)(:121212222111zzyyxxZYXZYX的充要条件判定两直线的相关位置.0212121ZZYYXX:4 重合);(:)(:)(:121212222111zzyyxxZYXZYX:)(5在直角坐
8、标系下垂直到直线空间一点),(0000zyxM,:111ZzzYyyXxxl的距离.),(010vvMMlMd,的方向向量是lZYXv.,1111上定点是lzyxM两异面直线,:1111111ZzzYyyXxxl,:2222222ZzzYyyXxxl间的距离.)(),(21212121vvvvMMlld(1)(1)(2)(2)或.YZ),(22211222112221122211112121221YXXXZXZZYYZYXZYXzzyyxxlld.)2,1(),(上的已知点分别为ilzyxMiiiii.)2,1(,的方向向量分别为ilZYXviiiii异面直线异面直线(1)(1)与与(2)(2
9、)的公垂线方程的公垂线方程0.0,2222221111110ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxxl：221122112211YXYXZXZXZYZYZYX，式中.,021的方向数即公垂线的分量是lvv.0,0:222211111DzCyBxADzCyBxAl直线两条用一般方程给出的.0,0:444433332DzCyBxADzCyBxAl.04444333322221111DCBADCBADCBADCBA在同一平面上直线,:000ZzzYyyXxxl与平面,0:DCzByAx的正弦之间夹角.sin222222ZYXCBACZBYAX的相关位置的充要条件与平面判别直线l:1 相交；0
10、CZBYAX:2 平行；0DCzBy,000AxCZBYAX:3 直线在平面上；0DCzBy,000AxCZBYAX:)(4在直角坐标系下直线与平面垂直.ZCYBXA第三章思考题第三章思考题二直线间的距离.二直线间的距离.是否相交？如不交，求是否相交？如不交，求和和判断判断,:,:设有两条直线设有两条直线思考题思考题212142324311212LLt,zt,ytxLzyxL思考题思考题1解答解答,6,2pnms且有且有.0s,0ks,0is 0206mp,0,6 mp,0s,0 n故当故当 时结论成立时结论成立,0 m6 p,0 n不不平平行行；s s与与s s显显然然，1 1,2 2，4
11、4,s s3 3,2 2,1 1,s s解解：2 21 12 21 10 01 11 12 21 14 43 31 12 24 42 23 3s s,s s共共面面。由由于于A AB B，L L,L L相相交交L L,L L4 4),B B(2 2,3 3,1 1,1 1,0 0),上上分分别别取取点点A A(L L,L L2 21 12 21 12 21 12 21 1,AB是异面值线.是异面值线.L L,L L2 21 1思考题思考题2解答解答1L2L0 0,1 15 56 6z z1 16 6y yx x0 02 21 14 43 31 12 2z z1 1y y1 1x x的的平平面面
12、，其其方方程程为为作作平平行行于于L L过过直直线线L L2 21 1.29329311116 616161 115154)4)(6 63 316162 2d d的距离即为所求，的距离即为所求，4）到平面4）到平面上的点B（2,3,上的点B（2,3,L L2 22 22 22 2,k k6 6j j1 16 6i i2 21 14 43 31 12 2k kj ji is ss ss s垂垂直直，故故s s,s s的的方方向向向向量量L L,与与L Ls s共共垂垂线线的的方方向向向向量量L L,注注：L L2 21 12 21 12 21 12 21 1的的.2 29 93 31 11 16
13、 6)(1 16 6)(1 1)(4 4)(6 62 21 16 63 31 1s ss sP Pr rj jd d则则4 4),B B(3 3,2 2,1 1,1 1,0 0),上上分分别别取取点点A A(L L,在在L L2 22 22 2s s2 21 1ABAB一、一、填空题：填空题：1 1、通过点通过点)3,1,4(且平行于直线且平行于直线5123 zyx的直线方程为的直线方程为_；2 2、直线直线 012309335zyxzyx与直线与直线 0188302322zyxzyx的夹角的余弦为的夹角的余弦为_；3 3、直线直线 003zyxzyx和平面和平面01 zyx在平在平面面012
14、 zyx上的夹角为上的夹角为_；4 4、点、点)0,2,1(在平面在平面012 zyx上的投影为上的投影为 _ _；第三章第三章 练练 习习 题题5 5、直线直线723zyx 和平面和平面8723 zyx的关系是的关系是_；6 6、直线直线431232 zyx和平面和平面3 zyx的关的关系是系是_.二、二、用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线L：421zyxzyx .三、三、求过点求过点)2,1,3(且通过直线且通过直线12354zyx 的的平面方程平面方程.四、四、求直线求直线 0923042zyxzyx在平面
15、在平面14 zyx上上的投影直线的方程的投影直线的方程.五、五、求与已知直线求与已知直线1L：13523zyx 及及2L：147510zyx 都相交且和都相交且和3L：137182 zyx平行的直线平行的直线L.六、设一平面垂直于平面六、设一平面垂直于平面0 z,并通过从点并通过从点)1,1,1(A 到直线到直线L：001xzy的垂线，求此平面的方程的垂线，求此平面的方程.七、七、求两直线求两直线1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的公垂线的公垂线L的方程，及公垂线段的长的方程，及公垂线段的长.八、求过点八、求过点)4,0,1(且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与
16、直线31311zyx 相交相交的直线方程的直线方程.九、九、求点求点)2,1,3(P到直线到直线 04201zyxzyx的距的距离离.一、一、1 1、531124 zyx；2 2、0 0；3 3、0 0；4 4、)32,32,35(；5 5、垂直；、垂直；6 6、直线在平面上、直线在平面上.二、二、311121 zyx,tztytx31121.三、三、592298 zyx.四、四、014117373117zyxzyx.第三章第三章 练习题答案练习题答案五、五、2257265828 zyx或或1755872zyx .六、六、012 yx.七、七、11x234234 zy或或 010542044zyxzyx,1 d.八、八、28419161 zyx.九、九、223.
