1、二项式定理二项式定理(3)一、问题引入：一、问题引入：试计算下列各展开式中的二项式系数：试计算下列各展开式中的二项式系数：(a+b)1(a+b)2(a+b)3 03C0201C12111 1 22CCCCC131 2 1 C33C231 3 3 1(a+b)4(a+b)5 C0504151342C4C4C4C4251 4 6 4 1 55CCCC35C45C1 5 10 10 5 1 123456(a+b)6 C60C6C6C6C6C6C61 6 15 20 15 6 1(a+b)1(a+b)2(a+b)3 03C0201C12111 1 22CCC1CC31 2 1 1 44C32C333
2、3 1(a+b)4(a+b)5 C050415C1425C24CC35341 4 6 4 1 55CCCCC45C1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 12356(a+b)6 C60C6C6C6C64C6C6 类似上面的表类似上面的表,早在我国早在我国南宋数学家杨辉南宋数学家杨辉12611261年年所著的所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书里就已经出现了，这个表称为出现了，这个表称为杨辉三角杨辉三角。在书中，还说。在书中，还说明了表里明了表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，两个数的和，杨辉杨辉指出这个方法出于指出这个方法
3、出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元1111世纪）世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于1111世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕帕斯卡斯卡（Blaise Pascal,1623-1662 1623-1662）首先发现的，）首先发现的，他们把这个表叫做他们把这个表叫做帕斯卡三角帕斯卡三角。这就是说，。这就是说，杨杨辉三角辉三角的发现要比欧洲的发现要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自见我国古代数学的成就是非常值得中
4、华民族自豪的豪的.二、讨论总结：二、讨论总结：(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5 C0503C0201C12111 1 22CCC1CC31 2 1 1 44C32C333 3 1 0415C1425C24CC35341 4 6 4 1 55CCCCC45C1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 12356(a+b)6 C60C6C6C6C64C6C6帕斯卡三角帕斯卡三角 杨辉三角杨辉三角 通过探究，你能发现什么结论？通过探究，你能发现什么结论？三、知识新授：三、知识新授：二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性：对称性：与首末两端与首末两端
5、“等距离等距离”的的 两个二项式系数相两个二项式系数相等等.(2)增减性与最大值：增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小大，随后又逐渐减小.(3)各二项式系数的和各二项式系数的和 C?C?C?n0n1n2n?C?rn?C?2nnnn即：即：(a?b)的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于2二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性：对称性：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的的 两个二项式系数相两个二项式系数相mn?m等等.Cn?Cn(2)增减性与最大值：增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式
6、系数逐渐增从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小大，随后又逐渐减小.n!n?k?1n!kCn?k!?(n?k)!k(k?1)!?(n?k?1)!n?k?1k?1?Cnk(2)增减性与最大值：增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小大，随后又逐渐减小.n?k?1k?1kCn?Cnkn?k?1kk?1所以Cn相对于Cn的增减情况由决定.kn?k?1n?1由1?k k2n?1可知，当可知，当 k 2时二项式系数逐渐增大，时二项式系数逐渐增大，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，
7、且中间项的取值最大中间项的取值最大.(2)增减性与最大值：增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小大，随后又逐渐减小.因此，当因此，当n n为偶数时，中间一项的二项式系数为偶数时，中间一项的二项式系数 Cn?12相等且同时取得最大值相等且同时取得最大值 系数系数 C、nn?12nn2n取得最大值；当取得最大值；当n n为奇数时，中间两项的二项式为奇数时，中间两项的二项式 C(3)各二项式系数的和各二项式系数的和 C?C?C?0n1n2n?C?rn?C?2nnnC,C,C,?,C012nnnnn f(r)20 14 定义域r?0，
8、1，?，n 当当n=6时时,令令:f(r)?Crnf(r)?Cmnr6其图象是其图象是7个孤立点个孤立点 6 O 3 函数思想函数思想 将图象分成对称的两部分将图象分成对称的两部分.nr 直线直线 作为对称轴作为对称轴 r?6 2代数意义：代数意义：C 几何意义：几何意义：?Cn?mn四、例题选讲：四、例题选讲：例例1 1 证明：在证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.C?C?C?0n2n0n1n2n?C?1n3nrn?C?2n?1nnnC?C?C?C?2C a?C ab?0n1n2n
9、0n1n?1nn证明：在展开式证明：在展开式 中中 nnn?C b 令令a=1，b=1得得 即0?C?C?C?C?013?Cn?C?Cn?Cn?0n2n2n1n3n(1?1)?C?C?C?C?n3n?(?1)Cn?nnC例例2 求证：求证：?2 C?3 C?0n1n0n1n2n?n?1?C?n?2?2nnn?1证明：证明：2?C?2 C?3 C?2n?C?2 C?3 C?0n1n2n?n?1?C?n?n?1?Cn?nnn?1n?n?1?C0n?nC?0n1nn1n2?C?Cnn?n?2?(C?C?C?2n?C)n?1nn?n?2?20n1n2n?C?2 C?3 C?n?1?C?n?1?2nn倒
10、序相加法倒序相加法 5例例3 设设(1-2x)=a 求：求：2 3450 a1x+a2x+a3x+a4x+a5x.（1）a1+a2+a3+a4+a5的值；的值；（2）a1+a3+a5的值；的值；（3）|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值的值.解解:(1)在在(1-2x)5=a0 a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 中中 令令x=1，-1 分别得：分别得：5a0?a1?a2?a3?a4?a5?(?1)?15a0?a1?a2?a3?a4?a5?3?243(2)a1?a3?a5?122a0?1?a1?a2?a3?a4?a5?2(3)a1?a2?a3?a4?a5?242例例
11、4 设设 An?C a?C a?C an.1）若）若 an?1?q?q?q2n?11n 12n2nn(n?N,q?1),试用试用q和和n表示表示 An；2）若）若 an?1?2?3?n(n?N),试用试用n表表示示 .A1?q解：解：?an?1?q1122nn?An?Cn(1?q)?Cn(1?q)?Cn(1?q)1?q112n122nn?(Cn?Cn?Cn)?(Cnq?Cnq?Cnq)1?qnn?2?1?q?1?qnn例例4 设设 An?C a?C a?C an.1）若）若 an?1?q?q?q试用试用q和和n表示表示 An；2）若）若 an?1?2?3?n(n?N),试用试用n表表示示 .A
12、n2n?11n 12n2nn(n?N,q?1),n(n?1)12解：解：?an?2?2(n?n)11222n2?An?Cn(1?1)?Cn(2?2)?Cn(n?n)2121222n12n?(1Cn?2Cn?nCn)?(Cn?2 Cn?nCn)21n?2n?1n?3?n?n?1?2?n?2?n?n?3?22?五、课堂练习：五、课堂练习：?1、2x?3y?展开式的二项式系数展开式的二项式系数 88的和为多少的和为多少?系数的和为多少系数的和为多少?5?3906253821010982、已知、已知(2x+1)=a0 x+a1x+a2x+a9x+a10,10(1)求求a0+a1+a2+a9+a10的值
13、的值 110(2)求求a0+a2+a4+a10的值的值(3?1)23 3、若、若(2x?3)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x,则则42341(99(99年全国年全国)(a0?a2?a4)?(a1?a3)?_22注释：注释：设设 f(x)?(a?bx)nf(1)?f(?1)其奇次项系数的和是其奇次项系数的和是2f(1)?f(?1)其偶次项系数的和是其偶次项系数的和是24.(1x)13 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （C）(A)第六项第六项 (B)第七项第七项 （C）第八项）第八项 (D)第九项第九项 5.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串
14、有20个灯泡，只要有一个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不D）亮的可能性的种数为亮的可能性的种数为 （(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1 6.若C 与C 同时有最大值，则 m?n19mn4 或或5 六、课堂小结：六、课堂小结：对称性（1 1）二项式系数的三个性质）二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数和 （2）数学思想：函数思想 a 图象；b 单调性；c 最值。（3）数学方法：赋值法、递推法 七、作业布置：七、作业布置：1、课本、课本 P110 No.8、9、10；2、已知(1?2x)?a0?a1x?a2x?a7x则a1?a2?a7?727a0?a2?a4?a6?a1?a3?a5?a7?22(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?n?1?x?4?的展开式中只有第的展开式中只有第10项系数最大，求第五项项系数最大，求第五项.3、已知、已知 3?x?4、已知二项式、已知二项式(a+b)15 （1）求二项展开式中的中间项；）求二项展开式中的中间项；（2）比较）比较T3，T7，T12，T13各项系数的大小，并说明理由。各项系数的大小，并说明理由。
