1、 2005 年高考年高考文文科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案 （河北河北 河南河南 安徽安徽 山西山西 海南海南） 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第卷 3 到 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑每小
2、题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 奎屯 王新敞 新疆如需改动，用橡皮 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号擦干净后，再选涂其它答案标号 奎屯 王新敞 新疆不能答在试题卷上 不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()(BPAPBAP+=+ 2 4 RS= 如果事件 A、B 相互独立，那
3、么 其中R表示球的半径 )()()(BPAPBAP= 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP =)1 ()( 一一、选择题选择题 （1）设直线l过点)0 , 2(，且与圆1 22 =+ yx相切，则l的斜率是 （A）1 （B） 2 1 （C） 3 3 （D）3 （2）设I为全集， 321 SSS、是I的三个非空子集，且ISSS= 321 ，则下面论断正 确的是 （A）=）（ 321 SSSCI （B） 123II SC SC S（） （C）=） 321 S
4、CSCSC III （D） 123II SC SC S（） （3）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （A）28 （B）8 （C）24 （D）4 （4）函数93)( 23 +=xaxxxf，已知)(xf在3=x时取得极值，则a= （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （5）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且BCFADE、 均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 （A） 3 2 （B） 3 3 （C） 3 4 （D） 2 3 （6）已知双曲线)0( 1 2 2 2 =ay a x 的一条准线为 2 3 =x，
5、则该双曲线的离心率为 （A） 2 3 （B） 2 3 （C） 2 6 （D） 3 32 （7）当 2 0 x时，函数 x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 + =的最小值为 （A）2 （B）32 （C）4 （D）34 （8）)21 ( 2 2 =xxxy反函数是 （A）) 11( 11 2 +=xxy （B）) 10( 11 2 +=xxy （C）) 11( 11 2 =xxy （D）) 10( 11 2 =xxy （9）设10 a，函数)22(log)( 2 = xx a aaxf，则使0)(xf的x的取值范围是 （A）)0 ,( （B）), 0( + （C）) 3log,
6、( a （D）), 3(log+ a （10）在坐标平面上，不等式组 + 13 1 xy xy 所表示的平面区域的面积为 （A）2 （B） 2 3 （C） 2 23 （D）2 （11）在ABC中，已知C BA sin 2 tan= + ，给出以下四个论断： 1cottan=BA 2sinsin0+BA 1cossin 22 =+BA CBA 222 sincoscos=+ 其中正确的是 A B CD EF （A） （B） （C） （D） （12）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA=，则点 O 是ABC的 （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平
7、分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 2答卷前将密封线内的项目填写清楚答卷前将密封线内的项目填写清楚 奎屯 王新敞 新疆 3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分 奎屯 王新敞 新疆 二二、本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13）若正整数 m 满足 mm 10210 5121 ，则 m = 奎屯 王新敞 新疆 )3010. 02(lg （14）
8、8 ) 1 ( x x的展开式中，常数项为 奎屯 王新敞 新疆（用数字作答） （15）从 6 名男生和 4 名女生中，选出 3 名代表，要求至少包含 1 名女生，则不同的选法共 有 种 奎屯 王新敞 新疆 （16）在正方形 DCBAABCD 中，过对角线 BD的一个平面交 AA于 E，交 CC于 F， 四边形EBFD 一定是平行四边形 四边形EBFD 有可能是正方形 四边形EBFD 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形EBFD 有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 奎屯 王新敞 新疆（写出所有正确结论的编号） 三三、解答解答题：题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 74 分
9、分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （17） （本大题满分 12 分） 设函数)(),0( )2sin()(xfyxxf=+=图像的一条对称轴是直线 8 =x 奎屯 王新敞 新疆 （）求； （）求函数)(xfy =的单调增区间； （）画出函数)(xfy =在区间, 0上的图像 奎屯 王新敞 新疆 -1 - 3 2 3 2 1 1 2 - 1 2 7 8 3 4 5 8 2 3 8 4 8 o y x （18） （本大题满分 12 分） 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，=PADAB,90底
10、面 ABCD，且 PA=AD=DC= 2 1 AB=1，M 是 PB 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （）证明：面 PAD面 PCD； （）求 AC 与 PB 所成的角； （）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 奎屯 王新敞 新疆 （19） （本大题满分 12 分） 已知二次函数)(xf的二次项系数为a，且不等式xxf2)(的解集为)3 , 1 ( 奎屯 王新敞 新疆 （）若方程06)(=+ axf有两个相等的根，求)(xf的解析式； （）若)(xf的最大值为正数，求a的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 A B C D P M （20） （本大题满分 12 分） 9 粒种子分种在甲、乙、丙
11、3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为5 . 0，若一个坑内 至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补 种 奎屯 王新敞 新疆 （）求甲坑不需要补种的概率； （）求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率； （）求有坑需要补种的概率 奎屯 王新敞 新疆 （精确到01. 0） （21） （本大题满分 12 分） 设正项等比数列 n a的首项 2 1 1 =a，前 n 项和为 n S，且0) 12(2 1020 10 30 10 =+SSS 奎屯 王新敞 新疆 （）求 n a的通项； （）求 n nS的前 n 项和 n T 奎屯 王新敞 新疆
12、（22） （本大题满分 14 分） 已知椭圆的中心为坐标原点 O， 焦点在x轴上， 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，OBOA+与(3, 1)a =共线 奎屯 王新敞 新疆 （）求椭圆的离心率； （）设 M 为椭圆上任意一点，且),( ROBOAOM+=，证明 22 +为定值 奎屯 王新敞 新疆 2005 年高考年高考文文科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案 （河北河北 河南河南 安徽安徽 山西山西 海南海南） 参考答案参考答案 一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分） 1C 2C 3B 4D 5A 6D 7C 8B 9C 1
13、0B 11B 12D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 13155 1470 15100 16 三、解答题 17本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （）)( 8 xfyx=是函数 的图像的对称轴，, 1) 8 2sin(=+ ., 24 Zkk+=+ . 4 3 , 0 = （）由（）知). 4 3 2sin(, 4 3 =xy因此 由题意得 ., 2 2 4 3 2 2 2Zkkxk+ 所以函数., 8 5 , 8 ) 4 3 2sin(Zkkkxy+= 的单调增区
14、间为 （）由知) 4 3 2sin( =xy x 0 8 8 3 8 5 8 7 y 2 2 1 0 1 0 2 2 故函数上图像是在区间, 0)(xfy = -1 -3 2 3 2 1 1 2 -1 2 7 8 3 4 5 8 2 3 8 4 8 o y x 18 本小题主要考查直线与平面垂直、 直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象 能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 方案一： （）证明：PA面 ABCD，CDAD， 由三垂线定理得：CDPD. 因而，CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD，PD 都垂直， CD面 PAD
15、. 又 CD面 PCD，面 PAD面 PCD. （）解：过点 B 作 BE/CA，且 BE=CA， 则PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE=2，又 AB=2， 所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA面 ABCD 得PEB=90 在 RtPEB 中 BE=2，PB=5， . 5 10 cos= PB BE PBE . 5 10 arccos所成的角为与PBAC （）解：作 ANCM，垂足为 N，连结 BN. 在 RtPAB 中，AM=MB，又 AC=CB， AMCBMC, BNCM，故ANB 为所求二面角的平面角 奎屯 王新敞 新疆 CBAC，由三
16、垂线定理，得 CBPC， 在 RtPCB 中，CM=MB，所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中，ANMC=AC AC CM 22 ) 2 (， 5 6 2 5 2 2 3 = =AN. AB=2， 3 2 2 cos 222 = + = BNAN ABBNAN ANB 故所求的二面角为). 3 2 arccos( 方法二：因为 PAPD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建 立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M（0，1，) 2 1 . （）证明：因., 0),0
17、, 1 , 0(),1 , 0 , 0(DCAPDCAPDCAP=所以故 又由题设知 ADDC， 且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线， 由此得 DC面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD 奎屯 王新敞 新疆 （）解：因),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1 (=PBAC E A B C D P M N . 5 10 | ,cos , 2,5| ,2| = = = PBAC PBAC PBAC PBACPBAC所以故 由此得 AC 与 PB 所成的角为. 5 10 arccos （）解：在 MC 上取一点 N（x，y，z） ，则存在,R使,MC
18、NC= 2 1 , 1,1), 2 1 , 0 , 1 (),1 ,1 (=zyxMCzyxNC 要使. 5 4 , 0 2 1 0,=解得即只需zxMCANMCAN 0), 5 2 , 1, 5 1 (), 5 2 , 1 , 5 1 (, . 0), 5 2 , 1 , 5 1 (, 5 4 = = MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 ANBMCBNMCANMCBNMCAN=所以得由.,0, 0为所求二面角的平面 角. 30304 |,|,. 555 ANBNAN BN= 2 cos(,). 3| | AN BN AN BN ANBN = 2 arccos(). 3
19、 故所求的二面角为 19本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （）).3 , 1 (02)(的解集为+ xxf因而且. 0),3)(1(2)(=+axxaxxf .3)42(2)3)(1()( 2 axaaxxxxaxf+= 由方程. 09)42(06)( 2 =+=+axaaxaxf得 因为方程有两个相等的根，所以094)42( 2 =+=aaa， 即 . 5 1 1. 0145 2 =aaaa或解得 由于 5 1 . 1, 0=aaa将舍去代入得)(xf的解析式 A B C D P M N x z y . 5
20、 3 5 6 5 1 )( 2 =xxxf （）由 a aa a a xaaxaaxxf 14 ) 21 (3)21 (2)( 2 22 + + =+= 及. 14 )(, 0 2 a aa xfa + 的最大值为可得 由 + , 0 , 0 14 2 a a aa 解得 . 03232+aa或 故当)(xf的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是).0 , 32()32,(+ 20 本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法， 考查运用概率 知识解决实际问题的能力. 满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （）解：因为甲坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为 8 1 )5 . 0
21、1 ( 3 =，所以甲坑不需要 补种的概率为 .875. 0 8 7 8 1 1= （）解：3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041. 0) 8 1 ( 8 7 21 3 =C （）解法一：因为 3 个坑都不需要补种的概率为 3 ) 8 7 (， 所以有坑需要补种的概率为 .330. 0) 8 7 (1 3 = 解法二：3 个坑中恰有 1 个坑需要补种的概率为,287. 0) 8 7 ( 8 1 21 3 =C 恰有 2 个坑需要补种的概率为 ,041. 0 8 7 ) 8 1 ( 22 3 =C 3 个坑都需要补种的概率为 .002. 0) 8 7 () 8 1 ( 033 3 =C
22、所以有坑需要补种的概率为 .330. 0002. 0041. 0287. 0=+ 21本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （）由 0) 12(2 1020 10 30 10 =+SSS 得 ,)(2 10202030 10 SSSS= 即,)(2 201211302221 10 aaaaaa+=+ 可得.)(2 201211201211 1010 aaaaaaq+=+ 因为0 n a，所以 , 12 1010 =q 解得 2 1 =q，因而 ., 2 , 1, 2 1 1 1 = nqaa n n n （）因为 n a是首项
23、2 1 1 =a、公比 2 1 =q的等比数列，故 . 2 , 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 n n n n n n nnSS= = 则数列 n nS的前 n 项和 ), 22 2 2 1 ()21 ( 2n n n nT+= ). 22 1 2 2 2 1 ()21 ( 2 1 2 132+ + += nn n nn n T 前两式相减，得 12 2 ) 2 1 2 1 2 1 ()21 ( 2 1 2 + += nn n n n T 1 2 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 4 ) 1( + + + = n n nnn 即 . 2 22 1 2 ) 1( 1 +
24、 + = nn n nnn T 22本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力. 满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：设椭圆方程为 )0 ,(),0( 1 2 2 2 2 cFba b y a x =+ 则直线 AB 的方程为cxy=，代入1 2 2 2 2 =+ b y a x ，化简得 02)( 22222222 =+bacacxaxba. 令 A（ 11, y x） ，B 22, (yx） ，则 ., 2 22 2222 21 22 2 21 ba baca xx ba ca xx + = + =+ 由OBOAayyx
25、xOBOA+=+=+),1, 3(),( 2121 与a共线，得 , 0)()( 3 2121 =+xxyy又cxycxy= 2211 ,， . 2 3 , 0)()2(3 212121 cxxxxcxx=+=+ 即 2 32 22 2 c ba ca = + ，所以 3 6 .3 2222 a bacba= ， 故离心率. 3 6 = a c e （II）证明： （1）知 22 3ba =，所以椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 可化为.33 222 byx=+ 设),(yxOM =，由已知得),(),(),( 2211 yxyxyx+= += += . , 21 21 xxy x
26、xx ),(yxM在椭圆上，.3)( 3)( 22 21 2 21 byyxx=+ 即.3)3(2)3()3( 2 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 byyxxyxyx=+ 由（1）知. 2 1 , 2 3 , 2 3 2222 21 cbca c xx=+ 2222 2 12 22 3 8 a ca b x xc ab = + 1 2121 212 33()()x xy yx xxc xc+=+ 2 1 212 43()3x xxx cc=+ 222 39 3 22 ccc=+=0 奎屯 王新敞 新疆 又 22 2 2 2 22 1 2 1 33,33byxbyx=+=+，代入得. 1 22 =+ 故 22 +为定值，定值为 1 奎屯 王新敞 新疆
