1、有理数 有理数定义 有理数加减乘除的法则 1.1正数和负数?以前学过的0以外的数前面加上负号“”的书叫做负数。?以前学过的以外的数叫做正数。?数既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。?在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数?1.2.1有理数?正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。?整数和分数统称有理数。?1.2.2数轴数轴?规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。?数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。?注意事项：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。?同一根数轴，单位长度不能改变。?一般地，设是一个正数，则数轴上表示 a
2、的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数a的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度。?1.2.3相反数?只有符号不同的两个数叫做互为相反数。?数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。?在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数。?1.2.4绝对值?一般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值。?一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。?在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。?比较有理数的大小：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。?两个负数，绝对值大的反而小。1.3有理数的
3、加减法?1.3.1有理数的加法?有理数的加法法则：?同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。?绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。?一个数同0相加，仍得这个数。?两个数相加，交换加数的位置，和不变。?加法交换律：abba?三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。?加法结合律：(ab)ca(bc)?1.3.2有理数的减法?有理数的减法可以转化为加法来进行。?有理数减法法则：?减去一个数，等于加这个数的相反数。?aba(b)典型例题类型之一类型之一:应用创新型例应用创新型例1、?仓库内原存粮
4、食4000千克，一周内存入和取出情况如下(存入为正，单位：千克)：?2000,1500,300,600,500,1600,200问第7天末仓库内还存有粮食多少千克？?【解析】本题使用正负数来表示具有相反意义的量 存入和取出。?【解答】?2000+(-1500)+(-300)+600+500+(-1600)+(-200)?=2000+600+(-1500)+(-1600)+(-300)+500+(-200)?=2600+(3100)?=500(千克)?4000+(500)=3500(千克)?答：第7天末仓库内还存有粮食3500千克.典型例题在类型之二在类型之二:凑整型例凑整型例2.?计算（0.5
5、）+（）+（+2.75）+（）.?【解析】在进行三个以上的有理数的加法运算时，可以利用加法的交换律和结合律，把互为相反数或相加得零的数结合起来.?【解答】?（0.5）+（）+（+2.75）+（）?=（）+（）+（）+（）?=6+6=0.?【评注】把能凑成整数的两个或多个数结合起来，把同分母的数结合起来，把正数、负数分别结合起来，可以使运算简便、迅速且易于检查.413?215?215?413?21?215?413?432?典型例题类型之三类型之三:运算律型例运算律型例3、?计算（0.5）+（）+（+2.75）+（）.【解析】在进行三个以上的有理数的加法运算时，可以利用加法的交换律和结合律，把互为
6、相反数或相加得零的数结合起来.?【解答】?（0.5）+（）+（+2.75）+（）?=（）+（）+（）+（）?=6+6=0.?【点评】把能凑成整数的两个或多个数结合起来，把同分母的数结合起来，把正数、负数分别结合起来，可以使运算简便、迅速且易于检查.413?215?215?413?21?215?413?432?典型例题类型之四类型之四:综合应用型例综合应用型例4?某市冬季的一天，最高气温为 6，最低气温为11，这天晚上的天气预报说将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降 1012，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少度?最低气温不会低于多少度?以及最高气温与最低气温的差至少为多
7、少度?.?【解析】计算由某一温度下降若干度后变为多少度，应该进行减法计算.“气温下降1012度”的含义是至少下降10，最多下降12.估计第二天的最高气温，应该用当天的最高气温减 10，而不能减12，估计最低气温则与此相反.估计第二天最高气温与最低气温的差至少为多少度，应该用下面“式子”进行计算：（当日最高气温 12）（当日最低气温10）.?【解答】?610?=6+（10）?=（106）?=4,1112?=（11）+（12）?=（11+12）?=23,?答：估计第二天该市最高气温不会高于 4，最低气温不会低于 23，第二天最高气温与最低气温的差至少为 15.（612）（1110）=6+（12）1
8、1+（10）=（126）（11+10）=6（21）=6+21=216=15.1.4有理数的乘除法?1.4.1有理数的乘法?（1）有理数乘法法则：）有理数乘法法则：?两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。?（2）任何数同0相乘，都得0。?乘积是1的两个数互为倒数。?几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。?（3）两个数相乘，交换因数的位置，积相等。abba?三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）ca（bc）?一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积
9、相加。a（bc）abac?（4）数字与字母相乘的书写规范：?1）数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”?2）数字与字母相乘，当系数是 1或1时，1要省略不写。?3）带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。?用字母x表示任意一个有理数，2与x的乘积记为2x，3与x的乘积记为3x，则式子2x3x是2x与3x的和，2x与3x叫做这个式子的项，2和3分别是着两项的系数。?一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即axbx（ab）x?上式中x是字母因数，a与b分别是ax与bx这两项的系数。?（5）去括号法则：?括号前是“”，把括号和括号前的“”去掉，括号
10、里各项都不改变符号。?括号前是“”，把括号和括号前的“”去掉，括号里各项都改变符号。?括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应 1.4.2有理数的除法?1、有理数除法法则：?除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。?aba(b0)?2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。?3、因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。典型例题 类型之一:巧用运算律简化计算型 例例
11、1(1)(6)32+(21)=(6)32+(6)(21)(2)29(65)(12)=29 (65)(12)【解析】本题运用乘法对加法的分配律来计算，过程会比较简单。【解答】（1）21(6)()32?21(6)(6)()32?4 31?（2）529()(12)6?529()(12)6?29 10 290?类型之二:结构繁琐型?例例2.计算：2 00220 032 003200320 022 002.?【解析】所乘积位数较多，直接计算较麻烦，两组因数结构相同，应该利用这一特点.冷静分析，尽量“绕”过烦琐的计算，这是计算中必须注意的.小括号的出现与“消失”，更是灵活性的体现.?【解答】?2 0022
12、00320032 00320022002?=2002（2 00310001）2003x（200210001）?=2 0022 00310 0012 0032 00210 001?=0.类型之三:整体代换型 例例 3.计算：(21+31+20031)(1+21+20021)(1+21+31+20031)(21+31+20021).【解析】如果直接计算，很繁，且容易出错.根据它的特点，可以把其中一个括号内的算式当作一个整体，其他括号内的算式可用这个整体适当代换.这样计算较简单.【解答】设1+21+31+20031=a.则 原式=(a1)(a20031)a(a120031)=(a1)a(a1)20031a(a1)(20031)a =20031.类型之四:乘除混合型 例例4计算：（1）7 314 3；（2）（215?512）323；（3）（3.5）87（43?）【解析】对混合运算应先算除法、再算减法.有括号先算括号里面的，第二题把除法变成乘法利用乘法分配律更简单.【解答】（1）7 314 3=7311431=（7 14）31=2131=7；（2）（512215?）323=（512215?）113=10215323113511113211?（3）（3.5）87（43?）=27?78(43?）=（437827?）=3.
