1、一、函数、几何综合型压轴题风光依然一、函数、几何综合型压轴题风光依然二、二、几何操作型压轴题备受青睐几何操作型压轴题备受青睐三、图表信息型压轴题占一席之地三、图表信息型压轴题占一席之地四、方案设计型压轴题初露锋芒四、方案设计型压轴题初露锋芒五、阅读探究型压轴题崭露头角五、阅读探究型压轴题崭露头角六、立体图形压轴题初露端倪六、立体图形压轴题初露端倪一、函数、几何综合型压轴题风光依然例例1.已知点已知点P是抛物线是抛物线的任意一点，记点的任意一点，记点 P 到到 X 轴的距离为轴的距离为d1 y?P 与点与点1x2F?1（0，2）的距离为）的距离为d 2（图（图1）（41）猜想）猜想d1、d 2的
2、大小关系，并证明；的大小关系，并证明；（2）若直线）若直线PF交此抛物线于另一点交此抛物线于另一点 Q（异于（异于P点）。点）。试判断以试判断以PQ为直径的圆与为直径的圆与x轴的位置关系，并。轴的位置关系，并。点点理由。理由。以以PQ 为直径的圆与为直径的圆与 y 轴的交点为轴的交点为A、B，OAOB=1，求直线，求直线PQ 对应的函数解析式。对应的函数解析式。yPQFOx图1yBMPFQAQOCPx图2二、几何操作型压轴题备受青睐例例2.已知已知ABC=90ABC=90.OM.OM 是是ABC的平分线，按以下要求解答问题：的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点）将三角板的直角
3、顶点 P在射线在射线OM上移动，两直上移动，两直角边分别与角边分别与OA、OB交于点交于点C、D。在图在图3 3（1 1）中，证明）中，证明 PC=PD;PC=PD;在图在图3 3（2 2）中，点）中，点G G是是CDCD与与OPOP的交点，且的交点，且求求PODPOD与与PDGPDG的面积比。的面积比。（2）将三角板的直角顶点）将三角板的直角顶点 P放在射线放在射线OM上移动，一直上移动，一直角边与边角边与边OB交于点交于点D，OD=1，另一直角边与直线，另一直角边与直线 OA、直线、直线OB分别交于点分别交于点C、E，使以，使以P、D、E为顶点的为顶点的三三形与形与OCD相似，在图相似，在
4、图3（3）中作出图形，试求）中作出图形，试求 OP的长。的长。APCO（1）DAMAPCOPMAMG（2）M图图3 3DAFHOO（3）MBPEGDBCEO图 4D BC例例3.如图如图 6,在矩形在矩形ABCD中，中，AB=3，AD=2，点，点E、F分别在分别在AB、CD上，上，AE=DF=2.现现把一块直径为把一块直径为2的量角器（圆心为的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其）放置在图形上，使其H0线线MN与与EF重合；若将量角器重合；若将量角器AD0线上的端点线上的端点N固定在点固定在点F上上,在在把量角器绕点把量角器绕点 F 顺时针方向旋转顺时针方向旋转(00；由勾股定理得，而,?1（
5、2 ）以以PQ为直径的圆与为直径的圆与x 轴相切（图轴相切（图2）。）。yBMPFQAOxCPQ图2设设PQ的中心为的中心为M,分别分别Q、M、P作作x 轴的垂线，轴的垂线，垂足分别为垂足分别为Q、C、P。易证易证MC 为梯形为梯形P Q QP的的中位线。中位线。111C?PP?QQ?PF?QF?PQM?222以以PQ为直径的圆与为直径的圆与x 轴相切。轴相切。设直线设直线PQ 对应的函数解析式为对应的函数解析式为 y=k x+b，因为点，因为点F（0，2）在）在PQ上，所以上，所以b=2,所以所以 y=k x+2.y=kx+2,联立联立12y?x?14消去消去 y 得：得：x 2-4kx-4
6、=0 (*)记点记点P（x0,y0）、）、Q（方程方程(*)的两个实数根，的两个实数根，x1,y1），则），则x0,x1是是.x?x?4k01M切切 x 轴于点轴于点C，与，与y 轴交于点轴交于点A、B，2 2 OC OC=OA OB=1,=OA OB=1,OC 0,OC=1,OC 0,OC=1,点点C C的坐标为的坐标为C C（1 1，0 0）或（）或（-1-1，0 0），又点），又点的中点，的中点，故当点故当点C坐标为（坐标为（1，0）时，）时，X 0-1=1 X1,X 0+X 1=2，即即4 k=2,k=;k=;1当点当点C C的坐标为（的坐标为（2-1-1，0 0）时，）时，X 0-（
7、-X 0+X 1=-2，C C是线段是线段PQPQ1）=（-1）X 1 1?即即4k=-2,k=;k=;21所求直线所求直线PQPQ对应的函数解析式为：对应的函数解析式为：y?x?221或或y?x?22此类题型是以直角坐标系为载体，融函数、方程、几此类题型是以直角坐标系为载体，融函数、方程、几何为一体的探究性试题，注重在初中数学主干知识的交汇何为一体的探究性试题，注重在初中数学主干知识的交汇点进行命题，背景知识丰富，综合性强，解决本题，还需点进行命题，背景知识丰富，综合性强，解决本题，还需拥有数形结合思想、方程思想、分类思想。拥有数形结合思想、方程思想、分类思想。二、几何操作型压轴题备受青睐所
8、谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。问题的一种题型。例例2.已知已知ABC=90ABC=90.OM.OM 是是ABC的平分线，按以下的平分线，按以下要求解答问题：要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点）将三角板的直角顶点 P在射线在射线OM上移动，两直角边上移动，两直角边分别与分别与OA、OB交于点交于点C、D。在图在图3 3（1 1）中，证明）中，证明 PC=PD;PC=PD;3PD在图在图3 3（2 2）中，点）中，点G
9、G是是CDCD与与OPOP的交点，且的交点，且PG?2求求PODPOD与与PDGPDG的面积比。的面积比。APCO（1）DMAPCOG（2）DMAMO（3）B（2）将三角板的直角顶点）将三角板的直角顶点 P放在射线放在射线OM上移动，一上移动，一直角边与边直角边与边OB交于点交于点D，OD=1，另一直角边与直线，另一直角边与直线OA、直线、直线OB分别交于点分别交于点C、E，使以，使以P、D、E为顶为顶点的三角形与点的三角形与OCD相似，在图相似，在图3（3）中作出图形，）中作出图形，试求试求OP的长。的长。略解（略解（1）略。）略。（2）只要用三角板绕点）只要用三角板绕点 P（P在在OM上是
10、动点）按逆时上是动点）按逆时针方向转动，并保持一条边始终与针方向转动，并保持一条边始终与 OB相交于相交于D，则会，则会发现另一边与发现另一边与OA或或OA的反向延长线相交，易见，的反向延长线相交，易见，OP的长需分两种情形去求解。的长需分两种情形去求解。当另一边与当另一边与OA相交时，如图相交时，如图4，PDE CDO,PDE CDO,又要使以又要使以P P、D D、E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与 OCDOCD相似，相似，APCEO图 4MAFHOPEG图 5MD BDBCOD=PED,COD=PED,CE=CDCE=CDCCO DE,OE=OD.CO DE,OE=OD.EPD=90
11、o,EPD=90o,1OP=OP=ED?OD?12当另一边与当另一边与OA的反向延长线相交时，如图的反向延长线相交时，如图 5，PED CDO,PED CDO,要使以要使以P P、D D、E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与 OCDOCD相似，相似，PDE=ODC,PDE=ODC,过点过点P P作作 PG OB,PH OA,PG OB,PH OA,垂足分别为垂足分别为G G、H H。设设OP=x OP=x，AOB=90AOB=90,OMOM为为AOBAOB的平分线，的平分线，PG=PH=OH=OG=.PG=PH=OH=OG=.X此时，易证此时，易证PCH PCH PDG,PDG,22CH=D
12、G=1-2CPD=90,2X,PC=PD.PDE =ODC =22.5,OCP=PDE=22.5,OPC=22.5,OC=OP=x,CH=OC+OH=X+,22X1-2X=x +,222XX=-21,OP=-21.综上所述，综上所述，OP=1,或或-1.2这道这道 题设计新颖，构思精巧，可谓独具匠心，通过题设计新颖，构思精巧，可谓独具匠心，通过对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展及应用的过程，有效地考查亲身经历知识的发生、发展及应用的过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在了学生发现问题
13、和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受到数学的美妙，领略了数探索和解决问题的过程中感受到数学的美妙，领略了数学的魅力。几何操作型压轴题备受青睐，如学的魅力。几何操作型压轴题备受青睐，如 04年江西省年江西省及大连市中考压轴题。及大连市中考压轴题。如图如图24，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB=3，AD=2，点，点E、F分分别在别在AB、CD上，上，AE=DF=2。现把一块直径为。现把一块直径为 2的量角的量角器（圆心为器（圆心为O）放置在图形上，使其）放置在图形上，使其 0线线MN与与EF重合；重合；若将量角器若将量角器0线上的端点线上的端点N固定在点固定在点F上，在把
14、量角器上，在把量角器绕点绕点F顺时针方向旋转顺时针方向旋转（090），此时量角器），此时量角器的半圆弧与的半圆弧与EF相交于点相交于点P，设点，设点P处量角器的读数为处量角器的读数为 n(1)(1)用含用含n n的代数式表示的代数式表示的大小的大小(2)(2)当当n n等于多少时，线段等于多少时，线段 PCPC与与MFMF平行？平行？（3 3）在量角器的旋转过程中，过点）在量角器的旋转过程中，过点MM作作GHMFGHMF，交交AEAE于点于点G G，交，交ADAD于点于点H H。设。设GE=xGE=x，AGHAGH的面积为的面积为S S，试，试求出求出S S关于关于x x的函数关系式，的函数关
15、系式，并写出自变量并写出自变量x x的取值范围。的取值范围。如图，如图，O1和和O2内切于点内切于点P，C是是O1上任一点（与点上任一点（与点P不重合）。实验操作：将直不重合）。实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点角三角形的直角顶点放在点 C上，一条直角边经过点上，一条直角边经过点 O1，AHDMGOEPOaF150301209060BC另一条直角边所在直线交另一条直角边所在直线交 O2于点于点A、B，直线，直线PA，PB分别交分别交O1 于点于点E、F，连结，连结CE（图（图15是实验操作备用是实验操作备用图）。图）。PO2O1PO2O1O1PO2探究：（探究：（1）你发现）你发现CE、C
16、F有什么关系？用有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现你学过的数学知识证明你的发现;（2）你发现线段）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比有怎样的比例关系？证明你的发现。例关系？证明你的发现。附加题附加题：如图：如图16，若将上述问题的，若将上述问题的 O1 和和O2由由内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段 CE、PE、BF有怎样的比例关系？并证明。有怎样的比例关系？并证明。三、图表信息型压轴题占一席之地三、图表信息型压轴题占一席之地所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以函数所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以函数图像或表格形式给出的一类数学问
17、题，其目的是考查学图像或表格形式给出的一类数学问题，其目的是考查学生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据的能力。这类题型充分体现了新课标的的能力。这类题型充分体现了新课标的“数学作为一种数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”的理念。的理念。例例3 如图如图6（1）所示，在矩形）所示，在矩形ABCD中，中，AB=10cm,BC=8cm.点点P从从A出发出发,沿沿ABC D路线运
18、动路线运动D停止停止.点点Q从从D出发出发,沿沿DCBA路线运动路线运动,到到A停止停止.若点若点P、点点Q同时出发同时出发,P的速度为每秒的速度为每秒1cm,点点Q的速度每秒的速度每秒2cm,a秒时秒时,点点P、点、点Q同时改变速度同时改变速度,点点P的速度变为每秒的速度变为每秒bcm,点点Q的速度变为每秒的速度变为每秒dcm.图图6(2)是点是点P出发出发x(S)后后APD的面积的面积S1(cm2)与与x(s)的函数关系图象的函数关系图象;图图6(3)是点是点Q出发出发x(s)后后AQD的面积的面积S2(cm2)与与x(s)的函数图象的函数图象.yy40DQ40C24APB0a8cx0 x
19、22(1)求求d的值；的值；(2)设点离开点的路程为设点离开点的路程为 y1(cm),点到点还需点到点还需走的路程为走的路程为y2(cm),请分别写出动点、改变速请分别写出动点、改变速度后度后y1、y2与出发后的运动时间与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式，的函数关系式，并求出、相遇是并求出、相遇是 x的值。的值。(3)当点出发秒时，点、点在运动当点出发秒时，点、点在运动线上相距的路程为线上相距的路程为25cm.2020/4/3（2）设正方形）设正方形ABCD被纸片盖被纸片盖AD住的面积（重合住的面积（重合部分只计一次）部分只计一次）为为S1，未被盖住，未被盖住的面积为的面积为S2。BC四
20、四.方案设计型压轴题初露锋芒方案设计型压轴题初露锋芒方案设计型题，是指根据问题提供的信息需要设计方案设计型题，是指根据问题提供的信息需要设计出各种上天堂同的方案，然后通过分析、计算、证明等，出各种上天堂同的方案，然后通过分析、计算、证明等，才能确定出最佳方案的一类数学问题。才能确定出最佳方案的一类数学问题。新课标总目标中就要求学生新课标总目标中就要求学生“初步学会运用数学思维初步学会运用数学思维方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其它学方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增强数学的应用意识科学习中的问题，增强数学的应用意识”方案设计型试题方案设计型试题充分
21、体现了这一新课标理念。如充分体现了这一新课标理念。如 2019年陕西省中考题。年陕西省中考题。李大爷有一个边长为李大爷有一个边长为 a的正方形鱼塘（图的正方形鱼塘（图4），鱼塘四），鱼塘四个角的顶点个角的顶点A，B，C，D上各有一棵大树，现在李大爷想上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的面积足够大），又不想把挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。的边沿上）。（1）图若按圆形设计，利用图）图若按圆形设计，利用图 4画出你所设计的图形，画出你所设计的图形，并
22、求出圆形鱼塘的面积；并求出圆形鱼塘的面积；（2）若按正方形设计，利用图）若按正方形设计，利用图 5画出你所设计的正方画出你所设计的正方形鱼塘示意图；形鱼塘示意图；（3）你在（）你在（2）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面积？为什么？积？为什么？（4）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？鱼塘的最大面积是多少？12?a。解：（解：（1）如图）如图4所示，圆形鱼塘的面积所示，圆形鱼塘的面积 S=2E（2）如图）如图5所示。所示。（3）有最大面积。）有最大面积。ADA如图如图5.BRtABE，HRtBF
23、C，FRtCDG，DCCB和和RtAHDG图5为四个全等为四个全等图4的三解形。的三解形。因此，只要因此，只要RtABE的面积最大，就有正方形的面积最大，就有正方形 EFGH的面积最大，而的面积最大，而RtABE的斜边的斜边AB=a定值，点定值，点E在以在以AB为直径的半圆上，当点为直径的半圆上，当点 E正好落在线段正好落在线段AB的中垂线上时，面积最大，的中垂线上时，面积最大，12其最大面积为其最大面积为a。从而得到正方形。从而得到正方形EFGH的最大面的最大面41222a积积4+a=2a412(4)由图由图4可知，所设计的圆形鱼塘面积为可知，所设计的圆形鱼塘面积为?a2a2。2所以，李大爷
24、新建鱼塘的最大面积为所以，李大爷新建鱼塘的最大面积为 2a2。它是一个正。它是一个正方形鱼塘。方形鱼塘。例例 5 问题：要将一块直径为问题：要将一块直径为 2cm的半圆形铁皮加工的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底和一个圆锥的底面。成一个圆柱的两个底和一个圆锥的底面。AOBABO图8操作：方案一：在图操作：方案一：在图 7中，设计一个使圆锥底面最大，半中，设计一个使圆锥底面最大，半圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；方案二：在图方案二：在图8中，设计一个使圆柱两个底面最大，中，设计一个使圆柱两个底面最大，O3O1AOO2B AO3O1DO2
25、BCO半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；探究：（探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径；）求方案一中圆锥底面的半径；（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；（3）设方案二中半圆圆心为）设方案二中半圆圆心为 O，圆柱两个底面的圆心，圆柱两个底面的圆心为为O1、O2，圆锥底面的圆心为，圆锥底面的圆心为 O3，试判断以，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。数学来源于生活，又服务于生活，能用数学的眼光数学来源于生
26、活，又服务于生活，能用数学的眼光认识世界，并用数学的知识和方法处理周围的问题，是我认识世界，并用数学的知识和方法处理周围的问题，是我们每一个人应具备的基本素养。们每一个人应具备的基本素养。五、阅读探究型压轴题崭露头角所谓阅读探究题，是指给出一文字或给出某个数学所谓阅读探究题，是指给出一文字或给出某个数学概念或命题或解题过程等，在阅读的基础上要求对其本质概念或命题或解题过程等，在阅读的基础上要求对其本质作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题。环境中运用新知识解决新问题。这类题型这类题型 充分体现了充分体现了“
27、学生是数学学习的主人，教学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者师是数学学习的组织者、引导者和合作者”这一新课程这一新课程理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收集信息、处理信息及自学能力。集信息、处理信息及自学能力。例例6.已知抛物线已知抛物线l：y=ax2+bx+c（其中（其中a,b,c都不都不等于等于0），它的顶点），它的顶点P的坐标是的坐标是（b4ac?b,2a4a2），与），与y轴的交点是轴的交点是M（0，c）.我我们称们称 M为顶点，对称轴是为顶点，对称轴是 y 轴且过点轴且过点P的抛物线为抛物线的抛物
28、线为抛物线L 的伴随抛物线，直线的伴随抛物线，直线 PM为为l的伴随直线。的伴随直线。（1）请直接写出抛物线）请直接写出抛物线 y=2x24x+1的伴随抛物线和的伴随抛物线和伴随直线的解析式。伴随直线的解析式。伴随抛物线的解析式是伴随抛物线的解析式是；伴随直线的解析式是伴随直线的解析式是。（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是Y=x23和和y=x3，则这条抛物线的解析式是，则这条抛物线的解析式是。2（3）求抛物线）求抛物线l：y=ax+bx+c（其中（其中a,b,c都不等于都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。的伴随抛物线和伴随直线的解析
29、式。（4）若抛物线）若抛物线l与与x轴交于点轴交于点A（x1，0），），B（x2，0）两点，）两点，x1x20,它的伴随抛物线与它的伴随抛物线与x轴交于轴交于C，D两点，且两点，且AB=CD，请求出，请求出a、b、c应满足的条件。应满足的条件。2略解（略解（1）y=2x+1,y=2x+1.（2）y=x22x3.（3）伴随抛物线的顶点是（伴随抛物线的顶点是（0，c），），设它设它的解析式为的解析式为y=m(x0)2+c(m0)。此抛物线过此抛物线过Pb4ac?b,（2a4a2），解得），解得m=a伴随抛物线的解析式是伴随抛物线的解析式是 y=ax2+c.设伴随直线的解析式是设伴随直线的解析式是
30、y=kx+c(k0),bP（）在此直线上，）在此直线上，k=,2b伴随直线的解析式是伴随直线的解析式是 y=x+c.2（4）抛物线抛物线l与与x轴由两个交点，轴由两个交点，1=b24ac0,b24ac.bx2x10,x1+x2=0,x1x20,ab0,ac0.b4ac?b,2a4a22对于伴随抛物线的解析式是对于伴随抛物线的解析式是+c，有有1=4 ac0。cc由由ax2+c=0，解得，解得x=C（，0），），aaD（cac，0），），CD=2 .a2y=axb?4 ac又又AB=x2 x1=,由由AB=CD，|a|得得2b2?4 ac|a|c=2 ，ab2=8ac.a,b,c应满足的条件为应
31、满足的条件为b2=8ac且且ab0或或b2=8ac且且bc0.例例7（2019年安徽省中考压轴题）年安徽省中考压轴题）如图，这些等腰三如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的接近程度称为接近程度称为“正度正度”。在研究。在研究“正度正度”时，时，应保证相似应保证相似三角形的三角形的“正度正度”相等。相等。设等腰三角形的底和腰分别为设等腰三角形的底和腰分别为 a、b，底角和顶角分，底角和顶角分别为别为，要求，要求“正度正度”的值是非负数的值是非负数.同学甲认为：可用式同学甲认为：可用式|a-b|来表示来表示“正度正度”，
32、|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近三角形的值越小，表示等腰三角形越接近三角形同学乙认为：可用式同学乙认为：可用式|-|来表示来表示“正度正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；探究：（）他们的方案哪个较为合理，为什么？探究：（）他们的方案哪个较为合理，为什么？（）对你认为不够合理的方案，请加以改（）对你认为不够合理的方案，请加以改正（给出式子即可）；正（给出式子即可）；（）请再给出一种衡量（）请再给出一种衡量“正度正度”的表达式。的表达式。六、立体图形压轴题初露端端俾六、立体图形压轴题初露端端俾所谓立体图形压轴题是指对一些基本的立体几
33、何体所谓立体图形压轴题是指对一些基本的立体几何体（如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）与其展开图（如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）与其展开图之间数与形之间关系的探究或在日常生活中的应用的探之间数与形之间关系的探究或在日常生活中的应用的探究。究。例例11.如图如图6，一个无盖的正方体盒子的棱长为，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10厘米厘米，顶点，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点 A处有一只处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）。昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）。（1）假设昆虫甲在顶点）假设昆虫甲在顶点 C1处静止不动，如图处静止不动，如图6，在盒，在盒子内部
34、我们先取棱子内部我们先取棱BB1的中点的中点E，再连结，再连结AE，EC1。昆虫。昆虫如果沿路径如果沿路径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图 7中画出另一中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路径爬行，同样可以在沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法）最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法）（2）如图）如图8，假设昆虫甲从顶点，假设昆虫甲从顶点 C1，以，以1厘米厘米/秒的速秒的速度在盒子的内部沿棱度在盒子的内部沿棱 C1C向
35、下爬行，同时昆虫乙从顶点向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A以以2厘米厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到 1秒）秒）略解（略解（1）路径为：）路径为：AE1C1，AE2C1，AE3C1，AE4C1中任一种。中任一种。（2）由（）由（1）可知，当昆虫甲从顶点）可知，当昆虫甲从顶点 C1沿棱沿棱C1C向顶点向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：行：D1D1C1C1A1DAB1A1DCB1EACBB可以看出，图可以
36、看出，图81与图与图82中的图径相等，图中的图径相等，图83与图与图84中的路径相等。中的路径相等。设昆虫甲从顶点设昆虫甲从顶点C1沿棱沿棱C1C向顶点向顶点C爬行的同时，昆虫爬行的同时，昆虫乙从顶点乙从顶点A按路径按路径AEF爬行捕捉到昆虫甲需爬行捕捉到昆虫甲需 x秒钟，秒钟，在在RtACF中，（中，（2x）2=(10 x)2+202,解得解得x=10设昆虫甲从顶点设昆虫甲从顶点C1沿棱沿棱A1C1C向顶点向顶点C爬行的同时，昆爬行的同时，昆虫从顶点虫从顶点A按路径按路径AE2F爬行捕捉到昆虫甲需爬行捕捉到昆虫甲需 y秒钟，秒钟，如图如图84在在RtABF中，中，(2y)2=(20y)2+1
37、02,解得解得y=8。A所以昆虫乙从顶点所以昆虫乙从顶点A爬行捕爬行捕捉到昆虫甲至少需捉到昆虫甲至少需8秒钟。秒钟。A1B1EAB2XC1XFBAA1D1E3E1DE2B1C1EBE4CD1E3D2XC1XFCD2yAC FyC1E4D1C1yFDBB1A2yE2CB例例12.图图822是由五个边长都是是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼的正方形纸片拼接而成的，过点接而成的，过点A1的直线分别与的直线分别与BC1、BE交于点交于点M、N，且图，且图822被直线被直线MN分成面积相等的上、下两部分。分成面积相等的上、下两部分。（1）求）求11的值的值;?NB的长；的长；（2）求）求MB、MBNB
38、（3）将图）将图822沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图823）后，求点）后，求点M、N间的距离。间的距离。ENCDABDACBFC2D2A1D1B1MC1D1A1C1MB1图 8-22这类试题的背景形象、生动、富有情趣、内涵丰富、这类试题的背景形象、生动、富有情趣、内涵丰富、立意新颖，把相似形、方程等数学知识与立体图形及其展立意新颖，把相似形、方程等数学知识与立体图形及其展开图、视图等有机地结合起来，体现了二维与三维的相互开图、视图等有机地结合起来，体现了二维与三维的相互转换与对应，融考查数学知识、基本技能及数学思想方法、转换与对应，融考查数学知识、基本技能及数学思想方法、空间想象能力及应用探究能力与一体。空间想象能力及应用探究能力与一体。
