1、*3 3 垂垂 径径 定定 理理A AB BC C D DO Oh hr rd d是是它有无数条对称轴它有无数条对称轴.2.2.它的对称轴是什么它的对称轴是什么?圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线3.3.你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？1.1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？O1.1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧 .连接圆上任意两点的线段叫做弦连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径经过圆心的弦叫做直径.弧
2、、弦、直径弧、弦、直径圆的相关概念圆的相关概念如：优弧如：优弧ADB ADB 记作记作ADBABODC如：弦如：弦ABAB直径是弦，但弦不一定是直径；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧半圆既不是劣弧，也不是优弧.注意：注意：如：弧如：弧AB AB 记作记作AB1.1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理其逆定理.3.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其拓展思维，与实践相结合，运用垂径
3、定理及其逆定理进行有关的计算和证明逆定理进行有关的计算和证明.如图，如图，ABAB是是OO的一条弦，做直径的一条弦，做直径CDCD，使，使CDABCDAB，垂足为，垂足为E E（1 1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？把圆沿着直径把圆沿着直径CDCD折叠时，折叠时，CDCD两侧的两个半圆两侧的两个半圆重合，点重合，点A A与点与点B B重合，重合，AEAE与与BEBE重合，重合，、分别与分别与 、重合。重合。连接连接OA,OB,OA,OB,则
4、则OA=OB.OA=OB.在在RtRtOAEOAE和和RtRtOBEOBE中中,OA=OBOA=OB，OE=OEOE=OE，RtRtOAERtOAERtOBE.OBE.AE=BE.AE=BE.点点A A和点和点B B关于关于CDCD对称对称.OO关于直径关于直径CDCD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CDCD对折时对折时,点点A A与点与点B B重合重合,理理 由：由：ACBC,ADBD.和和重重合合和和重重合合ACBC,ADBD.符号语言：符号语言：图形语言：图形语言：文字语言：文字语言：下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?垂径定理的几个基本图
5、形：垂径定理的几个基本图形：EDCOABOBCADDOBCAOBAC注意注意：垂径可以是：垂径可以是直径直径、半径半径或或过圆心过圆心的直线或线段的直线或线段ODCBAM例例1.1.如图，在如图，在O O中，中，CDCD是直径，是直径，ABAB是弦，且是弦，且CDABCDAB，已，已知知CD=20CD=20，CM=4CM=4，求，求AB.AB.【例题例题】ODCBAM解：解：连接连接OAOA，在在O O中，直径中，直径CDABCDAB，AB=2AM AB=2AM，OMAOMA是直角三角形是直角三角形.CD=20 CD=20，AO=CO=10.AO=CO=10.OM=OC OM=OC CM=10
6、 CM=10 4=6.4=6.在在RtRt OMAOMA中，中，AO=10AO=10，OM=6OM=6，根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：AB=2AM=2 AB=2AM=2 8=16.8=16.222AMOMAO861022222OMAOAM例例2.2.如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CDCD与大圆的与大圆的弦弦ABAB在同一条直线上在同一条直线上.你认为你认为ACAC与与BDBD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？解解:作作OGABOGAB，AG=BG,CG=DGAG=BG,CG=DG，AC=BD.AC=BD.例例3.3.如图如图,
7、一条公路的转弯处是一条公路的转弯处是 一段圆弧一段圆弧(即图中即图中 ,点点O O是是 所在圆的圆心所在圆的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E是是 上一点上一点,且且OECD,OECD,垂足为垂足为F,EF=90m,F,EF=90m,求这段弯路的半径求这段弯路的半径.CEFDOCDCDCD解解:连接连接OC.OC.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.A AB BO OC C
8、D D解：如图，用ABAB表示主桥拱，设ABAB所在圆的圆心为O O，半径为R R m m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA.根据垂径定理，则D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，AD=BD=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.在RtOADOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,R2=18.52+（R-7.23）2,解得R R27.3.27.3.即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.27.3m.弦a a，弦心距d d（圆心到弦的距离），弓形高h，半径r r之间有以下关系：弓形中重要数量关
9、系弓形中重要数量关系2222ard d+h=r d+h=r A AB BC C D DO Oh hr rd d如图如图a a、b,b,一弓形弦长为一弓形弦长为 cmcm，弓形所在的圆的半，弓形所在的圆的半径为径为7cm7cm，则弓形的高为则弓形的高为_.64 DCBOADOAB图a图b变式变式2cm或12cm 半径为的圆中，有两条半径为的圆中，有两条平行弦平行弦AB 和和CD，并且，并且AB=,CD=，求，求AB和和CD间的距离间的距离.DABC O(2)ABDC(1)O思考问题一定要全面，注意数学中思考问题一定要全面，注意数学中分类讨论分类讨论的思想的思想变式变式EF.EF如图，如图，AB(
10、AB(非直径非直径)是是O O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CDCD，使，使AE=BE.AE=BE.（1 1）CDCDABAB吗？为什么？吗？为什么？（2 2）AC与BC相等吗？相等吗？AD与BD相等吗？为什么？相等吗？为什么？AD=BD.AD=BD.（2 2）由垂径定理可得）由垂径定理可得AC=BCAC=BC，AD=BD.AD=BD.（1 1）连接）连接AO,BO,AO,BO,则则AO=BO,AO=BO,又又AE=BEAE=BECDCDAB.AB.u垂径定理垂径定理的推论的推论CD是直径是直径AE=BECDAB,CDAB,AC=BC,AC=BC,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能
11、，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的任意两条直径都是互相平分的.拓展总结：拓展总结：CD是直径是直径其实垂径定理可以进一步地推广，其实垂径定理可以进一步地推广，以上五个条件中，以上五个条件中，只要其中任意两个成立，只要其中任意两个成立，就可以得到另外三个结论就可以得到另外三个结论这就是所谓的这就是所谓的“知二推三知二推三”AC=BC AC=BC AD=BD.AD=BD.AE=BE(AB不是直径）不是直径）CDAB CDABCBADE平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直
12、线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线一定经过圆心弦的垂直平分线一定经过圆心垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两
13、 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形1.1.（上海（上海中考）如图，中考）如图，ABAB，ACAC都是圆都是圆O O的弦，的弦，OMABOMAB，ONACONAC，垂足分别为，垂足分别为M M，N N，如果，如果MNMN3 3，那么，那么BCBC_._.【解析解析】由垂径定理得由垂径定理得AN=CNAN=CN，AM=BMAM=BM，所以，所以BC=2MN=6.BC=2MN=6.62.2.（芜湖（芜湖中考）如图所示，在中考）如图所示，在O O内有折线内有折线OABCOABC，其中，其中OAOA8 8，ABAB1212，A AB B6060
14、，则，则BCBC的长为（的长为（）A A19 B19 B16 C16 C18 D18 D2020D3 3（烟台（烟台中考）如图，中考）如图，ABCABC内接于内接于O O，D D为线段为线段ABAB的的中点，延长中点，延长ODOD交交O O于点于点E E，连接，连接AEAE，BEBE，则下列五个结论，则下列五个结论ABDE,ABDE,AE=BE,AE=BE,OD=DE,OD=DE,AEO=C,AEO=C,正确结论的个数是（正确结论的个数是（）A.2A.2个个 B.3B.3个个 C.4C.4个个 D.5D.5个个B4.4.（湖州（湖州中考）如图，已知中考）如图，已知O O的直径的直径ABAB弦弦
15、CDCD于点于点E E，下列结论中一定正确的是（下列结论中一定正确的是（）A AAEAEOE BOE BCECEDEDEC COEOE CE DCE DAOCAOC6060B B5.5.（襄阳（襄阳中考）如图，中考）如图，ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OCABOCAB于于D D点，点，且且ABAB6cm6cm，ODOD4cm4cm，则，则DCDC的长为（的长为（）A A5cm B5cm B2 25cm C5cm C2cm D2cm D1cm1cmD D 6.6.（襄阳（襄阳中考）已知中考）已知O O的半径为的半径为13cm13cm，弦，弦ABCDABCD，AB=24cmAB=24cm，CD=10cmCD=10cm，则，则ABAB，CDCD之间的距离为（之间的距离为（）A A17cm B17cm B7 cm7 cmC C12 cm D12 cm D17 cm17 cm或或7 cm7 cm?M?O?B?O?B?A?D?C?A?D?C?N?N?M图图(1)(1)图图(2)(2)D D
