1、2020 年高三综合练习 数学 答案 1 / 11 门头沟区 2020 年高三综合练习 数 学数 学 2 02 0 2 02 0 . . 3 3 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 1010 个小题个小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 4040 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1.复数2 (1)ii的模为 （ ） A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 2 2 2.集合 2 2,230Ax xxRBx xx，则AB （ ） A. (3,) B. (, 1)(3,) C. (2,) D.
2、 (2,3) 3.已知双曲线 22 :1 94 xy C，则C的渐近线方程为 （ ） A 9 4 yx B 4 9 yx C 3 2 yx D 2 3 yx 4. 若等差数列 n a的前n项和为 n S，且 13 0S， 34 21aa，则 7 S的值为 A. 21 B. 63 C. 13 D. 84 5.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长 为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形， 则该几何体中最长的棱长为 A. 2 B. 3 C. 1 D. 6 解：由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个 直角三角形，高为 1，最长的棱为正方体的主对角 线，长为3 2020 年高三综合练习 数学
3、 答案 2 / 11 6. 设向量, a b满足 2,1ba，且b与a的夹角为。则“3ba”是“ 3 ” 的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：34 1 231 3 baa ba b 选 C【利用向量几何运算更易】 7. 已知函数 2(0) ( ) ln(0) x x f x xx ，且关于x的方程( )0f xxa有且只有一个实 数根，则实数a的取值范围 A. 0,) B. (1,) C. (0,) D. ,1) 解：( )0( )f xxaf xax作图可得：B 8. 若函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位长度得
4、到函数( )g x的图象，若函数 ( )g x在区间0, a上单调递增，则a的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 12 D. 7 12 解：( )sin(2) 3 g xx ，( )g a为最大值，a的最大值 5 2 3212 aa ，选 C 9. 已知点(2,0)M，点P在曲线 2 4yx上运动，点F为抛物线的焦点， 则 2 1 PM PF 的最小值为 A. 3 B. 51)2（ C. 4 5 D. 4 解：设 ( , )P x y 是抛物线上任一点， 抛物线的焦点为 (1,0)F ， 2 222 (2)44 4 1 PMxyx x PFxxx 2020 年高三综合练习 数学 答案 3
5、/ 11 10. 一辆邮车从A地往B地运送邮件， 沿途共有n地， 依次记为 12 , n A AA（ 1 A为A地， n A为B地） 。从 1 A地出发时，装上发往后面1n地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下 前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达 12 , n A AA各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1, 2, ) k akn。则 k a的表达式为 A. (1)k nk B. (1)k nk C. ()n nk D. ()k nk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D B B C B C D D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题
6、共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2525 分分. . ） 11. 在二项式 26 (2)x 的展开式中， 8 x的系数为 。60 解： 2612 2 1 66 ()222,60 rr rrrr r Txxr CC 12. 在ABC中， 2 3,1, 3 ABBCC ，则AC 。1 解：由余弦定理得：1AC 13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力 救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、 乙两个省份从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下： 根
7、据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较，把你得到最重要的两个结论写在答 案纸指定的空白处。 。 2020 年高三综合练习 数学 答案 4 / 11 。 开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大； 从 2 月 10 日开始两个省的新增人数都在下降； 2 月 10 日两个省的新增人数在一周内都达 到了最大值；等等。至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信 息都是正确，给满分 5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确 也要扣 2 分。 14. 已知两点( 1,0),(1,0)AB，若直线0xya上存在点( , )P x y满足
8、0AP BP 则实数a满足的取值范围是 。 解：设( , )P x y，则 22 01AP BPxy，12,2 2 a da 15. 集合( , ),0,( , )1Ax yxya aBx yxyxy ， 若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 则下列说法正确的为 a的值可以为 2； a的值可以为2； a的值可以为22； 本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得 5 分，不选或有选错得 0 分，其它得 3 分。 解： （1）若01a时，不可能构成正八边形； (2) 若12a时，设正八边形边长为l，如图 1 0 cos4512 2212 22 ll lla （3）若2a时，不合题意； （
9、4）若2a时，此时正八边形边长为 2， 故 12 122a ，如图 2 x y O x O 图 1 x O 图 2 2020 年高三综合练习 数学 答案 5 / 11 11 12 13 14 15 60 1 甲省比乙省的新增人数的平均数低； 甲省比乙省的方差要大；等 2, 2 13.开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大； 从 2 月 10 日开始两个省的新增人数都在下降； 2 月 10 日两个省的新增人数在一周内都达 到了最大值；等等。至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信 息都是正确，给满分 5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个
10、数据信息都正确 也要扣 2 分。 三、解答题：三、解答题：（本大题共本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8585 分分. .解答应写出文字说明、演算步骤或证明解答应写出文字说明、演算步骤或证明） 16.（本小题满分为 13 分）已知函数( )sin() (0,) 2 f xx 满足下列 3 个条 件中的 2 个条件： 函数( )f x的周期为； 6 x 是函数( )f x的对称轴； ()0 4 f 且在区间(,) 6 2 上单调 （）请指出这二个条件，并求出函数( )f x的解析式； （）若0, 3 x ，求函数( )f x的值域。 解： （）由可得， 2 2 1 分 由得：, 6226
11、kkkZ 2 分 由得， , 44 22 03 22633 mmmZ T 4 分 若成立，则2,( )sin(2) 66 f xx 5 分 若成立，则, 42 mmmZ ，不合题意6 分 2020 年高三综合练习 数学 答案 6 / 11 若成立，则12()66, 264 kmmkm kZ 与中的03矛盾，所以不成立8 分 所以，只有成立，( )sin(2) 6 f xx 9 分 （）由题意得， 51 02( )1 36662 xxf x 12 分 所以，函数( )f x的值域为 1 ,1 2 13 分 17.（本题满分 15 分）在四棱锥PABCD的底面ABCD中，/ /,BCAD CDAD
12、， POABCD 平面，O是AD的中点，且222POADBCCD （）求证：/ /ABPOC平面； （）求二面角OPCD的余弦值； （）线段PC上是否存在点E，使得ABDE， 若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由。 解: （）连结OC，,/ /BCAO BCAD 则四边形ABCO为平行四边形1 分 / / / / ABOC ABPOCABPOC OCPOC 平面平面 平面 4 分 （）POABCD 平面 ， CDAD ODBCCD 四边形OBCD为正方形 所以，,OB OD OP两两垂直，建立如图所示坐标系，6 分 则(1,1,0), (0,0,2),(0,1,0), (1,0,0)CP
13、DB，设平面PCD法向量 B C DA P O y z x A D BC P O 2020 年高三综合练习 数学 答案 7 / 11 为 1 ( , , )nx y z，则 1 1 1 0 (0,2,1) 0 n CD n n PD ，8 分 连结BD，可得,BDOC又BDPO 所以，BDPOC 平面， 平面POC的法向量 2 ( 1,1,0)nBD （其它方法求法向量也可）10 分 设二面角OPCD的平面角为，则 12 12 10 cos 5 n n nn 11 分 （）线段PC上存在点E使得ABDE 12 分 方法一：设 ( , , ),( , ,2)(1,1, 2)( , ,22 )E
14、x y zPEPCx y zE ( ,1,22 )DE ，(1,1,0)AB ， 1 0 2 ABDEAB DE 14 分 所以，点E为线段PC的中点15 分 方法二： 设E是线段PC的中点，BDOCM， / /EMPOEMABCD 平面 OCBD OCBEDOCED OCEM 平面 /ABOC，所以ABED15 分 18.（本小题满分 13 分）十八大以来，党中央提出要在 2020 年实现全面脱贫，为了实现 这一目标，国家对“新农合” （新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新 农合”的补助标准。提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表 1：新农合门诊报销比例 医院类别 村
15、卫生室 镇卫生院 二甲医院 三甲医院 门诊报销比例 60% 40% 30% 20% 根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表 2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表 医院类别 村卫生室 镇卫生院 二甲医院 三甲医院 y z x M A D BC P O E 2020 年高三综合练习 数学 答案 8 / 11 一个结算年度内各门诊 就诊人次占李村总就诊 人次的比例 70% 10% 15% 5% 如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别 为 50 元、100 元、200 元、500 元。若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为 2000 人次
16、。 （）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60 岁以上的人次占了 80%， 从去三甲医院门诊就诊的人次中任选 2 人次，恰好 2 人次都是 60 岁以上人次的概率是多 少？ () 如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李 村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望。 解： （）去三甲医院门诊就诊的人次为 100 人次，其中 60 岁以上老人为 80 人次，设这 2 人次都是 60 岁以上老人这一事件为A1 分 则 2 80 2 100 316 ( ) 495 C P A C 5 分 （没有设出事件，但有答也不扣分）
17、 （）X可取 20，60，140，400，9 分 分布列为 每人次门诊实 付费用X 20 60 140 400 P 0.7 0.1 0.15 0.05 11 分 期望为20 0.7 60 0.1 140 0.15 400 0.0561EX 13 分 19.（本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab G ， 上顶点为 (0,1)B ， 离心率为 2 2 ， 直线 :2l ykx 交y轴于C点，交椭圆于,P Q 两点,直线,BP BQ分别交x 轴于点 ,M N。 （）求椭圆G的方程； （）求证： BOMBCN SS 为定值 。 19 解： （）有条件可知： 2 1
18、,2,1 2 c bac a 2 分 2020 年高三综合练习 数学 答案 9 / 11 所求椭圆方程为： 2 2 1 2 x y4 分 （）设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy为直线l与椭圆的交点，则 2 2 22 1 (21)860 2 2 x y kxkx ykx ，可得： 2 12 2 12 2 3 0 2 8 21 6 21 k k xx k x x k 6 分 直线 11 11 1 :1(,0) 1 yx BP yxM xy 8 分 同理得： 2 2 (,0) 1 x N y 9 分 2 1212 22 442 , 2121 k yyy y kk 11 分 2 12 2
19、 12 22 6 331 21 4424 (1)(1)42 1 2121 MOBBCN x x k SS kyy kk 14 分 所以， BOMBCN SS 为定值15 分 20.（本小题满分 15 分）已知函数( )sinln1f xxx。 （）求( )f x在点() 22 f （，处的切线方程； （）求证：( )f x在(0, )上存在唯一的极大值； （）直接写出函数( )f x在(0,2 )上的零点个数。 解： （）()1 ln1ln 222 f 1 分 / 12 ( )cos() 2 fxxf x 3 分 所以，( )f x在点() 22 f （，处的切线方程 2020 年高三综合练习
20、 数学 答案 10 / 11 为 22 ln()ln1 222 yxyx 5 分 （）证明： / 1 ( )cosfxx x ， 设 / 2 11 ( )( )cos( )sin0g xfxxgxx xx 7 分 /( ) fx在(0, )上递减， / 21 ()0,( )10 2 ff 由零点存在定理可知，存在 0 (, ) 2 x 使得 / 0 ()0fx10 分 当 / 0 (0,),( )0xxfx，( )f x递增；当 / 0 (, ),( )0xxfx，( )f x递减 所以( )f x在(0, )上存在唯一的极大值12 分 （）函数( )f x在(0,2 )上有 3 个零点。15
21、 分 【由（）可知，( )f x在(0,) 2 上增，(1)sin1 10,()ln0 22 ff ， 由零点存在定理有一个零点 1 x；( )f x在(, ) 2 上先增后减，而( )ln10f 无零点；( )f x在 3 ( ,) 2 上先减后增，且 33 ()ln20 22 f ，有一个零点 2 x ( )f x在 3 (,2 ) 2 上增，且 33 ()ln20 22 f ，(2 )ln(2 ) 10f ， 有一个零点 3 x】 21.（本小题满分 14 分） ）已知, q n均为给定的大于 1 的自然数， 设集合 1 12 1,2,3, ,1,2, n ni MqTx xxx qx
22、qxM in （）当2,2qn时，用列举法表示集合T （）当200q 时， 12100 ,Aa aaM ，且集合A满足下列条件： 对任意1100,201 ij ijaa ； 100 1 12020 i i a 证明：(i)若 i aA，则201 i aA （集合A为集合A在集合M中的补集） 2020 年高三综合练习 数学 答案 11 / 11 （ii） 100 2 1 i i a 为一个定值（不必求出上此定值） ； （）设 211 12312 , nn nn s tT sbb qb qb qtcc qc q ， 其中,1,2, ii b cM in，若 nn bc，则st 证明： （） 121
23、2 1,2,2,1,2Mxxxx x，此时，3,4,5,6T 3 分 （）(i)由题意可知， i aA，则1201200201 ii aaM2 分 若201 i aA，不妨设201 ik aa，则ki，否则， * 201 2 i aN矛盾， 则201 ki aa与条件矛盾，所以，201 i aA6 分 （ii）由题意可知， 200100100100100 22222 11111 (201)2201100402 iiii kiiii kaaaa 100 2222 1 (12200 )201 1202020150 i i a 为一定值9 分 （）由题意得：1,1,2,1;1 iinn bcqinbc 11 分 2121 112211 ()()()()(1)(1)(1) nnnn nnnn stbcbc qbcqbc qqqqqqq 1 1 (1)(1) 10 1 n n qq qst q 14 分
