1、 1984 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 （这份试题共八道大题，满分 120 分） 一 （本题满分一 （本题满分 1515 分）本题共有分）本题共有 5 5 小题，每小题都给出代号为小题，每小题都给出代号为 A，B， C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的的四个结论，其中只有一个结论是正确的 奎屯 王新敞 新疆把正确结论的代号写把正确结论的代号写 在题后的圆括号内在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆每一个小题：选对的得每一个小题：选对的得 3 3 分分;不选，选错或者选出不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得负的代号超过一个的（不论是
2、否都写在圆括号内） ，一律得负 1 1 分分 奎屯 王新敞 新疆 1数集X=（2n+1），n是整数与数集Y=（4k1），k是整数之间的关 系是 （ C ） （A）XY （B）XY （C）X=Y （D）XY 2.函数 y=f(x)与它的反函数 y=f -1(x)的图象 （ D ） （A）关于 y 轴对称 （B）关于原点对称 （C）关于直线 x+y=0 对称 （D）关于直线 x-y=0 对称 3 复数i 2 3 2 1 的三角形式是 （ A ） （A）) 3 sin() 3 cos( + i （B） 3 sin 3 cos + i （C） 3 sin 3 cos i （D） 6 5 sin 3 c
3、os + i 4直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A）一条直线不相交 （B）两条直线不相交 （C）任意一条直线都不相交 （D）无数条直线不相交 5方程 x 2-79x+1=0 的两根可分别作为 （ A ） （A）一椭圆和一双曲线的离心率 （B）两抛物线的离心率 （C）一椭圆和一抛物线的离心率 （D）两椭圆的离心率 二 （本题满分二 （本题满分 2424 分）本题共分）本题共 6 6 小题，每一个小题满分小题，每一个小题满分 4 4 分分 奎屯 王新敞 新疆只要求 只要求 直接写出结果）直接写出结果） 1已知函数0) 32(log 5 . 0 x，求 x 的取值范围 奎
4、屯 王新敞 新疆 答：. 2 2 3 x 2已知圆柱的侧面展开图是边长为2 与4 的矩形，求圆柱的体积 奎屯 王新敞 新疆 答： 84 或 奎屯 王新敞 新疆 3已知实数 m 满足 2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求 m 及 x 的值 奎屯 王新敞 新疆 答：m=0,x=- 2 1 . 4.求 )2)(1( )()2() 1( lim 222 + nnn nnnn n 的值 奎屯 王新敞 新疆 答：1 奎屯 王新敞 新疆 5求 6 ) 1 2( x x 的展开式中 x 的一次幂的系数 奎屯 王新敞 新疆 答：240 奎屯 王新敞 新疆 6要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出
5、节目单，任何两 个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不 必计算） 奎屯 王新敞 新疆 答：!6 4 7 P 三 （本题满分三 （本题满分 1212 分）本题只要求画出图形分）本题只要求画出图形 奎屯 王新敞 新疆 1画出方程 y 2=-4x 的曲线 奎屯 王新敞 新疆 2画出函数 2 ) 1( 1 + = x y的图象 奎屯 王新敞 新疆 解： 四 （本题满四 （本题满 分分 1212 分）分） 已知等 差数列a,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零 奎屯 王新敞 新疆求证它们的倒数所组成的数列 cba 1 , 1 , 1 不可能成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 证：如
6、果 cba 1 , 1 , 1 成等差数列，那么 , 1111 c cb a ba b cb cb bc ba bcab = = =得两边乘以即 又因为a,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以 . 0=cbba由以上两式，可知. 11 ca = 两边都乘以ac，得a=c. 但由数列a,b,c 的公差不为零，知ac，这就得出矛盾 奎屯 王新敞 新疆 从而 cba 1 , 1 , 1 不可能成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 五 （本题满分五 （本题满分 1414 分）分） 把 422 cossin2sin 4 1 1化成三角函数的积的形式(要求结果最 简） 奎屯 王新敞 新疆 )-)sin(sin
7、( ) 2 sin 2 sin2() 2 cos 2 (2cos )cos)(coscos(cos coscos )cos(sincoscos coscossincos cos2sin 4 1 )sin1 (: 22 2222 4222 422 += + + = += = += = =原式解 六 （本题满分六 （本题满分 1414 分）分） 1 Y 1 F（-1，0） O X 2 Y 1 -1 O X 如图，经过正三棱柱底面一边 AB，作与底面成 30 0角的平面，已 知截面三角形 ABD 的面积为 32cm 2，求截得的三棱锥 D-ABC 的体积 奎屯 王新敞 新疆 解：因为这个三棱锥是正三
8、棱 锥，所以ABC 是正三角形，且 DC 所在直线与ABC 所在平面 垂直 奎屯 王新敞 新疆 如图，作ABC 的高 CE，连结 DE 奎屯 王新敞 新疆由三垂线定理，知 DEAB，所以 DEC 是二面角-AB-的平面角，DEC=30 0 CE=ABAB CE DEABtg AB = = 2 3 3 2 30cos , 2 3 60 2 用 S截表示ABD 的面积，则 . 8, 2 1 2 1 32 2 =ABABDEABS截 用 S底表示ABC 的面积，则 S底=. 316 4 3 2 1 2 =ABCEAB DEC=30 0，所以 DC=4. )( 3 364 4316 3 1 3 1 2
9、 cmDCSV= 底三棱锥 七 （本题满分七 （本题满分 1414 分）分） 某工厂 1983 年生产某种产品 2 万件，计划从 1984 年开始，每年 的产量比上一年增长 20% 奎屯 王新敞 新疆问从哪一年开始， 这家工厂生产这种产品的 年产量超过 12 万件（已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解：设a1为这家工厂 1983 年生产这种产品的年产量，即a1=2. D B C 300 E A 并将这家工厂 1984，1985，年生产这种产品的年产量分别记为 a2,a3, .根据题意，数列an是一个公比为 1.2 的等比数列，其通 项公式为 1 2 . 12 = n n a
10、根据题意，设122 . 12 1 = n 两边取常用对数，得 84.101 0791. 0 7781. 0 1 12lg23lg 2lg2lg23lg 1 2 . 1lg 2lg12lg .12lg2 . 1lg) 1(2lg +=+ + + =+ = =+ x x 因为 x y2 . 12=是增函数，现 x 取正整数，可知从 1993 年开始，这家 工厂生产这种产品的产量超过 12 万台 奎屯 王新敞 新疆 答：略 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题满分八 （本题满分 1515 分）分） 已知两个椭圆的方程分别是 C1:x 2+9y2-45=0, C2:x 2+9y2-6x-27=0. 1求这两
11、个椭圆的中心、焦点的坐标 奎屯 王新敞 新疆 2求经过这两个椭圆的交点且与直线 x-2y+11=0 相切的圆的方程 奎屯 王新敞 新疆 1解：把 C1的方程化为标准方程，得 .102, 5, 531 545 : 22 1 =+cba yx C 可知椭圆 C1的中心是原点，焦点坐标分别是)0 ,102(),0 ,102( 奎屯 王新敞 新疆 把 C2的方程化为标准方程，得 . 24, 2, 61 436 )3( : 22 2 =+ cba yx C 可知椭圆 C2的中心坐标是（3，0） ，焦点坐标分别 )0 ,243(),0 ,243(+ 奎屯 王新敞 新疆 2解一：解方程组 = = = = =
12、+ =+ , 2 , 3 , 2 , 3 , 02769 , 0459 22 22 y x y x xyx yx 或解得 所以两椭圆 C1，C2的交点坐标是 A（3，2） ，B（3，-2） 奎屯 王新敞 新疆 设所求圆的方程为 x 2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为 A，B 两点在圆上，所以有 = =+ =+ 133, 0 . 01323 , 01323 DFE FED FED 解得 从而所求圆的方程为 x 2+y2+Dx-3D-13=0 奎屯 王新敞 新疆 由所求圆与直线 x-2y+11=0 相切，可知方程 28, 205626 006912)422(50133) 2 11 ( 2 222
13、 =+ =+=+ + + DDDD DxDxDDx x x 或解得就是 的判别式为即 从而所求圆的方程是 x 2+y2+2x-19=0,或 x2+y2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为 A（3，2） ，B（3，-2） 所求圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上即 x 轴上，因此可设圆心为 （m,0) 由所求圆与直线 x-2y+11=0 相切，可知点（m,0)到直线 x-2y+11=0 的 距离等于点 （m,0)与点 A （3， 2） 之间的距离 （都等于所求圆的半径） ， 所以 01413:,2) 3( 41 |11| 222 =+= + + mmm m 化简得整理 解得 m=-1,或 m=14. 当 m=-1 时，圆的半径52=r，所求圆的方程是 x 2+y2+2x-19=0; 当 m=14 时，圆的半径55=r，所求圆的方程是 x 2+y2-28x+71=0.
