1、(习题课习题课)l湖南省临湘市一中湖南省临湘市一中 李君英李君英 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半一一、二面角的定义二面角的定义二二、二面角的平面角二面角的平面角的平面角的平面角 l 一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 l的棱，且与两个半平的棱，且与两个半平面的交线分别是射线面的交线分别是射线OA、OB,垂垂足为足为O，则，则APB叫做二面叫做二面角角ABOll平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义 例例1 1 如图如图P为二面角为二面角 l 内一点，内一点，PA 于点于点A,PB 于于点点B,且且PA=5 5，PB=8 8，AB=7 7，求这
2、二面角的度数。，求这二面角的度数。设设l与平面与平面PAB相交于点相交于点O PA,PB PA l,PAl l 平面平面PAB连结连结AO、BO,则则 AOB为二面角为二面角 l 的平面角的平面角又又 PA=5，PB=8，AB=7 APB=60 =60 AOB=120=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPlO1cos2APB小结一小结一一一.求二面角大小的一般步骤求二面角大小的一般步骤找找(作作)二面角的平面角二面角的平面角证明所作角为二面角的平面角证明所作角为二面角的平面角求二面角的平面角求二面角的平面角找找证证求求二二.依据定义求二面角的平面角依据定义求二面角的平面
3、角PlABO例例2 2 如图，已知如图，已知P是二面角是二面角-AB-棱上一点，过棱上一点，过P分别在分别在、内引射线内引射线PM、PN，且，且MPN=60=60 BPM=BPN=45=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在内过内过O作作OCAB交交PM于于C，在在内作内作ODAB交交PN于于D，连连CD，可得，可得COD是二面角是二面角-AB-的平面角的平面角设设PO=a ，BPM=BPN=45=45又又MPN=6060 CD=PC a2COD=90=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为9090,2,2
4、COa DOa PCa PDa小结二小结二三三.双垂线法双垂线法求二面角的平面角求二面角的平面角ABlPOABPC取取AB 的中点为的中点为E，连，连PE，OEO为为 AC 中点，中点，ABC=90=90OE BC且且 OE BC212221在在RtRtPOE中，中，OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3 3 如图，如图，RtRtABC所在平面外一点所在平面外一点P在面在面ABCABC上的射上的射影是影是RtRtABC斜边斜边AC的中点的中点O，若，若PB=AB=1=1，BC=，求二面角求二面角P-AB-C的正切值的正切值。2PEO为
5、二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OE AB ，因此，因此 PE ABE解：解：EOPlPAB小结三小结三四四.三垂线法三垂线法求二面角的平面角求二面角的平面角ABCOcosSS 射射原原三角形三角形ABC在面在面内的射内的射影为影为BCO,三角形三角形ABC的的面积为面积为S原原，三角形，三角形BCO的的面积为面积为S射射,则则射影面积公式射影面积公式设设为所求二面角的大小，为所求二面角的大小，S 为二面角的一个面内为二面角的一个面内的平面图形的面积，的平面图形的面积，S为该平面图形在另一个面内为该平面图形在另一个面内的射影所组成的
6、平面图形的面积，则的射影所组成的平面图形的面积，则如图如图,已知二面角已知二面角l ,设它的大小为设它的大小为 cosSS lABCDA1C1D1EB1M例例4 4 如图，设如图，设E为正方体的边为正方体的边CC1 1的中点，求平面的中点，求平面AB1 1E和和底面底面A1 1B1 1C1 1D1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。GAB1 1E在底面在底面A1 1B1 1C1 1D1 1上的射影为上的射影为A1 1B1 1C1 1，故，故这两个平面所成二面角的余弦值为这两个平面所成二面角的余弦值为 1 1 1123ABCABESS F 小结四小结四五五.射影法射影法求二面角的平面角求二面角的
7、平面角设设为所求二面角的大小，为所求二面角的大小，S原原 为二面角的一个面内为二面角的一个面内的平面图形的面积，的平面图形的面积，S射射为该平面图形在另一个面内为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则的射影所组成的平面图形的面积，则cosSS 射射原原如图（如图（2 2），设二面角），设二面角 的大小为的大小为利用向量法求二面角的平面角利用向量法求二面角的平面角方向向量法方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。段表示的向量）的
8、夹角。l ABl,AB,CDl,CD AB CDcoscos AB,CDAB CD DClBA 则二面角则二面角 的大小的大小 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。nm ，l m,n m,n 注意法向量的方向：注意法向量的方向：同进同出，二面角等同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等一进一出，二面角等于法向量夹角于法向量夹角ln m 法向量法法向量法如图，向量如图，向量例例5 如图如图,PA平面平面ABC，求二面角求二面角 的大小的大小,1,2,ACBC PAACBCAPBCPABCABCDA1C1D1B
9、1E例例6 如图，在长方体如图，在长方体AC1中中,点点E在棱在棱AB上移动上移动AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值时，二面等于何值时，二面角的大小为角的大小为1DECD4 1、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂直于圆所在的平面，直于圆所在的平面，C是圆上任一是圆上任一点，则二面角点，则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习2、已知、已知P为二面角为二面角 内一点，且内一点，且P到两个半平面的距离都等于到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？一半，则这个二面角的度数是多少？l
10、ABCP60VABC3.3.空间四边形空间四边形VABC的各边及对角线均的各边及对角线均相等，求二面角相等，求二面角 的大小的大小VABC4.4.如图，空间三条直线如图，空间三条直线PA 、PB 、PC，APC=APB=60=60，BPC=90=90，求，求二面角二面角BPA C的大小的大小 .BCAP4.4.如图，在如图，在ABC 中，中，ADBC 于于 D，E 是线段是线段 AD上一点，且上一点，且 AE=ED ，过，过 E 作作MNBC ，且，且MN 交交 AB 于于M ，交，交AC于于N ，以，以MN为棱将为棱将AMN 折成折成二面角二面角AMND，设此二面角为设此二面角为（00），连
11、结），连结 AB 、AD 、A C ，求，求A MN 与与A BC 所夹二面角的大小所夹二面角的大小 .ABCDENMAMNEBDC一一.求二面角的平面角的常用方法求二面角的平面角的常用方法二二.降维思想将空间角转化为平面角降维思想将空间角转化为平面角1.在三棱锥在三棱锥ABCD中，侧面中，侧面ABC底面底面BCD，ABBCBD1，CBACBD120。，求二面角求二面角ABDC的大小。的大小。ADC B同学们思考以下同学们思考以下问题问题:1.由已知条件怎样找由已知条件怎样找垂线垂线?2.通过垂线怎样找二通过垂线怎样找二面角的平面角面角的平面角.观察总结观察总结:图中的红色部图中的红色部分有什
12、么特点分有什么特点?EG课后作业课后作业2.如图示如图示,正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1,P是是AD的中点的中点.求求 二面角二面角 的大小的大小.1ABDPA1B1C1D1ABCDPFE分析分析:利用三垂线定理寻找二面角利用三垂线定理寻找二面角的平面角的平面角,关键是如何在一个半平关键是如何在一个半平面找一个点面找一个点,向第二个半平面做垂向第二个半平面做垂线线,往往要结合所给的几何体往往要结合所给的几何体,找找垂直关系。垂直关系。由于由于AB平面平面AD1,BD1在平面在平面AD1上的上的射影为射影为AD1，过点，过点P作作PFAD1于于F,则则PF平面平面ABD1
13、,过过F作作FEBD1于于E，连结连结PE，PEF即为二面角即为二面角A_BD1_P 的平面角。的平面角。观察总结观察总结:计算在哪个图形中进行的计算在哪个图形中进行的?3.在三棱锥在三棱锥S-ABC中，中，ABC是边长为是边长为4的正三角的正三角形，平面形，平面SAC平面平面ABC,SASC ,M为为AB的的中点证明中点证明ACSB;求二面角求二面角SCMA的大小的大小.22分析：证明线线垂分析：证明线线垂直的思路如何？直的思路如何？用三垂线定理（或用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平逆）怎么作二面角的平面角？面角？SABCMEF4.4.三棱锥三棱锥pABCpABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，PAPA3 3，ACAC4 4，PBPBPCPCBC,BC,求二面角求二面角APCBAPCB的大小。的大小。PABCFE思考思考:1.怎样过二面角的其中一个怎样过二面角的其中一个平面内一点作另外一个平面平面内一点作另外一个平面的垂线的垂线?2.在垂线的基础上怎样找二在垂线的基础上怎样找二面角的平面角面角的平面角?5 3153,arccos.284BFEF
