1、二次函数XXX 大学 张XXX1形如形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)的函的函数叫做数叫做二次函数二次函数其中二次项为其中二次项为ax2，一次项为，一次项为bx，常数项，常数项c二次项的系数为二次项的系数为a，一次项的系数为，一次项的系数为b，常数项，常数项c：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x,y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有其中是二次函数的有_个。个。2.当当m_时时,函数函数y=(m+1)-2+1 是二次函是二次函数？数？对称对称轴轴顶点顶点坐标坐标最值最值增减增减性性y=axy=ax2 2y=a(x+m)y=a(x+m)2 2y=a(x+
2、m)y=a(x+m)2 2+k+ky=axy=ax2 2+bx+c+bx+cabacabxay44222y=axy=ax2 2+k+k顶点式顶点式一般式一般式配方配方平移平移直线直线x=0 x=0直线直线x=-mx=-m直线直线x=-mx=-mabx2直线(0,0)(0,0)(-m,0)(-m,0)(-m,k)(-m,k)44,2(2abacaba0a0当当x=0,yx=0,y最小最小=0=0a0a0当当x=-x=-m,ym,y最小最小=0=0a0a0当当x=-x=-m,ym,y最小最小=k=k)44,2,02abacyabxa最小当a0a0，x x-m,m,y y随随x x增大而减小增大而减
3、小 x-m,y随随x增大而增大增大而增大a0a0，x x-b/2a,b/2a,y y随随x x增大而减小增大而减小 x-b/2a,y随随x增大增大而增大而增大顶点坐标顶点坐标与与X轴的交点坐标轴的交点坐标与与Y轴的交点坐标及它轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点（，）ab2abac442(x1,0)(x2,0)(0,c)ab(,c)（，）ab2abac442x1x2Oxycab(,c)对称轴直线对称轴直线x=x=ab2(1)y=2(x+2)2是由是由 向向 平移平移 个单位得到个单位得到(2)y=-2x2-2是由是由 向向 平移平移 个单位得到个单位得到(3)y=-2(x-2)
4、2+3是由是由 向向 平移平移 个单位个单位，再向，再向 平移平移 个单位得到个单位得到(4)y=2x2+4x-5是由是由 向向 平移平移 个单位，再个单位，再向向 平移平移 个单位得到个单位得到(5)y=2x2向左平移向左平移2个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位得到个单位得到函数解析式是函数解析式是 。y=2(x+2)2-3y=2x2左左2y=-2x2下下2y=-2x2右右2上上3y=2x2左左1下下7（6 6）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2-4x-5 -4x-5 ，求下列问题求下列问题y=-2(x+1)2-8开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标最值最值怎样平
5、移怎样平移x x在什么范围，在什么范围，y y随随x x增大而增大增大而增大与坐标轴的交点坐标与坐标轴的交点坐标与与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为A,B,A,B,与与y y轴的交点为轴的交点为C,C,则则S SABCABC=.在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点P,P,使得使得S SABPABP是是ABCABC面积的面积的2 2倍倍,若存在，请求出点若存在，请求出点P P的坐标，若不存在，请说明的坐标，若不存在，请说明理由理由当当x为何值时，为何值时，y0（7 7）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的顶点坐标（的顶点坐标（1 1，-2-2），求），求b b
6、，c c的值的值（8 8）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2+4x+c+4x+c的顶点坐标在的顶点坐标在x x轴上，轴上，求求c c的值的值（9 9）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2+4x+c+4x+c的顶点坐标在直线的顶点坐标在直线y=2x+1y=2x+1上，求上，求c c的值的值2 2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（m,km,k），通常），通常设抛物线解析式为设抛物线解析式为_3 3、已知抛物线与、已知抛物线与x x 轴的两个交点轴的两个交点(x(x1 1,0),0)、(x(x2 2,0),0),通常设解析式为通常设解析式为_1 1、已知抛物线上的三点，通
7、常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+k+k(a0(a0)y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0(a0)如何求抛物线解析式常用的三种方法如何求抛物线解析式常用的三种方法一般式一般式顶点式顶点式交点式或两根式交点式或两根式4.4.公式法公式法1.1.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点（0 0，0 0），（），（1 1，3 3），（），（2 2，8 8）。）。如何求下列条件下的二次函数的解析式如何求下列条件下的二次函数的解析式:3.3.已
8、知二次函数的图象的对称轴是直线已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,x=3,并且经过点并且经过点(6,0),(6,0),和和(2,12)(2,12)2.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为（2 2，3 3），且图象过点（），且图象过点（3 3，2 2）。）。4.4.矩形的周长为矩形的周长为6060，长为，长为x x，面积为，面积为y y，则，则y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式 。（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4
9、ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0A abc0B a0,bB a0,b2 2-4ac0-4acb ab 0 0），今在四边上分别选取），今在四边上分别选取E E、F F、G G、H H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=xAE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？花园面积最大？DCABGHFEab b4.4.（20142014新疆生产建设兵团改编）新疆生产建设兵团改编）如图，在一面靠墙的空地上用如图，在一面靠墙的空地上用长为长为2424米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，
10、设花圃的宽圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，则求围成花圃的最大面积米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：解：(1)AB(1)AB为为x x米、篱笆长为米、篱笆长为2424米米 花圃宽为（花圃宽为（24244x4x）米）米 (3)墙的可用长度为墙的可用长度为8米米(2)当当x 时，时，S最大值最大值
11、 36（平方米）（平方米）32ababac442 S Sx x（24244x4x）4x4x2 224 x 24 x （0 x60 x6）0244x 8 4x6当当x4m时，时，S最大值最大值32 平方米平方米5.5.某企业投资某企业投资100100万元引进一条产品加工生产线，若不万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利计维修、保养费用，预计投产后每年可创利3333万。该万。该生产线投产后，从第生产线投产后，从第1 1年到第年到第x x年的维修、保养费用累年的维修、保养费用累计为计为y(y(万元万元)，且，且y=axy=ax2 2+bx,+bx,若第若第1 1年的维
12、修、保养年的维修、保养 费用为费用为2 2万元，到第万元，到第2 2年为年为6 6万元。万元。（1 1）求）求y y的解析式；的解析式；（2 2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解解:（1）由题意，）由题意，x=1时，时，y=2；x=2时，时，y=2+4=6,分别代入分别代入y=ax2+bx,得得a+b=2,4a+2b=6,解得解得:a=1,b=1,y=x2+x.（2）设）设g33x-100-x2-x,则则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于当由于当1x16时，时，g随随x的增大而增大，故当的增大而增大，故当x=4时，即第时，
13、即第4年可年可收回投资。收回投资。（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为（50+x）元）元 个（2）一个商品所获利）一个商品所获利可以表示为可以表示为（50+x-40）元）元（4）共获利）共获利可以表示为可以表示为7.7.如图，已知直线如图，已知直线 y=-y=-x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点B B、C C，抛物线，抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点B B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；解：令解：令y=0，
14、则，则 x+3=0，x=3，B（3，0），），令令x=0，则则y=3，C（0，3），），b=2c=3解得解得-9+3b+c=0c=3得得 y=-x2+2x+3（3，0）（0，3）xyoABC7.7.如图，已知直线如图，已知直线 y=-y=-x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点B B、C C，抛物线，抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点B B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为）若抛物线的顶点为D，求四边形，求四边形ABDC的面积；的面积；
15、（3，0）（0，3）BCDxyoAE（1，4）（1，0）（-1，0）解：解：S四边形四边形ABDC=SAOC+S梯形梯形OEDC+S EBD=9=AO OC +（OC+ED）OE+EB ED212121=13+（3+4）1+3-1 4 2121217.7.如图，已知直线如图，已知直线 y=-y=-x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点B B、C C，抛物线，抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点B B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。（4）第（第（3）题改为）题改为在直线在直线y=-x+3上是否存在上是否
16、存在点点P，使，使SPAC=S PAB？若存在，求出点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。的坐标；若不存在，说明理由。答案一样吗？答案一样吗？21（3，0）（0，3）xyoABCP（3）若点）若点P在直线在直线 BC上且上且SPAC=S PAB，求求P的坐标；的坐标；21Qy（3，0）（0，3）xoABCPQP（3，0）（0，3）xyoABCQ（1414）（）（2014 2014 乌鲁木齐）在平面直角坐标乌鲁木齐）在平面直角坐标系系xOyxOy中，抛物线中，抛物线y=mx-2xy=mx-2x与与x x轴正半轴交轴正半轴交于点于点A A，顶点为，顶点为B.B.（1 1）求点）求点B B
17、的坐标（用含的坐标（用含m m的代数式表示）的代数式表示）.（2 2）已知点）已知点C C（0 0，-2-2），直线），直线ACAC与与BOBO交于点交于点D D，与该，与该抛物线对称轴交于点抛物线对称轴交于点E E，且，且OCDOCDBEDBED，求，求m m的值的值.（3 3）在由（）在由（2 2）确定的抛物线上有一点）确定的抛物线上有一点N N（n n，-5/3),N-5/3),N在对称轴左侧，点在对称轴左侧，点F,GF,G在对称轴上，在对称轴上，F F在在G G的上方，且的上方，且FG=1FG=1，当四边形，当四边形ONGFONGF的周长最小时：的周长最小时：求点求点F F的坐标；的坐
18、标；设点设点P P在抛物线上，在在抛物线上，在y y轴上是否存在点轴上是否存在点H H，使以，使以N,F,H,PN,F,H,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点接写出点H H的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由.（20132013乌鲁木齐乌鲁木齐）如图在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E解解：（：（1）证明：如答图）证明：如答图1所示，连接所示，连接ID，IO，I为为BOD的外心，的外心，IO=ID，又，又F为为OD的中点，的中点，
19、IFODDEF+FDE=AEB+ABE=90，又，又DEF=AEB，FED=EBA而而DA=BA，且，且OAD=EAB=90，OAD EAB（2）解：由（）解：由（1）知）知IFOD，又，又BF为中线，为中线，BO=BD=AB=2，OA=BOAB=2由（由（1）知）知OAD EAB，AE=OA=2，E（2，2），），B（2，0）设过点）设过点O、B、E的抛物线解析式为的抛物线解析式为y=ax2+bx，则有，解得，则有，解得，抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：y=x2+x（3）解：直线BD与x轴关于直线BF对称，抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P 由（2）可知，B（2，0），D（2，），可
20、得直线BD的解析式为y=x+2 点P既在直线y=x+2上，也在抛物线y=x2+x上，x+2=x2+x，解此方程得：x=2或x=，当x=2时，y=x+2=0；当x=时，y=x+2=2，点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2）（4）解：）解：DBO=45，BD=BO，BFOD，EBA=22.5，由（，由（1）知）知ODA=22.5，故，故DOA=67.5，OA=EA，EOA=45，DOE=22.5，即，即OED是顶角为是顶角为135的等腰三角形的等腰三角形若若BMD与与OED相似，则相似，则BMD必须是等腰三角形必须是等腰三角形如答图如答图2所示，在直线所示，在直线BF上能使上能使BMD为
21、等腰三角形的点为等腰三角形的点M有有4个，分别记为个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点，其中符合题意的是点M1，M3DM1=DB=2，OA=2，M1（，），）由（由（1）知）知B（2，0），），E（2，2），故直线），故直线BE的解析式为的解析式为y=（1）x2+I是是BOD的外心，它是的外心，它是OB的垂直平分线的垂直平分线x=1与与OD的垂直平分线的垂直平分线BE的交点，的交点，I（1，1），即），即M3（1，1）故符合题意的故符合题意的M点的坐标为（点的坐标为（，），（，），（1，1）新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！（1212分）（分）（2014 2014 杭州
22、）复习课中，教师给出关于杭州）复习课中，教师给出关于x x的函的函数数.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写道黑板上论（性质）写道黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动医学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动医院，又补充一些结论，并从中选择如下四条：院，又补充一些结论，并从中选择如下四条：存在函数，其图像经过（存在函数，其图像经过（1,01,0）点；）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是当时，不是y y随随x x的增大而增大就是的增大而增大就是y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。值，则最小值必为负数。教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后最后简单写出解决问题时所用的数学方法。简单写出解决问题时所用的数学方法。
