1、概率统计概率统计下页结束返回第第3 3节节 连续型连续型随机变量随机变量二、常见二、常见随机变量的随机变量的分布分布一、连续型随机变量的分布函数一、连续型随机变量的分布函数下页概率统计概率统计下页结束返回2.3 2.3 连续型随机变量连续型随机变量 定义定义 设设F(x)为随机变量为随机变量X的分布函数，若存在非负可积的分布函数，若存在非负可积函数函数f(x)，对任意实数，对任意实数x有有()F xP Xx则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X的概率密度函数，简称为的概率密度函数，简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数或或密度密度.二、性质二、性质(2)()1.规
2、范性：f x dx下页几何意义：几何意义：f(x)下方下方x轴轴上方所围面积为上方所围面积为1一、定义一、定义()()xf t dtx 0 xy()f x(1)()0;非负性：f x概率统计概率统计下页结束返回(3)().baP aXbf x dx(4)在在f(x)的连续点处有的连续点处有()().f xF x(5)连续型随机变量取连续型随机变量取任何实数值任何实数值 a a 的概率等于的概率等于0.即即 PX=a=0由性质由性质(5)可得可得P aXb().baf x dx下页0 xyabf(x)P aXbP aXbP aXb概率统计概率统计下页结束返回 例例1 1.设随机变量设随机变量X的
3、密度函数为的密度函数为1,02()0,axxf x其它求求(1)常数常数a;221)3(XP(2)分布函数分布函数F(x).解解:(1)由由1()f x dx20(1)22,axdxa解得解得 A=1/2.11,02()20,xxf x其它下页三、分布函数求法三、分布函数求法从而得从而得概率统计概率统计下页结束返回求求(2)分布函数分布函数F(x).当当0 x2时，时，;411210)()(200 xxdttdtdttfxFxx）（当当x2时时,10)121(-0)()(2200dtdttdtdttfxFx由定义有由定义有下页xxdtdttfxF;00)()(当当x0时时,11,02()20,
4、xxf x其它 例例1 1.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为()()xF xf t dt概率统计概率统计下页结束返回下页从而得分布函数为从而得分布函数为20,01(),0241,2xF xxxxx 221)(221)3(dxxfXP21219(1).216xdx另：1192(2)()2216PXFF概率统计概率统计下页结束返回例例2.2.设连续型随机变量的分布函数为设连续型随机变量的分布函数为 求常数求常数A.解：解：下页0,0()sin(),0/2,1,/2xF xAxxx因为因为F(x)为连续型随机变量的分布函数，所以为连续型随机变量的分布函数，所以F(x)为连续函数，由连续
5、函数的性质可得为连续函数，由连续函数的性质可得 02limsinxAx/2,F即即 A=1.概率统计概率统计下页结束返回 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为1,()0,axbf xba其它分布函数为分布函数为0,().1,xaxaF xaxbbaxb则称则称X在区间在区间a,b上服从均匀分布上服从均匀分布,记为记为XUa,b.1(),ddccdcP cXdf x dxdxbaba由得得X 落在落在a,b内任一小区间内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关正比，而与该小区间的位置无关四、常见连续型随机变量的分布四、常见连续
6、型随机变量的分布下页1.1.均匀分布均匀分布概率统计概率统计下页结束返回 例例3.设随机变量设随机变量X在在2,8上服从均匀分布，求二次方程上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率有实根的概率.解：解：由于由于X在在2,8上服从均匀分布，故上服从均匀分布，故X的概率密度为的概率密度为 1,28().60,xf x其它从而，从而，Py2+2Xy+9=0 有实根有实根=PX3+PX-3=1-PX0为常数为常数.分布函数为分布函数为1,0().0,0 xexF xx 指数分布常用来作各种指数分布常用来作各种“寿命寿命”分布的近似，如电子元件分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿
7、命；电话问题中的通话时间都常假定服从的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布指数分布若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为下页概率统计概率统计下页结束返回 例例4 4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(单位单位:分钟分钟)服从参数服从参数 1/5的指数分布的指数分布.等待服务时间若超过等待服务时间若超过10分钟，顾客分钟，顾客就会离去就会离去.若该顾客一个月到银行若该顾客一个月到银行5次次,以以Y表示一个月内他未等表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求的分布律，并求PY1.该
8、顾客未得到服务事件为该顾客未得到服务事件为X10，其概率为，其概率为11025101101(10)1(1)pP XP XFee 所以所以Y的分布律为的分布律为 kkkppCkYP55)1(2255()(1),kkkCee1YP01YP520205)1()(1eeC0.5167.下页0,1,2,3,4,5.k 解：解：X的分布函数151,0;()0,0.xexF xx概率统计概率统计下页结束返回若若X的概率密度为的概率密度为分布函数分布函数22()21(),2xf xex 22()21(),2.txF xedtx F(x)0 x其中其中 ,(0)为常数，则称为常数，则称X服服从参数为从参数为 ,
9、2的正态分布或高斯的正态分布或高斯(Gauss)分布分布,记作记作 XN(,2).f(x)0 x下页3.3.正态分布正态分布 正态分布定义正态分布定义概率统计概率统计下页结束返回 曲线关于曲线关于x=对称对称.1().2f 当当 x=时，函数时，函数f(x)达到达到最大值，最大值为最大值，最大值为下页f(x)h h0 x+h-h 概率密度的特点概率密度的特点 拐点拐点(，f();水平渐近线为水平渐近线为 ox 轴轴.1222()21(),2xf xex 概率统计概率统计下页结束返回 固定固定 ，改变，改变 值，曲线值，曲线 f(x)形状不变，仅沿形状不变，仅沿 x 轴平移轴平移.可见可见 确确
10、定曲线定曲线 f(x)的位置的位置.固定固定，改变，改变 值，则值，则 愈小时，愈小时，f(x)图形的形状愈陡峭，图形的形状愈陡峭，X 落在落在 附近附近的概率越大的概率越大.012f(x)xf(x)x0 =2 =0.5 =1下页22()21(),2xf xex 概率统计概率统计下页结束返回当当 =0,=1时，称为时，称为标准正态分布标准正态分布.记作记作 XN(0,1).221(),2.xxex 221(),2.txxedtx下页 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的密度函数标准正态分布的密度函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数()xx()x概率统计概率统计下页结束返回()1(
11、).xx 标准正态分布的特点标准正态分布的特点下页()();xx()xx()x()xx1()xx()x 概率统计概率统计下页结束返回 例例5.设设XN(0,1),计算：计算：PX2.35；P-1.64 X0.82；P|X|1.54.解：解：PX2.35=(2.35)=0.9906.P-1.64 X0.82=(0.82)-(-1.64)=(0.82)-1-(1.64)=0.7434.P|X|1.54=(1.54)(-1.54)=2(1.54)1 =0.8764.下页 标准正态分布查表计算标准正态分布查表计算查查 页表页表概率统计概率统计下页结束返回()().xF x(),aP Xa,t令22()
12、21(),2txF xP Xxedt,tdtd 则1().aP Xa 即即下页 一般正态分布查表计算一般正态分布查表计算方法：方法：转换为标准正态分布情形后，再查表转换为标准正态分布情形后，再查表.转换：转换：于是有于是有()F x2212xed(),x 显然，显然，概率统计概率统计下页结束返回解：解：PX-2=1-PX-2=1-F(-2)2 11()2 25(5)(2)PXFF4 14 11 (4)(4)1()()22FF =1(-1.5)=(1.5)=0.9932.=0.9938-0.9332=0.0606.=1 (1.5)-(-2.5)=(2.5)-(1.5)P|X|4=1-P|X|4=
13、1-P-4X4=0.97720.6915=0.2857.下页 例例6.6.设设X N(1,4)，求：，求：PX-2；P2X5；P|X|4.5 12 1()()(2)(0.5)22 概率统计概率统计下页结束返回 例例7 7 （“三三”原则）设原则）设X N(,2)，求求P|X|，P|X|2，P|X|3解 P|X|=PX+=)()(6826.01)1(2)1()1(类似可得9546.01)2(22|XP9974.01)3(23|XP概率统计概率统计下页结束返回 例例9.9.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 0.01以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如问车门高度应如何确定何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h(cm),则碰头事件可表示为则碰头事件可表示为X h，依题意有依题意有 PX h0.01.因为因为XN(170,62),),所以所以PX h=1-PX0.99,1702.33,6h所以有所以有解得解得 h170+13.98=184.下页=1-F(h)要使要使 PX h0.01，只须，只须170()0.99,6h即1701()0.01,6h概率统计概率统计下页结束返回作业：48-49 页页 1,3,4，5，8结束
