1、 19911991年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试- -数学数学 ( (理工农医类理工农医类) ) 考生注意：考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)满分120分 奎屯 王新敞 新疆 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共15小题；每小题小题；每小题3分，共分，共45分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内把所选项前的字母填在题后括号内 (1) 已知sin= 5 4 ，并且是第二象限的角，那么tg的值等于 ( ) (A) 3 4 (B) 4 3 (C) 4 3 (D) 3
2、 4 (2) 焦点在(1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( ) (A) y2=8(x+1) (B) y2=8(x+1) (C) y2=8(x1) (D) y2=8(x1) (3)函数y=cos4xsin4x的最小正周期是 ( ) (A) 2 (B) (C) 2 (D) 4 (4)如果把两条异面直线看成“一对” ，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共 有 ( ) (A) 12 对 (B) 24 对 (C) 36 对 (D) 48 对 (5) 函数y=sin(2x+ 2 5 )的图像的一条对称轴的方程是 ( ) (A) x= 2 (B) x= 4 (C) 8 =x (D) 4 5
3、=x (6) 如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且 顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的 ( ) (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (7) 已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ( ) (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为= cos35 16 ，那么它的焦点的极坐标为 ( ) (A) （0，0） ， （6，） (B) (3，0)，(3，0) (C) （0，0） ， （3，0） (D) (0，0)，(6，0) (9) 从4
4、台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有 ( ) (A) 140 种 (B) 84 种 (C) 70 种 (D) 35 种 (10) 如果AC1，解关于x的不等式 logaxlog 2 a x12log 3 a xn (n2) 1n log n a x 3 )2(1 n loga(x2a) (26) (本小题满分12分) 双曲线的中心在坐标原点 O， 焦点在 x 轴上， 过双曲线右焦点且斜率为 5 3 的直线交双 曲线于 P、Q 两点若 OPOQ，|PQ|=4，求双曲线的方程 19911991 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生
5、全国统一考试 数学试题数学试题( (理工农医类理工农医类) )参考解答及评分标准参考解答及评分标准 说明：说明： 一、 本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力， 并给出了一种或几种较为常见的 解法， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应 评分细则 二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考 生的解答在某一步出现错误， 影响了后继部分时， 如果该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时， 可视影响的程度决定后面部分的给分， 但不得超过后面部分应给分数的一半； 如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分 三、为了阅卷方便，本试
6、题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中 合理省略非关键性的推导步骤 四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 五、只给整数分数 一、选择题本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题本题考查基本知识和基本运算每小题 3 分，满分分，满分 45 分分 (1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D 二、填空题本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题本题考查基本知识和基本运算每小题 3 分，满分分，满分 15 分分 (16) 4 (17) x|20；
7、 f (x2)f (x1)= (x1x2)( 2 221 2 1 xxxx+) 2 1 (x 2 1 x 2 2)|x1x2|x1x2 2 221 2 1 xxxx+0， f (x2)f (x1) = (x1x2) ( 2 221 2 1 xxxx+)0，不等式等价于 logaxloga(x2a) 因为a1，式等价于 axx ax x 2 2 0 0 0 0 2 axx ax x + + 2 411 2 411a x a ax 6分 因为 2 411a+ 2 4a =a， 所以，不等式的解集为x|a1，式等价于 axx ax x 2 2 0 0 0 0 2 axx ax x + 2 411a
8、x ax 或 + 2 411a x ax 10分 因为，a aaa = + + 2 4 2 411 0 2 411 12分 所以，不等式的解集为x|x 2 411a+ 综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是x| 2 411a xa + ； 当n为偶数时，原不等式的解集是x| 2 411a x + (26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基 本知识，以及综合分析能力满分12分 解法一：设双曲线的方程为 2 2 2 2 b y a x =1 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 ()() += = 22 2 2 2 2 5 3 1 baccxy b y a x 其
9、中 将式代入式，整理得 (5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=0 3分 设方程的两个根为x1，x2，若5b23a2=0，则 a b = 5 3 ，即直线与双曲线的两条 渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b23a20 根据根与系数的关系，有 22 2 21 35 6 ab ca xx =+ 22 2222 21 35 53 ab baca xx + = 6分 由于P、Q在直线y= 5 3 (xc)上，可记为 P (x1， 5 3 (x1c)，Q (x2， 5 3 (x2c) 由OPOQ得 1 1 )( 5 3 x cx 2 2 )( 5 3
10、x cx =1， 整理得3c(x1+x2)8x1x23c2=0 将，式及c2=a2+b2代入式，并整理得 3a4+8a2b23b4=0， (a2+3b2)(3a2b2)=0 因为 a2+3b20，解得b2=3a2， 所以 c= 22 ba +=2a 8分 由|PQ|=4，得(x2x1)2= 5 3 (x2c) 5 3 (x1c)2=42 整理得(x1+x2)24x1x210=0 将，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1 10分 将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3 故所求双曲线方程为x2 3 2 y =1 12分 解法二：式以上同解法一 4分 解方程得x1= 22 22 35
11、403 ab abca + ，x2= 22 22 35 403 ab abca 6分 由于P、Q在直线y= 5 3 (xc)上，可记为P (x1， 5 3 (x1c)，Q (x2， 5 3 (x2c) 由OPOQ，得x1 x2 5 3 (x1c) 5 3 (x2c)=0 将式及c2=a2b2代入式并整理得 3a4+8a2b23b4=0， 即 (a2+3b2)(3a2b2)=0 因a2+3b20，解得b2=3a2 8分 由|PQ|=4，得(x2x1)2+ 5 3 (x2c) 5 3 (x1c)2=42 即 (x2x1)2=10 将式代入式并整理得 (5b23a2)216a2b4=0 10分 将b2=3a2代入上式，得a2=1， 将a2=1代入b2=3a2得b2=3 故所求双曲线方程为 x2 3 2 y =1 12 分
