1、 2005 年高考年高考文文科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案 （黑龙江黑龙江 吉林吉林 广西广西 内蒙古内蒙古 新疆新疆） 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第卷 3 到 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
2、涂黑每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 奎屯 王新敞 新疆如需改动，用橡皮 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案擦干净后，再选涂其它答案标号标号 奎屯 王新敞 新疆不能答在试题卷上 不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一项 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符是符 合题目要求的合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()(BPAPBAP+=+ 2 4 RS= 如果事件 A、相互独立
3、，那么 其中R表示球的半径 )()()(BPAPBAP= 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( )(1) kKn k nn P kC PP = 一一、选择题选择题 （）函数( )sincosf xxx=+的最小正周期是 （A） 4 （B） 2 （C）（D）2 （）正方体 1111 ABCDABC D中，P、Q、R分别是AB、AD、 11 BC的中点那么， 正方体的过P、Q、R的截面图形是 （A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 （）函数 2 1(0)yxx=的反函数是
4、 （A）1()yxx=+ （B）1()yxx= + （C）1()yxx=+（D）1()yxx= + （）已知函数tanyx=在(,) 2 2 内是减函数，则 （A）（B）（C）（D） （）抛物线 2 4xy=上一点A的纵坐标为，则点A与抛物线焦点的距离为 （A） （B） （C） （D） （）双曲线 22 1 49 xy =的渐近线方程是 （A） 2 3 yx= （B） 4 9 yx= （C） 3 2 yx= （D） 9 4 yx= （）如果数列 n a是等差数列，则 （A） 1 a 8 a 4 a 5 a（B） 1 a 8 a 4 a 5 a （C） 1 a 8 a 4 a 5 a（D） 1
5、a 8 a 4 a 5 a （） 10 (2 )xy的展开式中 64 x y项的系数是 （A）840 （B）840 （C）210 （D）210 （）已知点( 3,1)A，(0,0)B，( 3,0)C设BAC的平分线AE与BC相交于E， 那么有BCCE=，其中等于 （A）（B） 1 2 （C）（D） 1 3 （10）已知集合47Mxx= ， 2 60Nx xx=，则MN为 （A）42xx 或37x（B）42xx 或37x （C）2x x 或3x （D）2x x 或3x （11）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(4, 3)v =（即点P的运动方向与v相同， 且每秒移动的距离为v个单位） 设开始
6、时点P的坐标为 （10， 10） ， 则秒后 点P 的坐标为 （A） （-2，4） （B） （-30，25） （C） （10，-5） （D） （5，-10） （12）ABC的顶点在平面内，A、C在的同一侧，AB、BC与所成的角分别是 30和45若AB，BC ，AC，则AC与所成的角为 （A）60（B）45（C）30（D）15 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1用钢用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上笔或圆珠笔直接答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 2答卷前将密封线内的项目填写清楚答卷前将密封线内的项目填写清楚 奎屯 王新敞 新疆 3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分 奎屯 王新敞 新疆
7、二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13） 在 8 3 和 27 2 之间插入三个数， 使这五个数成等比数列， 则插入的三个数的乘积为_ （14）圆心为(1,2)且与直线51270xy=相切的圆的方程为_ （15）在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数 共有_个 （16）下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面
8、是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中，真命题的编号是_ （写出所有真命题的编号） 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （17） （本小题满分 12 分） 已知为第二象限的角， 3 sin 5 =，为第一象限的角， 5 cos 13 =求tan(2)的 值 （18） （本小题满分 12 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.60
9、，本场比 赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束设各局比赛相互间没有影响 （）前三局比赛甲队领先的概率； （）本场比赛乙队以：取胜的概率 （精确到 0.001） （19） （本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等差数列， 1 lga、 2 lga、 4 lga成等差数列又 2 1 n n b a =， 1,2,3,n = （）证明 n b为等比数列； （）如果数列 n b前项的和等于 7 24 ，求数列 n a的首项 1 a和公差d （20） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 底面ABCD，ADPD=，E、 F分别为CD、PB
10、的中点 （）求证：EF 平面PAB； （）设2ABBC=，求AC与平面AEF所成的角的大 小 （21） （本小题满分 14 分） 设a为实数，函数 32 ( )f xxxxa= + （）求( )f x的极值； （）当a在什么范围内取值时，曲线( )yf x=与x轴仅有一个交点 （22） （本小题满分 12 分） P、Q、M、N四点都在椭圆 2 2 1 2 y x +=上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点 已知PF 与FQ共线，MF与FN共线，且0PF MF=求四边形PMQN的面积的最小值和最大 值 F E A B C D P 2005 年高考年高考文文科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案
11、（必修必修+选修选修） （黑龙江黑龙江 吉林吉林 广西广西 内蒙古内蒙古 新疆新疆） 参考答案参考答案 1-6: CDBBDC 7-12: BACACC 奎屯 王新敞 新疆 (2)分析： 本题主要考查学生对截面图形的空间想像， 以及用所学知识进行作图的能力， 通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选 D. 13. 216; 14. 22 (1)(2)4xy+=. 分析： 本题就是考查点到直线的距离公式， 所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线 5x12y7=0 的距离： 22 5 1 12 27 2 5( 12) r = + ，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容
12、易得到圆的 方程： 222 (1)(2)2xy+= 新疆 学案 王新敞 15. 192； 16. ， 奎屯 王新敞 新疆 分析：显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱 锥但不是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等， 根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等 奎屯 王新敞 新疆由于在底面所在 的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有 4 个：内心(本题的中心)1 个、旁心 3 个 奎屯 王新敞 新疆因此不能保证 三棱锥是正三棱锥 奎屯 王新敞 新疆 （17） （本小
13、题满分 12 分） 解： 为第二象限角, sin= 3 5 ，cos= - 4 5 , tan= - 3 4 , tan2= - 24 7 奎屯 王新敞 新疆 又 为第一象限角, cos= 5 13 , sin=12 13 , tan=12 5 奎屯 王新敞 新疆 tan(2)= 2412 tan2tan204 75 2412 1tan2tan253 1 75 = + 奎屯 王新敞 新疆 （18） （本小题满分 12 分） 解：前三局比赛甲队领先分为两种情况： 前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为 P1= 330 3(0.6) (0.4)C=0.216； 前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概
14、率为 P2= 221 3(0.6) (0.4)C=0.432 奎屯 王新敞 新疆 故前三局比赛甲队领先的概率为：P=P1+P2=0.648 奎屯 王新敞 新疆 本场比赛乙队以：取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中 获胜，其概率为 P= 222 4(0.6) (0.4)0.4C=0.138240.138 奎屯 王新敞 新疆 （19） （本小题满分 12 分） 证明：设an中首项为 a1，公差为 d. lga1,lga2,lga4成等差数列 2lga2=lga1 lga4 a22=a1 a4. 即(a1+d)2=a1(a1+3d) d=0 或 d=a1 奎屯 王新敞 新疆 当 d
15、=0 时, an=a1, bn= 1 2 11 n aa =, 1 1 n n b b + =， n b为等比数列； 当 d=a1时, an=na1 ,bn= 1 2 11 2 n n aa =， 1 1 2 n n b b + =， n b为等比数列 奎屯 王新敞 新疆 综上可知 n b为等比数列 奎屯 王新敞 新疆 当 d=0 时, bn= 1 2 11 n aa =, b1+b2+b3= 1 3 a = 7 24 a1= 72 7 ； 当 d=a1时, bn= 1 2 11 2 n n aa = b1+b2+b3= 1111 11177 248824aaaa += a1=3 奎屯 王新敞
16、 新疆 综上可知 1 72 7 0 a d = = 或 1 3 3 a d = = 奎屯 王新敞 新疆 （20） （本小题满分 12 分） 解法一：取 PA 中点 G, 连结 FG, DG 奎屯 王新敞 新疆 / / / / 1 2 1 2 BFFPFGAB FGDE CEEDDEAB DEFGEFDG = = = = = = 四边形为平行四边形 PDABCDPADABCD ABPAD ABAD 平面平面平面 平面 又 奎屯 王新敞 新疆 O G F E A B C D P / PABPAD PDAD AGPADGPAB EFPABPGGA AGPAD EFDG = = 平面平面 平面 平面
17、平面 奎屯 王新敞 新疆 设 AC, BD 交于 O，连结 FO. 1 2 PFBF FOPD FOABCDBOOD PDABCD = = = 平面 平面 奎屯 王新敞 新疆 设 BC=a, 则 AB=2a, PA=2a, DG= 2 2 a=EF, PB=2a, AF=a. 设 C 到平面 AEF 的距离为 h. VC-AEF=VF-ACE, 1111 3232 EF AF hCE AD FO=. 即 22 222 a a a ha a = 2 a h =. AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 /23 63 ha ACa = 奎屯 王新敞 新疆 即 AC 与平面 AEF 所成角为 3 a
18、rcsin 6 奎屯 王新敞 新疆 解法二：以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系， （1）证明： 设(),0,0E a，其中0a ，则()()()() 1 1 2 ,0,0 ,0,1,0 ,2 ,1,0 ,0,0,1 , 2 2 CaABaPF a ， ()() 1 1 0,2 ,1, 1 ,2 ,0,0 ,0, 2 2 EFPBaABaEF PBEFPB = ， 0,AB EFABEF= 奎屯 王新敞 新疆 又,PBPAB ABPAB PBABB=平面平面， EFPAB平面 奎屯 王新敞 新疆 （2）解：由2,ABBC=得 2 2 a =， 可得 ()() 2, 1
19、,0 ,2,1, 1ACPB= x F E A B C D P y z 3 cos, 6 AC PB AC PB ACPB = ， 则异面直线 AC，PB 所成的角为 3 arccos 6 ， 21 1 ,0, 22 2 AFAF PBAFPB = ， 又PBEF，AF 为平面 AEF 内两条相交直线， PBAEF平面， AC 与平面 AEF 所成的角为 33 arccosarcsin 266 = ， 即 AC 与平面 AEF 所成的角为 3 arcsin 6 奎屯 王新敞 新疆 （21） （本小题满分 14 分） 解：令 2 ( )3210fxxx= =得： 12 1 ,1 3 xx= =.
20、 又当 x(-, 1 3 )时, ( )fx0; 当 x( 1 3 ,1)时, ( )fx0 奎屯 王新敞 新疆 1 1 3 x = 与 2 1x =分别为( )f x的极大值与极小值点. ( )f x极大值= 15 () 327 fa=+; ( )f x极小值=1a 奎屯 王新敞 新疆 ( )f x在(-, 1 3 )上单调递增, 当x时,( )f x; 又( )f x在(1,+)单调递增， 当x+时, ( )f x+ 奎屯 王新敞 新疆 当( )f x极大值0 时，曲线( )f x与 x 轴仅有一个交点. 即 5 0 27 a+或1a0, a(-, 5 27 )(1,+) 奎屯 王新敞 新
21、疆 （22） （本小题满分 12 分） 解：0PF MFPFMF=. 即MNPQ. 当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时，另一条直线必垂直于 y 轴. 不妨设 MNy 轴，则 PQx 轴 奎屯 王新敞 新疆 F(0, 1) MN 的方程为：y=1，PQ 的方程为：x=0 分别代入椭圆 2 2 1 2 y x +=中得：|MN|=2, |PQ|=22. S四边形PMQN= 1 2 |MN| |PQ|= 1 2 2 22=2 奎屯 王新敞 新疆 当 MN,PQ 都不与坐标轴垂直时， 设 MN 的方程为 y=kx+1 (k0)， 代入椭圆 2 2 1 2 y x +=中得：(k2+2)x
22、2+2kx-1=0, x1+x2= 2 2 2 k k + , x1 x2= 2 1 2k + 奎屯 王新敞 新疆 2 2222 121 2 222 242 2(1) |(1)()4(1)() 222 kk MNkxxx xk kkk + =+=+= + 同理可得： 2 2 2 2(1) | 22 k PQ k + = + 奎屯 王新敞 新疆 S四边形PMQN= 1 2 |MN| |PQ|= 42 42 241 2 252 kk kk + + = 2 4222 116 2(1)2(1) 2522(1/) 59 k kkkk = + 奎屯 王新敞 新疆 (当且仅当 2 2 1 k k =即1k = 时，取等号). 又 S四边形PMQN = 2 42 2(1)2 252 k kk + ，此时16 9 S四边形PMQN2 奎屯 王新敞 新疆 综上可知：(S四边形PMQN )max=2, (S四边形PMQN )min= 16 9 奎屯 王新敞 新疆 N P Q F M o y x
