1、歐亞書局微積分精華版第九版凹性與二階導數檢定法4.3歐亞書局歐亞書局歐亞書局4.3 凹性與二階導數檢定法凹性與二階導數檢定法學習目標 判斷函數圖形為凹向上或凹向下的區間。求函數圖形的反曲點。利用二階導數檢定法求函數的相對極值。求投入產出模型的報酬遞減點。P.4-19第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局凹性凹性 找出函數 f 為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出 f 遞增或遞減的區間也有助於判別 f 的圖形是凹向上或凹向下。凹向上或凹向下的性質可定義成函數圖形的凹性凹性(concavity)。P.4-19第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局凹性凹性 在
2、圖 4.20 中，凹性的圖形解釋如下。1.曲線高於其切線是凹向上。2.曲線低於其切線是凹向下。P.4-19 圖圖4.20第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局凹性凹性 若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下的函數二階導數法。P.4-19第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1判斷凹性判斷凹性a.函數f(x)x2 原函數原函數的圖形在整個實數線皆為凹向上，因為其二階導數 f(x)2 二階導數二階導數對於所有 x 皆為正值(見圖 4.21)。P.4-20第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1判斷凹性判斷凹
3、性P.4-20 圖圖4.21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局b.函數原函數原函數的圖形對 x 0 為凹向下，因為其二階導數二階導數二階導數對於所有 x 0 皆為負值(見圖 4.22)。範例範例 1判斷凹性判斷凹性()f xx3/21()4fxx P.4-20第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1判斷凹性判斷凹性P.4-20 圖圖4.22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 求二階導數並討論圖形的凹性。a.f(x)2x2 b.f(x)檢查站檢查站 12 xP.4-20第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局
4、凹性凹性 以下的方法可求連續函數在開區間之凹性 不連續函數 f 的檢定區間，應由不連續點與使 f(x)0或 f(x)不存在的點所形成。P.4-20第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 求函數 之圖形為凹向上或凹向下的開區間。範例範例 2判斷凹性判斷凹性26()3f xxP.4-21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 首先求 f 的二階導數。範例範例 2判斷凹性判斷凹性（解解）21 22 22()6(3)()(6)(2)(3)12 (3)f xxfxx xxx 改寫原函數連鎖律2222422232 23(3)(12)(12)(2)(2)(3)()(3)1
5、2(3)(48)(3)36(1)(3)xxx xfxxxxxxx 化簡商律化簡化簡P.4-21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2判斷凹性判斷凹性（解解）由上式可知 f(x)對於所有實數都存在，而且在 x 1 時，f(x)0。因此，f 的凹性可由區間來檢定，(,1)、(1,1)和(1,)檢定區間檢定區間結果如下表所示，其圖形畫在圖 4.23。P.4-21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2判斷凹性判斷凹性（解解）P.4-21 圖圖4.23第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 在範例 2 中，雖然
6、 f 在區間(1,)為遞減，但 f(x)在該區間為遞增。請注意，f(x)的遞增減性並不一定與 f(x)的遞增減性一致。P.4-21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局代數技巧代數技巧 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。P.4-21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 求函數 圖形為凹向上或凹向下的區間。檢查站檢查站 2212()4f xxP.4-21第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局反曲點反曲點 如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反曲點反曲點(point of inflection)。圖 4.2
7、4 則是三個反曲點的例子(注意，第三個圖的反曲點處有垂直切線)。P.4-22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局反曲點反曲點P.4-22 圖圖4.24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 如圖 4.24 所示，圖形跨過在反曲點的切線。P.4-22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局反曲點反曲點 因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上 f(x)的正負性也要跟著變化。所以，只需先找出 f(x)0 或 f(x)不存在的 x 值，即可找出可能的反曲點。此步驟與用 f 的臨界數來找 f 的相對極值之步驟是類似的。P.4-
8、22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求反曲點求反曲點 討論 f(x)2x3 1 的凹性，並求其反曲點。P.4-22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求反曲點求反曲點（解解）二次微分後可得 f(x)2x3 1 寫出原式寫出原式 f(x)6x2 一階導數一階導數 f(x)6x2 二階導數二階導數令 f”(x)0 可知，唯一可能的反曲點僅會發生在 x 0。檢定區間(,0)和(0,)後，就可判斷出圖形在(,0)為凹向下，(0,)為凹向上。由於在 x 0 時凹性的正負號也發生改變，所以 f 的圖形在(0,1)有一個反曲點，如圖 4.2
9、5 所示。P.4-22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求反曲點求反曲點（解解）P.4-22 圖圖4.25第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 3 討論函數 f(x)x3 的凹性並求其反曲點。P.4-22第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求反曲點求反曲點 討論函數 f(x)x4 x3 3x2 1 圖形的凹性並求反曲點。P.4-23第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求反曲點求反曲點（解解）首先計算 f 的二階導數。f(x)x4 x3 3x2 1 寫出原函數寫出原函
10、數 f(x)4x3 3x2 6x 找出一階導數找出一階導數 f(x)12x2 6x 6 找出二階導數找出二階導數 6(2x 1)(x 1)因式分解因式分解P.4-23第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 因此，可能的反曲點在 x 和 x 1。在檢驗區間(,1)、(1,)和(,)之後可知，圖形在(,1)為凹向上，在(1,)為凹向下，而在(,)為凹向上。圖形的凹性在 x 1 與 x 發生變化，所以 x 1 與 x 為反曲點，如圖 4.26 所示。而反曲點為範例範例 4求反曲點求反曲點（解解）1212P.4-23第四章導數的應用第四章導數的應用121212121217(1,2),
11、2 16 與歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求反曲點求反曲點（解解）P.4-23 圖圖4.26第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 4 討論函數 f(x)x4 2x3 1圖形的凹性，並求反曲點。P.4-23第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局反曲點反曲點 另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖 4.27中，函數 f(x)x3 與 g(x)x4 的二階導數在 x 0 皆為零，但是 x 0 只有在 f 為反曲點。所以在判斷 f(x)0 之處是否為反曲點時，必須先確定圖形在該點的凹性會有變化。P.4-23第四章導數的應用第四章導數的應
12、用歐亞書局歐亞書局歐亞書局反曲點反曲點P.4-23 圖圖4.27第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局二階導數檢定法二階導數檢定法 二階導數可用來檢定函數 f 的相對極值：如果 f(c)0 且圖形在 x c 為凹向上，則 f(c)為 f 的相對極小值；如果 f(c)0 且圖形在 x c 為凹向下，則 f(c)為 f 的相對極大值(見圖 4.28)。P.4-23第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局二階導數檢定法二階導數檢定法P.4-23 圖圖4.28第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局二階導數檢定法二階導數檢定法P.4-24第四章導數的應
13、用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5使用二階導數檢定法使用二階導數檢定法 求 f(x)3x5 5x3 的相對極值。P.4-24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5使用二階導數檢定法使用二階導數檢定法（解解）首先計算 f 的一階導數。f(x)15x4 15x2 15x2(1 x2)即 x 0、x 1 和 x 1 為 f 的臨界數，且二階導數為 f(x)60 x3 30 x30 x(12x2)P.4-24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5使用二階導數檢定法使用二階導數檢定法（解解）使用二階導數檢定法可得但由一階導數
14、檢定法可知點(0,0)不為相對極小值也不為相對極大值，它其實是反曲點(f的圖形見圖 4.29)。P.4-24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5使用二階導數檢定法使用二階導數檢定法（解解）P.4-24 圖圖4.29第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 5 求 f(x)x4 4x3 1 的所有相對極值。P.4-24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局延伸應用：報酬遞減延伸應用：報酬遞減 在經濟學上，凹性的概念是與報酬遞減報酬遞減(diminishing returns)有關。考慮函數其中 x 為投入(美元)，y
15、為產出(美元)。P.4-24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局延伸應用：報酬遞減延伸應用：報酬遞減 注意，在圖 4.30 中的函數圖形在區間(a,c)為凹向上，在區間(c,b)為凹向下，亦即在區間(a,c)，再投資一美元會比之前投資的一美元得到更高的報酬；反之，在區間(c,b)，再投資一美元卻會比之前投資的一美元得到更低的報酬；點(c,f(c)稱為報酬遞減點報酬遞減點(point of diminishing returns)，超過此點的增額投資常被視為不智的資金調度。P.4-24第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局延伸應用：報酬遞減延伸應用：報酬遞減
16、P.4-24 圖圖4.30第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 某公司發現增加某產品的廣告費用 x(千美元)可以增加的銷售量 y(千美元)，其模型為求此產品的報酬遞減點。範例範例 6求報酬遞減點求報酬遞減點3216400,04010yxxx P.4-25第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 首先計算一階與二階導數。令二階導數為零可得唯一的解 x 20。檢驗區間(0,20)與(20,40)後可知，圖形在 x 20 有報酬遞減點，如圖 4.31 所示。所以，當廣告費用為$20,000 時，此產品便達到了報酬遞減點。範例範例 6求報酬遞減點求報酬遞減點（解解）
17、2312 10312 5xyxxyx 一階導數二階導數P.4-25第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6求報酬遞減點求報酬遞減點（解解）P.4-25 圖圖4.31第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 6231(450),030020,000Rxxx 求下列模型的報酬遞減點，其中 R 為收入(千美元)，x 為廣告費用(千美元)：P.4-25第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局總結（總結（4.3節）節）1.寫出凹性檢定法，參考範例 1 和 2。2.寫出反曲點的定義，參考範例 3 和 4。3.寫出二階導數檢定法，參考範例 5。4.描述如何在現實生活的實例應用二階導數檢定法，來求得產品的報酬遞減點（參考範例 6）。P.4-25第四章導數的應用第四章導數的應用
