1、 1983 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 一 （本题满分一 （本题满分 1010 分）分） 1在直角坐标系内，函数 y=|x|的图象 （ D ） （A）关于坐标轴、原点都不对称 （B）关于原点对称 （C）关于 x 轴对称 （D）关于 y 轴对称 2抛物线 x 2+y=0 的焦点位于 （ A ） （A）y 轴的负半轴上 （B）y 轴的正半轴上 （C）x 轴的负半轴上 （D）x 轴的正半轴上 3两条异面直线，指的是 （ D ） （A）在空间内不相交的两条直线 奎屯 王新敞 新疆 （B）分别位于两个不同平面内的两条直线 奎屯 王新敞 新疆 （C）某一平面内的一条直线和这个平面外的
2、一条直线 奎屯 王新敞 新疆 （D）不在同一平面内的两条直线 奎屯 王新敞 新疆 4对任何 2 cos,360180 的值等于 （ C ） （A）. 2 cos1+ （B）. 2 cos1 （C）. 2 cos1+ （D）. 2 cos1 5 3 . 0 2 2 2, 3 . 0log,3 . 0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A）3 . 0log23 . 0 2 3 . 02 （B） 3 . 0 2 2 23 . 0log3 . 0 （C） 3 . 02 2 23 . 03 . 0log （D） 23 . 0 2 3 . 023 . 0log 二 （本题满分二 （本题满分 1010
3、分）分） 在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形 奎屯 王新敞 新疆 方程 x 2+y2=2x x 2-y2=0 图形名称 圆 两条相交直线 图形 Y O 1 X Y O X 解：见上图 奎屯 王新敞 新疆 三 （本题满分三 （本题满分 1010 分）分） 1 求函数)36(log5 2 2 xxy+=的定义域 奎屯 王新敞 新疆 2一个小组共有 10 名同学，其中 4 名是女同学，6 名是男同学 奎屯 王新敞 新疆要从 小组内选出 3 名代表，其中至少有 1 名女同学，求一共有多少种选法 奎屯 王新敞 新疆 解：1.根据题意，得 + , 66 , 5 , 036 , 05
4、2 x x x x 即 解得 )6 , 5(. 65函数的定义域是x 2)(100 3 4 1 6 2 4 2 6 1 4 种=+CCCCC 或：)(10020120 3 6 3 10 种=CC 四 （本题满分四 （本题满分 1212 分）分） 已知复数=+=3cos2 1 :,sincos 3 3 z ziz求证 奎屯 王新敞 新疆 证： 3333 3 3 )sin(cos)sin(cos 1 +=+=+iizz z z =+=3cos2)3sin()3cos(3sin3cosii 五 （本题满分五 （本题满分 1414 分）分） 在圆心为 O、半径为常数 R 的半圆板内画内接矩形（如图）
5、奎屯 王新敞 新疆当矩 形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积 奎屯 王新敞 新疆 解：设矩形在半圆板直径上的一边长为 2x，角如图所示，则 x=Rcos,另一 边的长为 Rsin 奎屯 王新敞 新疆矩形面积 S 为 S=2R 2sincos. =R 2sin2 当 2= 2 即= 4 时，也即长为RR2 4 cos2= ，宽为RR 2 2 4 sin= 时， 矩形面积最大 奎屯 王新敞 新疆 最大面积是 R 2 六 （本题满分六 （本题满分 1414 分）分） 如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选 一基线 AB，AB=20 米，在 A 点处测得 P
6、点的仰角OAP=30 0，在 B 点 处测得 P 点的仰角OBP=45 0， 又测得AOB=600， 求旗杆的高度 h （结 果可以保留根号） 奎屯 王新敞 新疆 解：在直角三角形 AOP 中，得 OA=OPctg30 0= h3. 在直角三角形 BOP 中，得 OB=OPctg45 0=h 奎屯 王新敞 新疆 在三角形 AOB 中，由余弦定理 得 O R P h A 300 O 600 20 米 450 B ).( 34 20 , 34 400 ,)34(400 ,60cos)3(2)3(20 2 2 222 米即 = = = += hh h hhhh 答：略 奎屯 王新敞 新疆 七 （本题
7、满分七 （本题满分 1616 分）分） 如图，已知一块直角三角形板 ABC 的 BC 边在平面内， ABC=60 0，ACB=300，BC=24cm，A 点在平面内的射影为 N，AN=9cm 奎屯 王新敞 新疆 求以A为顶点的三棱锥A-NBC的体积（结果可以保留根号） 奎屯 王新敞 新疆 解：自 N 作 NEBC，E 为垂足 奎屯 王新敞 新疆连结 AE， 由三垂线定理可知 AEBC 在直角三角形 ABC 中， . 3660sin30sin= = BCAE 在直角三角形 ANE 中， 336 2 1 . 33 22 = = NEBCSNBC ANAENE 的面积 三棱锥 A-NBC 的体积)(
8、3108 3 1 2 cmANSV= 答：略 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题满分八 （本题满分 1717 分）分） 一个等比数列有三项 奎屯 王新敞 新疆如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成 为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项 又成等比数列，求原来的等比数列 奎屯 王新敞 新疆 解：设所求等比数列为a,aq,aq 2,由已知条件得 A C N E B = = = = = =+ +=+ +=+ 5 9 2 3 2 . 2)4( , 8) 12( : ).32()4( ,)4(2 2 22 2 q a q a qa qqa aqaaq aqaaq 或解方程组得 化
9、简得 由a=2,q=3,得所求等比数列是 2，6，18; 由5, 9 2 =qa，得所求等比数列是. 9 50 , 9 10 , 9 2 经检验均正确 奎屯 王新敞 新疆 九 （本题满分九 （本题满分 1717 分）分） 如图，已知两条直线 L1:2x-3y+2=0,L2:3x-2y+3=0.有一动圆（圆 心和半径都在变动）与 L1，L2都相交，并且 L1，L2被截在圆内的两条 线段的长度分别是定值 26，24 奎屯 王新敞 新疆求圆心 M 的轨迹方程，并说出轨迹的 名称 奎屯 王新敞 新疆 解：设圆心 M 的坐标为(x,y)，圆的半径为 r， 点 M 到 L1，L2的距离分别为 d1,d2 奎屯 王新敞 新疆 根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有 .5 .) 2 24 ( ,) 2 26 ( 2 2 1 2 2 22 2 2 22 2 1 = =+ =+ dd rd rd 得 根据点到直线的距离公式，得 . 1 6565 ) 1( .6512 25) 13 323 () 13 232 ( , 13 |323| , 13 |232| 22 22 22 21 = + =+ = + + + = + = yx yxx yxyx yx d yx d 即化简得 得方程 代入上式 轨迹是双曲线 奎屯 王新敞 新疆 Y L2 L1 M O X
