1、 1990 年年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学（理工农医类）（理工农医类） 一、选择题一、选择题:在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的,把所选项前把所选项前 的字母填在题后括号内的字母填在题后括号内 奎屯 王新敞 新疆 (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 (4)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5) (A)-2,4 (B)-2,0,4 (C)-2,0,2,4 (D)-4,-2,0,4 (7)如果直线y=ax2与直线y=3xb关于直线y
2、x对称,那么 (C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 (B)(2,3) (C)(2,3) (D)(x,y)y=x+1 (11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、 F分别为SC、AB的中点, 那么异面直线EF与SA所成的角等于 (A)90 (B)60 (C)45 (D)30 (12)已知h0.设命题甲为:两个实数a,b满足ab0时,方程无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0; . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯 虚数解z=yi(y0).此时,式化为
3、 -y2+2y=a. ()令y0,方程变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. 由此可知:当a1时,方程无实根. 当a1时解方程得 y=1, 从而, 当a=0时,方程有正根 y=2; 当00时,原方程无零解. 考查r0的情形. ()当k=0,2时,对应的复数是z=r.因cos2=1,故式化为 r2+2r=a. . 由此可知:当a=0时,方程无正根; 当a0时,方程有正根 . 所以,当a0时,原方程有解 . ()当k=1,3时,对应的复数是z=ri.因cos2=-1,故式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, 由此可知:当a1时,方程无实根,从而无正根; . 从而, 当a=0时,
4、方程有正根 r=2; . 所以, 当a=0时,原方程有解z=2i; 当01时,原方程无纯虚数解. (25)本小题考查椭圆的性质本小题考查椭圆的性质,距离公式距离公式,最大值知识以及分析问题的能力最大值知识以及分析问题的能力. 解法一解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 其中ab0待定,0b0待定. , 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 其中 -byb. 由此得 , 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的直角坐标方程是 (26)本题考查对数函数本题考查对数函数,指数函数指数函数,数学归纳法数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知不等式的知识以及综合运用有关知 识解决问题的能力识
5、解决问题的能力. ()解解:f(x)当x(-,1时有意义的条件是 1+2x+(n-1)x+nxa0 x(-,1,n2, 上都是增函数, 在(-,1上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值 也就是a的取值范围为 ()证法一证法一:2f(x)f(2x) a(0,1,x0.即 1+2x+(n-1)x+nxa2n1+22x+(n-1)2x+n2xa a(0,1,x0. 现用数学归纳法证明式. （A）先证明当n=2时式成立. 假如0a1,x0,则 (1+2xa)2=1+22xa+22xa22(1+22x)2(1+22xa). 假如a=1,x0,因为12x,所以 因而当n=2时式成立. （B）假如当n=k
6、(k2)时式成立,即有 1+2x+(k-1)x+kxa2k1+22x+(k-1)2xa a(0,1,x0, 那么,当a(0,1,x0时 (1+2x+kx)+(k+1)xa2 =(1+2x+kx)2+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 k(1+22x+k2x)+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 =k(1+22x+k2x)+21(k+1)xa+22x(k+1)xa+ +2kx(k+1)xa+(k+1)2xa2k(1+22x+ +k2x)+1+(k+1)2xa2+22x+(k+1)2xa2+ +k2x+(k+1)2xa2+(k+1)2xa2 =(k+1)1+
7、22x+k2x+(k+1)2xa2 (k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa, 这就是说,当n=k+1时式也成立. 根据(A),(B)可知,式对任何n2(nN)都成立.即有 2f(x)f(2x) a(0,1,x0. 证法二证法二:只需证明n2时 因为 其中等号当且仅当a1=a2=an时成立. 利用上面结果知,当a=1,x0时,因12x,所以有 1+2x+(n-1)x+nx2n1+22x+(n-1)2x+n2x. 当0a1,x0时,因a2a,所以有 1+2x+(n-1)x+nxa2 n1+22x+(n-1)2x+n2xa2n1+22x+(n-1)2x+n2xa. 即有 2f(x)f(2x) a(0,1,x0.
