1、 2005 年高考年高考理理科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案 （河北河北 河南河南 安徽安徽 山西山西 海南海南） 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第卷 3 到 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑每小
2、题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 奎屯 王新敞 新疆如需改动，用橡皮 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号擦干净后，再选涂其它答案标号 奎屯 王新敞 新疆不能答在试题卷上 不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()(BPAPBAP+=+ 2 4 RS= 如果事件 A、相互独立，那么
3、其中 R 表示球的半径 )()()(BPAPBAP= 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP =)1 ()( 一一、选择题选择题 （1）复数 i i 21 2 3 = （A）i （B）i （C）i22 （D）i+22 （2）设I为全集， 321 SSS、是I的三个非空子集，且ISSS= 321 ，则下面论断正 确的是 （A）=）（ 321 SSSCI （B） 123II SC SC S（） （C） 123III C SC SC S= （D） 123II S
4、C SC S（） （3）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （A）28 （B）8 （C）24 （D）4 （4）已知直线l过点），（02，当直线l与圆xyx2 22 =+有两个交点时，其斜率 k 的取值 范围是 （A），（2222 （B），（22 （C） ），（ 4 2 4 2 （D） ），（ 8 1 8 1 （5）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且BCFADE、 均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 （A） 3 2 （B） 3 3 （C） 3 4 （D） 2 3 （6）已知双曲线)0( 1 2 2 2 =a
5、y a x 的一条准线与抛物线 xy6 2 =的准线重合，则该双曲线的离心率为 （A） 2 3 （B） 2 3 （C） 2 6 （D） 3 32 （7）当 2 0 x时，函数 x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 + = 的最小值为 （A）2 （B）32 （C）4 （D）34 （8）设0b，二次函数1 22 +=abxaxy的图像为下列之一 1-1 o y x 1-1 o y x o y x o y x 则a的值为 （A）1 （B）1 （C） 2 51 （D） 2 51+ （9）设10 a，函数)22(log)( 2 = xx a aaxf，则使0)(xf的x的取值范围是 （
6、A）)0 ,( （B）), 0( + （C）) 3log,( a （D）), 3(log+ a （10）在坐标平面上，不等式组 + 13 1 xy xy 所表示的平面区域的面积为 （A）2 （B） 2 3 （C） 2 23 （D）2 （11）在ABC中，已知C BA sin 2 tan= + ，给出以下四个论断： 1cottan=BA 2sinsin0+BA A B CD EF 1cossin 22 =+BA CBA 222 sincoscos=+ 其中正确的是 （A） （B） （C） （D） （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有 （A）18 对 （B）24 对 （C
7、）30 对 （D）36 对 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 2答卷前将密封线内的项目填写清楚答卷前将密封线内的项目填写清楚 奎屯 王新敞 新疆 3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分 奎屯 王新敞 新疆 二二、本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13）若正整数 m 满足 mm 10210 5121 ，则 m = 奎屯 王新敞 新疆 )3010. 02(lg （14） 9 ) 1 2( x x
8、的展开式中，常数项为 奎屯 王新敞 新疆（用数字作答） （15）ABC的外接圆的圆心为 O， 两条边上的高的交点为 H，)(OCOBOAmOH+=， 则实数 m = （16）在正方形 DCBAABCD 中，过对角线 BD的一个平面交 AA于 E，交 CC于 F， 则 四边形EBFD 一定是平行四边形 四边形EBFD 有可能是正方形 四边形EBFD 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形EBFD 有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 奎屯 王新敞 新疆（写出所有正确结论的编号） 三三、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字
9、说明，证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （17） （本大题满分 12 分） 设函数)(),0( )2sin()(xfyxxf=+=图像的一条对称轴是直线 8 =x 奎屯 王新敞 新疆 （）求； （）求函数)(xfy =的单调增区间； （）证明直线025=+cyx于函数)(xfy =的图像不相切 奎屯 王新敞 新疆 （18） （本大题满分 12 分） 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，=PADAB,90底面 ABCD，且 PA=AD=DC= 2 1 AB=1，M 是 PB 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （）证明：面 PAD面 PCD
10、； （）求 AC 与 PB 所成的角； （）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 奎屯 王新敞 新疆 （19） （本大题满分 12 分） 设等比数列 n a的公比为q，前 n 项和), 2 , 1( 0=nSn 奎屯 王新敞 新疆 （）求q的取值范围； （）设 12 2 3 + = nnn aab，记 n b的前 n 项和为 n T，试比较 n S与 n T的大小 奎屯 王新敞 新疆 （20） （本大题满分 12 分） 9 粒种子分种在 3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为5 . 0，若一个坑内至少有 1 粒 种子发芽， 则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽， 则这
11、个坑需要补种 奎屯 王新敞 新疆假定每个 坑至多补种一次，每补种 1 个坑需 10 元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数 学期望 奎屯 王新敞 新疆（精确到 01. 0） A B C D P M （21） （本大题满分 14 分） 已知椭圆的中心为坐标原点 O， 焦点在x轴上， 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，OBOA+与) 1, 3( =a共线 奎屯 王新敞 新疆 （）求椭圆的离心率； （）设 M 为椭圆上任意一点，且),( ROBOAOM+=，证明 22 +为定值 奎屯 王新敞 新疆 （22） （本大题满分 12 分） （）设函数) 10( )1 (log
12、)1 (log)( 22 +=xxxxxxf，求)(xf的最小值； （）设正数 n pppp 2 321 ,满足1 2 321 =+ n pppp，证明 npppppppp nn + 2 2 2 323222121 loglogloglog 2005 年高考年高考理理科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案 （河北河北 河南河南 安徽安徽 山西山西 海南海南） 参考答案参考答案 一、选择题：1A 2C 3B 4C 5A 6D 7C 8B 9C 10B 11B 12D 二、填空题： 13155 14672 151 16 三、解答题 17本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运
13、算能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （）)( 8 xfyx=是函数 的图像的对称轴，, 1) 8 2sin(=+ ., 24 Zkk+=+ . 4 3 , 0 = （）由（）知). 4 3 2sin(, 4 3 =xy因此 由题意得 ., 2 2 4 3 2 2 2Zkkxk+ 所以函数., 8 5 , 8 ) 4 3 2sin(Zkkkxy+= 的单调增区间为 （）证明： 33 | |(sin(2) | |2cos(2)| 2 44 yxx = 所以曲线)(xfy =的切线斜率的取值范围为-2,2， 而直线025=+cyx的斜率为 5 2 2 ， 所以直线025=+cyx于函数
14、 3 ( )sin(2) 4 yf xx =的图像不相切 奎屯 王新敞 新疆 18 本小题主要考查直线与平面垂直、 直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象 能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 方案一： （）证明：PA面 ABCD，CDAD， 由三垂线定理得：CDPD. 因而，CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD，PD 都垂直， CD面 PAD. 又 CD面 PCD，面 PAD面 PCD. （）解：过点 B 作 BE/CA，且 BE=CA， 则PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE=
15、2，又 AB=2， 所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA面 ABCD 得PEB=90 E A B C D P M N 在 RtPEB 中 BE=2，PB=5， . 5 10 cos= PB BE PBE . 5 10 arccos所成的角为与PBAC （）解：作 ANCM，垂足为 N，连结 BN. 在 RtPAB 中，AM=MB，又 AC=CB， AMCBMC, BNCM，故ANB 为所求二面角的平面角 奎屯 王新敞 新疆 CBAC，由三垂线定理，得 CBPC， 在 RtPCB 中，CM=MB，所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中，ANMC=AC AC CM 22 ) 2 (，
16、5 6 2 5 2 2 3 = =AN. AB=2， 3 2 2 cos 222 = + = BNAN ABBNAN ANB 故所求的二面角为). 3 2 arccos( 方法二：因为 PAPD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建 立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M（0，1，) 2 1 . （）证明：因., 0),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(DCAPDCAPDCAP=所以故 又由题设知 ADDC， 且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线
17、， 由此得 DC面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD 奎屯 王新敞 新疆 （）解：因),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1 (=PBAC . 5 10 | ,cos , 2,5| ,2| = = = PBAC PBAC PBAC PBACPBAC所以故 由此得 AC 与 PB 所成的角为. 5 10 arccos （）解：在 MC 上取一点 N（x，y，z） ，则存在,R使,MCNC= 2 1 , 1,1), 2 1 , 0 , 1 (),1 ,1 (=zyxMCzyxNC A B C D P M N x z y 要使. 5 4 , 0 2 1 0,=解得即只
18、需zxMCANMCAN 0), 5 2 , 1, 5 1 (), 5 2 , 1 , 5 1 (, . 0), 5 2 , 1 , 5 1 (, 5 4 = = MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 ANBMCBNMCANMCBNMCAN=所以得由.,0, 0为所求二面角的平面 角. 30304 |,|,. 555 ANBNAN BN= 2 cos(,). 3| | AN BN AN BN ANBN = 2 arccos(). 3 故所求的二面角为 19 （）)., 0()0 , 1(+ （）0,100, n Sqq 又因为且或 1 ,12,0,; 2 nnnn qqTS
19、TS 所以当或时即 1 20,0,; 2 nnnn qqTSTS当且时即 1 ,2,0,. 2 nnnn qqTSTS= =当或时即 20 （） 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002 的数学期望为: 75. 3002. 030041. 020287. 010670. 00=+=E 21本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力. 满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：设椭圆方程为 )0 ,(),0( 1 2 2 2 2 cFba b y a x =+ 则直线 AB 的方程为cxy=，代入1
20、2 2 2 2 =+ b y a x ，化简得 02)( 22222222 =+bacacxaxba. 令 A（ 11, y x） ，B 22, (yx） ，则 ., 2 22 2222 21 22 2 21 ba baca xx ba ca xx + = + =+ 由OBOAayyxxOBOA+=+=+),1, 3(),( 2121 与a共线，得 , 0)()( 3 2121 =+xxyy又cxycxy= 2211 ,， . 2 3 , 0)()2(3 212121 cxxxxcxx=+=+ 即 2 32 22 2 c ba ca = + ，所以 3 6 .3 2222 a bacba= ，
21、 故离心率. 3 6 = a c e （II）证明： （1）知 22 3ba =，所以椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 可化为.33 222 byx=+ 设),(yxOM =，由已知得),(),(),( 2211 yxyxyx+= += += . , 21 21 xxy xxx ),(yxM在椭圆上，.3)( 3)( 22 21 2 21 byyxx=+ 即.3)3(2)3()3( 2 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 byyxxyxyx=+ 由（1）知. 2 1 , 2 3 , 2 3 2222 21 cbca c xx=+ 22本小题考查数学归纳法及导数应用知识，
22、考查综合运用数学知识解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆 满 分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （）解：对函数( )f x求导数： 22 ( )( log)(1)log (1)fxxxxx=+ 22 11 loglog (1) ln2ln2 xx=+ 22 loglog (1)xx= 于是 1 ( )0 2 f =， 当 1 2 x 时， 22 ( )loglog (1)0fxxx=，( )f x在区间 1 (0, ) 2 是减函数， 当 1 2 x 时， 22 ( )loglog (1)0fxxx=，( )f x在区间 1 ( ,1) 2 是增函数， 所以 2 1 )(=xxf在时取得最小值，
23、1) 2 1 (=f， （II）用数学归纳法证明 奎屯 王新敞 新疆 ()当 n=1 时，由（）知命题成立 奎屯 王新敞 新疆 ()假设当 n=k 时命题成立 奎屯 王新敞 新疆 即若正数 123 2 , k p ppp满足 123 2 1 k pppp+=， 则 1212223232 22 loglogloglog kk ppppppppk+ 当 n=k+1 时，若正数 1 123 2 , k p ppp +满足1 123 2 1 k pppp + +=， 令 123 2k xpppp=+ 1 1 p q x =， 2 2 p q x =， 2 2 k k p q x = 奎屯 王新敞 新疆
24、 则 123 2 , k q q qq为正数，且 123 2 1 k qqqq+=， 由归纳假定知 1212223232 22 loglogloglog kk qqqqqqqqk+ 1212223232 22 loglogloglog kk pppppppp+ 12122232322 22 (logloglogloglog) kk x qqqqqqqqx=+ 2 ()logxkxx+ 奎屯 王新敞 新疆 同理，由 1 21222 1 kkk pppx + + += ，可得 11 222 2121222222 logloglog kkkkkk pppppp + + + 2 (1)()(1)log (1)xkxx+ 综合、两式 11 1212223232 22 loglogloglog kk pppppppp + + 22 ()log(1)()(1)log (1)xkxxxkxx+ 22 ()log(1)log (1)kxxxx= + 1(1)kk =+ 奎屯 王新敞 新疆 即当 n=k+1 时命题也成立 奎屯 王新敞 新疆 根据()、()可知对一切正整数 n 命题成立 奎屯 王新敞 新疆
