1、第二十四章 圆24.3 正多边形和圆第二十四章 圆24.3 正多边形和圆考场对接 题型一 圆内接正多边形的判断考场对接 例题例题1 已知：如图已知：如图24-3-6,ABC是是 O的内接等腰的内接等腰 三角形三角形,顶角顶角BAC=36,弦弦BD,CE分别平分分别平分ABC,ACB.求证：五边形求证：五边形AEBCD是是正正 五边形五边形 分析分析 要证明五边形要证明五边形AEBCD是正五边形是正五边形,就就 是证是证明这个五边形的五条边所对的劣弧相等明这个五边形的五条边所对的劣弧相等 证明证明 AB=AC,ABC=ACB.又又BAC=36,ABC=ACB=72.又又BD,CE分别平分分别平分
2、ABC,ACB,BAC=BCE=ACE=ABD=DBC=36,BC=BE=AE=DA=CD,五边形五边形AEBCD是正五边形是正五边形锦囊妙计证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法 (1)证明圆内接多边形的每个内角相等证明圆内接多边形的每个内角相等,每每 条边也相等条边也相等,二者二者缺一不可缺一不可.(2)证明圆内接多边形的各边所对的劣弧相等证明圆内接多边形的各边所对的劣弧相等.技巧：当边数技巧：当边数是奇数时是奇数时,各个内角相等的各个内角相等的 圆内接多边形是正多边形圆内接多边形是正多边形.题型二 正多边形的有关计算例题例题2 有一边长为有一边长
3、为6的正的正n边形边形,它的一个内它的一个内 角为角为120,则其半则其半径为径为().A12B6C4 D6B分析分析 因为正多边形的内角是因为正多边形的内角是120,所以该所以该 正多边形是正六边形正多边形是正六边形.又因为该又因为该正六边形的边长为正六边形的边长为 6,正六边形的半径等于边长正六边形的半径等于边长,所以正所以正 六边形的半径为六边形的半径为6.锦囊妙计正多边形的相关计算技巧正多边形的相关计算技巧 (1)正正n边形的半径、中心到一边的垂线边形的半径、中心到一边的垂线 段、边的一半构成一段、边的一半构成一个直角三角形个直角三角形.有关正有关正n边边 形的计算问题都可以转化为直角
4、三形的计算问题都可以转化为直角三角形的问题角形的问题,常作半径、边心距构造直角三角形常作半径、边心距构造直角三角形.(2)正六边正六边 形形的边长等于它的半径的边长等于它的半径,正三角形的边长等于它的半径的正三角形的边长等于它的半径的 倍倍,正方形的边长等于它的半径正方形的边长等于它的半径 的的 倍倍.题型三 作正多边形例题例题3 镇江中考镇江中考图图24-3-7是我们常见是我们常见 的地砖上的图案的地砖上的图案,其中包其中包含了一种特殊的平面图含了一种特殊的平面图 形形正八边形正八边形.如图如图24-3-7,AE是是O的直径的直径,用直尺和用直尺和 圆规作圆规作O的内接正八边形的内接正八边形
5、ABCDEFGH(不写作法不写作法,保留作图痕迹保留作图痕迹).分析分析 (1)过点过点O作作GCAE,与与O相交于点相交于点 G,C；(2)连接连接AG,过点过点O作作HDAG,与与O相交于相交于 点点H,D；(3)连接连接GE,过点过点O作作FBGE,与与O相相交交 于点于点F,B；(4)顺次连接点顺次连接点A,B,C,D,E,F,G,H,八八 边形边形ABCDEFGH为为所求作的正所求作的正 八边形八边形.解解 如图如图24-3-8所示所示,八八 边形边形ABCDEFGH为所求作的正为所求作的正 八边形八边形.锦囊妙计作正多边形的方法作正多边形的方法 (1)在圆中在圆中,用直尺和圆规作两
6、条互相垂直用直尺和圆规作两条互相垂直 的直径的直径,就可以把圆就可以把圆四等分四等分,从而作出正方形；从而作出正方形；再继续作与正方形相邻两边垂直的直再继续作与正方形相邻两边垂直的直径径,即可即可 作出正八边形作出正八边形,重复上面的作法可作出正十六重复上面的作法可作出正十六 边形等边边形等边数逐次倍增的正多边形数逐次倍增的正多边形.(2)因为正六边形的边长等于半径因为正六边形的边长等于半径,所以在所以在 半径为半径为R的圆上依次的圆上依次截取长度等于截取长度等于R的弦的弦,就可就可 以把圆六等分以把圆六等分,顺次连接各分点即可得顺次连接各分点即可得到半径到半径 为为R的正六边形的正六边形.在
7、正六边形的基础上可作出正在正六边形的基础上可作出正 十二边形十二边形和正三角形和正三角形.题型四 正多边形旋转的运用例题例题4 如图如图24-3-9,将将 正六边形正六边形ABCDEF的中心角的中心角(为为 60)绕中心绕中心O旋转旋转,记旋转后的记旋转后的 角为角为MON.试证：无论中心角旋转到试证：无论中心角旋转到 什么位什么位置置,所形成的阴影部分的面积总等于这个所形成的阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的正六边形面积的 .分析分析证明证明 如图如图24-3-9,连接连接OA,OB.AOM+AON=60,AON+BON=60,AOM=BON.OAM+OAB=120,OBA+OAB=12
8、0,OAM=OBN.又又OA=OB,OAM OBN,S阴影阴影=SOAB=S正六边形正六边形ABCDEF.锦囊妙计正多边形常见的两种辅助线的作法正多边形常见的两种辅助线的作法 (1)添加正多边形的半径和中心到一边的垂添加正多边形的半径和中心到一边的垂 线段线段,通过构造直通过构造直角三角形解题；角三角形解题；(2)添加辅助添加辅助 圆圆,利用正多边形和圆的关系解题利用正多边形和圆的关系解题.题型五 借助外接圆解答正多边形问题例题例题5 如图如图24-3-10,正正 五边形五边形ABCDE的对角线的对角线AC和和BE 相交于点相交于点M.求证：求证：(1)ACED；(2)ME=AE 分析分析证明
9、证明 (1)如图如图24-3-10,作正五边形作正五边形ABCDE的外接圆的外接圆O,则弧则弧ED 的度数的度数=弧弧DC 的度数的度数=360=72 EAC的度数等于的度数等于弧弧EDC 的度数的一的度数的一半半,EAC=722=72 AED=108,EAC+AED=180,ACED.(2)五边形五边形ABCDE是正五边形是正五边形,EAB=AED=108,AE=AB,AEB=ABE=36.由由(1)知知EAC=72,EMA=180AEBEAC=72,EAM=EMA,ME=AE 锦囊妙计特殊的辅助线特殊的辅助线圆圆 辅助圆是特殊的辅助线辅助圆是特殊的辅助线,当有共圆条件时当有共圆条件时,可作
10、出辅助圆可作出辅助圆,利用利用圆的性质解决问题圆的性质解决问题.题型六 正多边形的实际应用例题例题6 如图如图24-3-11,正六边形螺帽的边长正六边形螺帽的边长 是是2 cm,这个扳手的这个扳手的开口开口a的值应是的值应是_cm分析分析 如图如图24-3-12,过正六边形的中心过正六边形的中心O 作一边的垂线作一边的垂线,垂足为垂足为B,连连接接OA,则则O=30,OA=2,AB=1,OB=(cm),a=2OB=cm 锦囊妙计与正多边形有关的实际问题的解法与正多边形有关的实际问题的解法 解决与正多边形有关的实际问题解决与正多边形有关的实际问题,关键是关键是 从实际问题中抽象从实际问题中抽象出数学模型出数学模型,并画出相应的并画出相应的 正多边形正多边形,将所要解决的实际问题转化将所要解决的实际问题转化为正多为正多 边形中的计算问题边形中的计算问题.谢 谢 观 看！
