1、线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式1教学目的掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克莱姆法则。莱姆法则。作业要求重点行列式按行（列）展开、矩阵概念行列式按行（列）展开、矩阵概念练习册练习册P5-8P5-8，习，习题题6-86-8，其中：交：其中：交：P5-6P5-6，习题习题6 6（1 1）-（4 4）难点行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开讲授方法讲练结合讲练结合讲授方法主线按照行列展开，不同行按照行列展开，不同行D D或或0 0；克莱姆法则解方程；克
2、莱姆法则解方程；本章总结求行列式是重点、矩阵及其分类、加法本章总结求行列式是重点、矩阵及其分类、加法与数乘。与数乘。内容概括按行展开可降阶递推，第按行展开可降阶递推，第i i行换值可算余子式之行换值可算余子式之和，克莱姆法则用于齐次非齐次的分类，矩阵的和，克莱姆法则用于齐次非齐次的分类，矩阵的定义有记法和特殊阵，运算有加减同型数乘全。定义有记法和特殊阵，运算有加减同型数乘全。班级：时间：年 月 日；星期 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式2第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念本次课学习：一、行列式
3、计算（续）；一、行列式计算（续）；二、克莱姆法则解线性方程组二、克莱姆法则解线性方程组三、矩阵的定义与基本运算三、矩阵的定义与基本运算下次课学习：一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；二、第二章第三节：逆矩阵二、第二章第三节：逆矩阵线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式3第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念复习行列式计算的分类：复习行列式计算的分类：1.1.行（列）和相等行列式行（列）和相等行列式方法：提公因子；方法：提公因子；2.2.爪形行列式爪形行列式方法：段一爪为零；方法：段一爪为零；3.3.行（列）递增行列式行（列）递增
4、行列式方法：逐行（列）相减多减少；方法：逐行（列）相减多减少；4.4.分块行列式分块行列式方法：类似二阶有零块；方法：类似二阶有零块；5.5.按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式方法：行中很少元素不为零；方法：行中很少元素不为零；6.6.递推行列式递推行列式方法：递推公式是关键；方法：递推公式是关键；7.7.范德蒙行列式范德蒙行列式方法：归纳证明；方法：归纳证明；8.8.利用展开式构造行列式利用展开式构造行列式方法：元素换值构造新行列式。方法：元素换值构造新行列式。展开式如下：展开式如下：线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式4第二讲第二讲 行列式的运算行列式的运算例例1：计算下列行
5、列式：计算下列行列式1111111000011000011000011 nD分析：按照第一列展开分析：按照第一列展开ininiiiiijnjijAaAaAaAaD 22111ni,2,1njnjjjjjijniijAaAaAaAaD 22111nj,2,1或一、行列式计算（续）一、行列式计算（续）1.递推行列式递推行列式线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式5第二讲第二讲 行列式的运算行列式的运算2111221 nnnnDDDD)(nnnD )()(211112211111000011000010000011000011111111100001100001100001111111 nnn
6、nnnDDD)()()(11 kkDD关键：关键：mDDmnn 又一个公式：又一个公式：线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式6解解按第一行展开，只有按第一行展开，只有a、b不为不为0，其余均为，其余均为0nD2例例2.计算dcdcdcbababaDn20000ddcdcbabaa0000111000000000121cdcdcbababn00012nD)1(2n12nD)1(2n线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式7 122 kkDbcadD 222 nDbcad 121 nnnDbcad 21Dbcadn dcbabcadn 1 nbcad 12 nDbcad 12 nadD
7、 121121 nncDbnD2第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 mnmnDbcadD 22线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式8 jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD 1112112222121111证证用数学归纳法证。当 n=2 时，21211xxD 12xx jijixx 12显然成立。现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，注意，是下标注意，是下标大的元素减下大的元素减下标小的元素标小的元素分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上乘幂相减，以得到相应的乘幂相减，以得到相应的02.
8、范德蒙行列式范德蒙行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式911211222212222121111 nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD对于,nD从第n行开始，后一行减去前一行的 倍，1x 1111 0 1222xxxn 1323xxxn 12xxxnnn 00 122xxx 133xxx 1xxxnn 12xx 13xx 1xxn 目的是使第目的是使第1 1列产生列产生0 0第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式10 11312xxxxxx
9、n 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx 11312xxxxxxn jijinxx 1证毕 22423xxxxxxn 1 nnxx2)(jinjixx第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式11例例3（1992.3）计算）计算_ 222cbacbabaaccb222222cbacbacbacbacbacbacbabaaccb 222111cbacbacba)（分析：首先，本行列式是个分析：首先，本行列式是个1、2行和相等行列式，其次，行和相等行列式，其次，本例很像范德蒙行列式。因此，设法把第一行变成1。
10、把第2行加到第一行，提取公因式，即为范德蒙行列式)()()(bcacabcba 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式12第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念3.构造行列式构造行列式元素换值构造新行列式元素换值构造新行列式 （1 1）余子式求行列式性质）余子式求行列式性质3 3：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于零，即02211 jninjijiAaAaAa ji 02211 njnijijiAaAaAa ji 或i ij j时和为时和为D D证：由行列式按照行列展
11、开定理，证：由行列式按照行列展开定理，ininiiiiAaAaAaD 2211nnnjnjininaaaaaaaa111111线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式13得得：。如如换换成成第第一一行行元元素素，而而代代数数余余子子式式没没有有改改变变行行元元素素代代换换成成其其它它数数，于于把把第第行行元元素素，这这样样，就就相相当当代代数数来来取取关关，因因此此，可可以以用用其其它它与与元元素素本本身身是是什什么么数数无无列列元元素素的的位位置置有有关关，行行式式只只与与代代数数余余子子式式，代代数数余余子子是是对对应应的的行行元元素素，是是第第其其中中，iijiAAAiaaainii
12、inii,2121第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念inniiAaAaAa1212111 nnnjnjnnaaaaaaaa11111111 0 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式14injnijijAaAaAa 2211nnnjnjjnjnaaaaaaaa111111 0 同理，用第同理，用第j行元素对应取代第行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两行元素，则由于行列式两行元素相等，得行元素相等，得0值。值。定理得证定理得证第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念由以上推理，我们可以用任意数取代第由以上推理，我们可以用任意数取代第i行
13、（列）元素，取行（列）元素，取代后，只改变原行列式第代后，只改变原行列式第i行值，而其它代数余子式和元素行值，而其它代数余子式和元素值不变，如，用值不变，如，用1，1，1取代第取代第i行值，得：行值，得：线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式15iniiAAA 21nnnjnjnaaaaaa1111111 由定理3及其推论还可以写成如下形式：;,jijiDDAaijjknkik当当当当01 ;,jijiDDAaijkjnkki当当当当01 .,jijiij当当当当01或行行元元素素的的值值。的的第第相相比比，只只改改变变了了与与，新新的的行行列列式式，即即求求行行元元素素的的数数值值来来
14、求求一一个个中中通通过过改改变变的的数数值值无无关关，我我们们可可以以的的位位置置有有关关，而而与与的的值值与与由由于于：观观察察余余子子式式的的这这一一法法则则新新新新iDDDAbAbAbDiDaaADAaAaAainiiijijijininiiii112111211 .第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式16例2 设3521110513132413D111213141):AAAA求分析：根据以上推理，该题相当于在分析：根据以上推理，该题相当于在D中把第一行元素变中把第一行元素变成成1，1，1，1即可。即可。解解11121
15、3141):AAAA1111110513132413第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式17431111110522021100rr31rr115222110 21125202100cc254.02第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式18例例3（2001.4）设行列式）设行列式2235007022220403D则第则第4行各元素余子式之和的值为行各元素余子式之和的值为_分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即分析：本题求得是余子式，可将其转换
16、为代数余子式求解，即4443424144434241AAAAMMMM 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 1111007022220403281112220431723 )(线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式19二、二、克莱姆法则解线性方程组克莱姆法则解线性方程组1.1.克莱姆法则克莱姆法则的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(8)若线性方程组若线性方程组教材中已注明，本教材中已注明
17、，本法则证明在第二章法则证明在第二章给出给出第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式20第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念则方程组（则方程组（8 8）有唯一解：）有唯一解：.,DDxDDxDDxnn 2211nnjnjnnnjjjaaaaaaaaD1111111111 ,nbb1其中其中.),(nj21 对于线性方程组（对于线性方程组（8）右端的常数项）右端的常数项nbbb,21方程组（方程组（8）叫做）叫做非齐次线性方程组非齐次线性方程组；不全为零时，不全为零时，2.2.线性方程组的分类线性方程组的
18、分类程程组组，即即：时时，方方程程组组称称为为齐齐次次方方全全为为当当021nbbb,线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式21 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(9)当当 全为零时，全为零时，nbbb,21即即称称（9）式为式为齐次线性方程组齐次线性方程组。3.3.克莱姆法则判定方程组的解克莱姆法则判定方程组的解对于非齐次线性方程组，即对于方程组（8），有如下结论 定理定理4：如果线性方程组（8）的系数行列式D不等于零，则该方程组有解，且解唯一 定理定理4：如果线性方程组（8）无解或有两个及以上不同的解，则它的系数行列式一
19、定为零第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式22021 nxxx一定是（9）式的解零解零解。定理定理5 5 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）的系数行列式）的系数行列式 D00，则（则（9）式有唯一零解式有唯一零解（即没有非零解）（即没有非零解）。定理定理55 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）有非零解有非零解，则它的系数，则它的系数行列式行列式必为零。必为零。概括克莱姆法则及其推论概括克莱姆法则及其推论1.非齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一解；若无解或多解，则系数行列式一定为零2.齐次线性
20、方程组：系数行列式不为零，有唯一零解；若有非零解，则系数行列式一定为零。对于齐次线性方程组（对于齐次线性方程组（9）而言，显然：）而言，显然：根据克莱姆法则，可以推出根据克莱姆法则，可以推出第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式236137251169443212321321321)()()()DCBAxxxxxxxxxx（的值必为的值必为的解中，未知数的解中，未知数三元一次方程组三元一次方程组 ,)()()(DDxD2212132321914312111 根据克莱姆法则，根据克莱姆法则，。分析分析;系数行列式是范德蒙行列式，
21、系数行列式是范德蒙行列式，例例8（2003.2）243232491643421112 )()(其中其中D)(,Dx所所以以，应应选选故故612 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式24例例9:问取何值时，齐次线性方程组 0-4 2 0 62 02 2 5zxyxzyx有非零解？解解（10）由定理5知，要使（10）有非零解，必须其系数行列式D0。402062225D 6444465 825.0 得 、或 。2 5 8 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式25
22、三、矩阵的概念与运算三、矩阵的概念与运算1.1.矩阵定义矩阵定义 由由mn个数个数 排成排成的的 njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 m 行行 n 列矩阵，列矩阵，简称简称 mn 矩阵矩阵.记作njmiaij,2,1;,2,1称为矩阵 A 的元素元素，简称元元，ija数 位于矩 阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的（i,j)元元.以数 为（i,j)元ija的矩阵可简记作ija或 .nmijamn 矩阵 A 也记作 .nmA mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 Am行行n列数表列数表:第三讲第三讲 行列
23、式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式261）行数与列数都等于）行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A 称为称为 n 阶矩阵阶矩阵 或或 n 阶方阵阶方阵.矩阵矩阵 A 也记作也记作 .nAn 阶阶2）行矩阵）行矩阵行向量行向量3）列矩阵）列矩阵列向量列向量4）同型矩阵）同型矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵.且 njmibaijij,;,2121 那么就称矩阵那么就称矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 相等相等.如果如果 与与 是同型矩阵，是同型矩阵，ija ijbAB naaa,21AB nbbb212.几个特殊矩阵几个特
24、殊矩阵第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式276）单位矩阵）单位矩阵简记作简记作 E.单位矩阵单位矩阵 E 的（的（i,j)元元为：为：.,jijiij当当当当017）对角矩阵）对角矩阵,n00000021也记作也记作 .,ndiag21,100010001nE5）零矩阵）零矩阵元素都是零的矩阵，元素都是零的矩阵，记作记作 O.注：注：不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式283.3.矩阵的基本运算矩阵的基本运
25、算（1）矩阵的加法）矩阵的加法定义定义2 2矩阵矩阵A 与与 B 的的和记作和记作 A+B，规定为规定为BA只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是mn 矩阵):注注:(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 与与 ，ija ijbAB第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一
26、章 行列式行列式29记记显然有显然有 A+(A)=O由此规定由此规定矩阵的减法矩阵的减法为为AB=A+(B)（2）数与矩阵相乘）数与矩阵相乘定义定义3 3 规定为规定为 AA A设矩阵设矩阵 ，ijaA mnmmnnaaaaaaaaa212222111211ija数数 与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作 或或 ,AA -A称为矩阵称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵，数乘矩阵满足下列运算规律数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是mn 矩阵,、为常数)(i)(ii)AA AAA (iii)BABA 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式
27、30 （3）矩阵与矩阵相乘）矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换:111 1122133221 1222233(1)ya xa xa xya xa xa x111 112 2221 122 2331 132 2(2)xb tb txb tb txb tb t求出从 到 的线性变换.12,t t12,y y111 1112211331111 12122213322221 1122212331121 12222223322()()()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt1）乘法的历史）乘法的历史第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的
28、概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式31 AB311321121111bababa312321221121bababa321322121211bababa322322221221bababa22,232221131211aaaaaaA23111221223132bbbbbbB322）乘法的定义与运算规律）乘法的定义与运算规律,ijcC定义定义4 4 其中其中ijc njmi,21 ;21 并把此乘积记作：并把此乘积记作：ABC 设设 是一个是一个 ms 矩阵矩阵,ijaA是一个是一个sn 矩阵矩阵,ijbB那么规定那么规定矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积是一个的乘积是一个mn
29、 矩阵矩阵 skkjikba1sjisjijibababa 2211矩阵形式如下：矩阵形式如下：第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式32 snsjsinijinjmsmmisiisbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA111111212111211,mnmjminijinjcccccccccC111111则则：skkkssskkkssbabababacbabababac121212212121112111112112111111 skkjiksjisjijiijbabababac12211第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的
30、概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式33如:121211,nnnnbba aab 112211 nnbababa是一个数.niiiba1121211,nnnnbba aabnn nababab12111nababab22212 nnnnababab21注意：只有当注意：只有当左矩阵的列数左矩阵的列数等于等于右右 矩阵的行数矩阵的行数时，时，两个矩阵才可以相乘两个矩阵才可以相乘(与顺序有关与顺序有关).第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式34的值的值求求列式为列式为元线性方程组的系数行元线性
31、方程组的系数行数一）设一数一）设一（补充例题补充例题AaaaaaaaaaAnnn,2121212120812222列展开，有：列展开，有：解：将行列式按照第一解：将行列式按照第一1222221212222212121200112121212122 nnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD)(第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式35第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念2212 nnDaaD从而：从而：推得：推得：由由),(,2122112212 nnnnnnnnnaDDaDaaDaDDDaaDD
32、)(211 kkkkaDDaaDD递推公式：递推公式：)()()()()()()(122122232232211aDDaaDDaaDDaaDDaaaDDaaDDnnnnnnnnnnnnnn nnnnaaaaaaaaaaaaa 22222222242212)()(）其中：其中：）（11mnmnmnnnaDDaaDD (线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式36nnnnnnnnnnananaaaanDaanDa)()()()(121111111 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 nnnnnnnnaDaaaaDaaaDD222121)(由此推出：由此推出：nmnm
33、nmaDaD 又一个递推公式：又一个递推公式：线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式37第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念_ aaaaaaaaaD110001100011000110001计算：计算：答案提示：acbacbacba类类似似三三对对角角线线行行列列式式主要用递推法，注意到本题除首末两行外其余行元素和相等且等于0，故将其加到第1列，得到：线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式38第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 110011001000111001100110011100110001100010000115)(543252221323314344154511111aaaaaDaaDaaDDaaDDaaDD 代入得：代入得：把把把这三个等式相加，并把这三个等式相加，并那么那么即：即：)(,)(,)(
