1、1第一章第一章 质点的运动质点的运动21-1 质点和参考系质点和参考系1-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1-3 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系1-4 牛顿运动定律牛顿运动定律1-5 力学中常见的力力学中常见的力1-6 伽利略相对性原理伽利略相对性原理 第一章第一章 质点的运动质点的运动3力学中的一些基本概念力学中的一些基本概念 力学力学的研究对象是的研究对象是物体机械运动的规律及其应物体机械运动的规律及其应用，用，是研究物理学其它部分的基础。是研究物理学其它部分的基础。力学内容分为运动学、动力学和静力学三部分力学内容分为运动学、动力学和静力学三部分。运动学：运动学：在研
2、究物体位置变动时，不涉及引起在研究物体位置变动时，不涉及引起运动变化的原因。运动变化的原因。动力学：动力学：研究物体之间的相互作用时，对物体研究物体之间的相互作用时，对物体运动的影响。运动的影响。静力学：静力学：研究一个静止不动或以等速度移动之研究一个静止不动或以等速度移动之系统。系统。4 机械运动机械运动(mechanical motion)指物体的位置随时指物体的位置随时间改变，或一个物体内部某部分相对其它部分的位间改变，或一个物体内部某部分相对其它部分的位置随时间变化的过程，是最简单又最基本的运动。置随时间变化的过程，是最简单又最基本的运动。经典力学（牛顿力学）经典力学（牛顿力学）的研究
3、对象是大量原子组的研究对象是大量原子组成的宏观客体，被研究的物体的速度不能与光速相成的宏观客体，被研究的物体的速度不能与光速相比拟（比拟（VC）。）。（1）物体之间的相对位置的变更；）物体之间的相对位置的变更；（2）物体各组成部分之间相对位置的变更。）物体各组成部分之间相对位置的变更。5 1-1 质点和参考系质点和参考系 一、质点一、质点(mass point)质点质点：没有体积和形状：没有体积和形状,只具有一定质量的理想只具有一定质量的理想物体。物体。注意：注意：（1）质点是）质点是一种理想的力学模型，任何物体都有一种理想的力学模型，任何物体都有一定的形状和大小。一定的形状和大小。（2）质点
4、是）质点是一种物理上的抽象，是为了讨论问一种物理上的抽象，是为了讨论问题的方便而引入的。题的方便而引入的。6（3）对于同一物体，由于研究问题的不同，有时对于同一物体，由于研究问题的不同，有时可以看作质点，有时则不能。可以看作质点，有时则不能。如果不能看作一个质点，可把物体看作由多个质如果不能看作一个质点，可把物体看作由多个质点组成，每个质点都运用质点运动的结论，叠加起点组成，每个质点都运用质点运动的结论，叠加起来得到该物体的运动情况。来得到该物体的运动情况。注意：注意：当两物体之间的距离（当两物体之间的距离（l）大于大于物体）大于大于物体自身线度（自身线度（r）时，物体可以视为一个质点；否则）
5、时，物体可以视为一个质点；否则就不能视为一个质点。就不能视为一个质点。由于所有物体都可以视为质点或质点的集合体，由于所有物体都可以视为质点或质点的集合体，因此因此质点力学是整个力学的基础。质点力学是整个力学的基础。7 质点是没有大小和形状、但具有宏观物体质量质点是没有大小和形状、但具有宏观物体质量的理想模型，是对实际物体的抽象，并不是真实的理想模型，是对实际物体的抽象，并不是真实的存在；的存在；注意：不要把质点与微观粒子混同起来注意：不要把质点与微观粒子混同起来 微观粒子，如原子、质子和中子等都具有一定微观粒子，如原子、质子和中子等都具有一定的大小，但质量微小。也正是因为微观粒子的质量的大小，
6、但质量微小。也正是因为微观粒子的质量微小，因而在一般情况下却遵从量子力学规律。微小，因而在一般情况下却遵从量子力学规律。8二、参考系二、参考系(reference system)1.运动绝对性：运动绝对性：物体都在运动没有绝对静止的。物体都在运动没有绝对静止的。3.为了描述物体的机械运动，必须选择另一个物为了描述物体的机械运动，必须选择另一个物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体系称为体系称为参考系参考系。只有选择了参考系，才能明确地。只有选择了参考系，才能明确地表示被研究物体的运动情形。表示被研究物体的运动情形。4.参考系原则上可任意选择
7、。选择使问题的处理参考系原则上可任意选择。选择使问题的处理尽量简化的参考系。尽量简化的参考系。同一运动，选择不同参考系，同一运动，选择不同参考系，对运动的描述不同的对运动的描述不同的。2.一个物体的位置及其变更一个物体的位置及其变更,总是相对于其它物总是相对于其它物体而言的体而言的,否则没有意义否则没有意义,机械运动的相对性机械运动的相对性。9三三.坐标系坐标系(coordinate system)坐标系是指固定在参考系上的数学坐标，它坐标系是指固定在参考系上的数学坐标，它的作用是把运动物体在每一时刻相对于参考系的的作用是把运动物体在每一时刻相对于参考系的位置位置定量定量地表示出来。地表示出来
8、。在建立坐标系的问题上应注意以下几点。在建立坐标系的问题上应注意以下几点。(1)首先应注意不要把坐标系与参考系混淆了。首先应注意不要把坐标系与参考系混淆了。参考系是指为描述物体运动而选作参考标准的物体或物参考系是指为描述物体运动而选作参考标准的物体或物体群，利用它来判断物体是否在运动和如何运动。但是，体群，利用它来判断物体是否在运动和如何运动。但是，只有参考系还不能把物体运动时的确切位置表示出来。只有参考系还不能把物体运动时的确切位置表示出来。在描述物体运动的问题中，坐标系必须依附于参考系。在描述物体运动的问题中，坐标系必须依附于参考系。在研究物体运动时，若选取不同的参考系，所得的运动规在研究
9、物体运动时，若选取不同的参考系，所得的运动规律的数学表达式和结果一般是不同的。律的数学表达式和结果一般是不同的。10 在同一个参考系上建立不同的坐标系，对同一物体的运动在同一个参考系上建立不同的坐标系，对同一物体的运动规律和结果不会产生多大变化，只会影响计算的繁简。规律和结果不会产生多大变化，只会影响计算的繁简。(2)坐标系的建立，可以帮助我们分析和解决问题。坐标系的建立，可以帮助我们分析和解决问题。(3)在物理学中，坐标系的建立还有更加广泛的意义。在物理学中，坐标系的建立还有更加广泛的意义。物理学中的方程式在很多情况下都是矢量方程物理学中的方程式在很多情况下都是矢量方程,而矢量方而矢量方程的
10、求解程的求解,特别是矢量的积分特别是矢量的积分,必须先化为分量式才可以进行。必须先化为分量式才可以进行。要将矢量式化为标量式，必须建立坐标系。要将矢量式化为标量式，必须建立坐标系。求解质点运动方程的问题，而质点一般是受多个力作用的。求解质点运动方程的问题，而质点一般是受多个力作用的。力的正负，对于质点的运动是至关重要的，是在列方程时必须力的正负，对于质点的运动是至关重要的，是在列方程时必须明确的。当建立了坐标系后，把这些力投影到坐标轴上来，与明确的。当建立了坐标系后，把这些力投影到坐标轴上来，与坐标轴同方向的为正，与坐标轴反方向的为负，运动方程很容坐标轴同方向的为正，与坐标轴反方向的为负，运动
11、方程很容易地就列出来了。易地就列出来了。111、直角坐标系、直角坐标系 (rectangular coordinate)通常采用的直角坐标系通常采用的直角坐标系属属右旋系右旋系,当右手四指由当右手四指由x轴轴方向转向方向转向y轴方向时轴方向时,伸直的伸直的拇指则指向拇指则指向z轴的正方向。轴的正方向。在参考系上取一固定点作为坐标原点在参考系上取一固定点作为坐标原点O,过点过点O画画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴三条相互垂直的带有刻度的坐标轴,即即x轴、轴、y轴和轴和z轴轴,就构成了就构成了直角坐标系直角坐标系 O-xyz。xyzOP(x,y,z)r共有三个单位矢量：共有三个单位矢量：,ijk1
12、2*2、平面极坐标系、平面极坐标系(planar polar coordinates)取参考系上一固定点取参考系上一固定点O作为极点作为极点,过极点所作过极点所作的一条固定射线的一条固定射线OA称为称为极轴极轴。用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。质点处于点质点处于点P,连线连线OP 称为称为点点P的的极径极径,用用 表示；自表示；自OA到到OP转过的角转过的角 称为点称为点P的的极角极角。点点P位置可用位置可用(,)来表示来表示,这两这两个量就称为点个量就称为点P的的极坐标极坐标。A ),(OP()t是极径方向的单位矢量是极径方向的单位矢量,长
13、度为长度为1,沿沿 增大的方向。增大的方向。是沿极角增大方向的单位矢量是沿极角增大方向的单位矢量133、自然坐标系、自然坐标系(natural coordinates)沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。一个是指向质点运动方向的一个是指向质点运动方向的切向单位矢量切向单位矢量,用用 表示表示,另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向法向单位矢量单位矢量,用用n表示。表示。法线法线切线切线运动质点运动质点n自然坐标系自然坐标系由运动曲线上任由运动曲线上任一点的法线和切一点的法线和切线组成线组成14一、时间和时刻一、时间和时刻(tim
14、e and moment)某一瞬时称为时刻（某一瞬时称为时刻（t），质点运动时，与质点某一位置质点运动时，与质点某一位置对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。秒（秒（s）:铯铯133原子基态的两个超细能级之间的电子跃原子基态的两个超细能级之间的电子跃迁所对应的辐射的迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。个周期的持续时间。在坐标系中考察质点的运动时在坐标系中考察质点的运动时,质点位置与时刻相对应质点位置与时刻相对应,质质点运动所经过的路程与时间相对应。点运动所经过的路程与时间相对应。1-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 P2P
15、1 t 时间（时间（t）表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物理）表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物理量，国际单位制（量，国际单位制（SI）中七个基本物理量之一。）中七个基本物理量之一。时间具有单方向性，是标量，在时间坐时间具有单方向性，是标量，在时间坐标上是线段，单位是标上是线段，单位是s(秒秒)。t1t215 二、位置矢量二、位置矢量(position vector)位矢包含两方面信息：质点位矢包含两方面信息：质点P相相对参考系固定点对参考系固定点O的方位；质点的方位；质点P相对参考系固定点相对参考系固定点O的距离大小。的距离大小。OP 用黑体字母或带箭头的字母表用黑体字母或带箭头的字
16、母表示矢量。示矢量。r 质点质点P在任意时刻的位置在任意时刻的位置,可用从原点可用从原点O到质点到质点P所引的有向线段所引的有向线段OP 来表示，或用矢量来表示，或用矢量 来代表，来代表，这个矢量这个矢量 就称为质点就称为质点P的位置矢量的位置矢量,简称位矢。简称位矢。rr位置矢量是位置矢量是描述质点在空间位置的物理量描述质点在空间位置的物理量。1.定义定义16可用方向余弦来表示位置矢量方向。可用方向余弦来表示位置矢量方向。cos,cos,cosxryrzrcoscoscos2221222zyxrr位矢大小位矢大小其中其中 、和、和 分别是分别是x、y和和z方向的单位矢量。方向的单位矢量。ij
17、kkzj yi xr在直角坐标系中在直角坐标系中 xzOP(x,y,z)r 17 随时随时间变化间变化 质点在运动质点在运动,位置在变化位置在变化,位置位置矢量必定随时间改变。矢量必定随时间改变。该式称为质点运动的该式称为质点运动的轨道参量方程轨道参量方程，即质点的运动学方程即质点的运动学方程)(trr位置矢量是时间的函数：位置矢量是时间的函数：2.运动方程运动方程)()()(tzztyytxx 写成分量形式写成分量形式:运动轨迹方程运动轨迹方程18三、位移三、位移(displacement)和路程和路程(distance,path)1.位移：描述质点位置的变化的物理量位移：描述质点位置的变化
18、的物理量。21rrr 质点从点质点从点P1到点到点P2 所完成的位移所完成的位移等于点等于点P2的位置矢量与点的位置矢量与点P1的位置的位置矢量矢量 之差。之差。位移位移是矢量，既表示质点位置是矢量，既表示质点位置变更的大小变更的大小(点点P1与点与点P2之间的距之间的距离离)，又表示这种变更的方向，又表示这种变更的方向(点点P2相对于点相对于点P1 的方位的方位)。19位移在直角坐标系中的表达式：位移在直角坐标系中的表达式：21rrr因为因为222111()()xi y j zkxi yj zk212121()()()xx iyy jzz kxiyjzk20 2.路程路程 s 是一定时间内物
19、体所经过路线的总长度。是一定时间内物体所经过路线的总长度。t 时间内经过的路程是曲线时间内经过的路程是曲线P1P2的长度，是标量。的长度，是标量。注意：注意：质点的位移和路程的区别和联系质点的位移和路程的区别和联系stt00limlimr（1）位移是矢量，路程是标量；）位移是矢量，路程是标量；（2）一般位移矢量的模）一般位移矢量的模不等于路程。不等于路程。（3）对于任何运动形式来说，对于任何运动形式来说，无限的缩短，则无限的缩短，则：t21米（米（m）:氪氪-86原子的原子的2p10和和5d5能级之间的跃迁所能级之间的跃迁所对应的辐射在真空中的对应的辐射在真空中的1650763.73个波长的长
20、度。个波长的长度。位移和路程单位相同位移和路程单位相同,在国际单位制中为在国际单位制中为m(米米)。22四、速度四、速度(velocity)和速率和速率(speed)1.平均速度与平均速率平均速度与平均速率:质点的平均速度质点的平均速度 rvt 平均速度是矢量，大小决定于位移的模与时间平均速度是矢量，大小决定于位移的模与时间间隔间隔的比值；方向与位移矢量方向相同。的比值；方向与位移矢量方向相同。平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取时间间隔时间间隔的大小。的大小。当使用平均速度来表征质点运动当使用平均速度来表征质点运动时，总要指明相应的时间间隔时，
21、总要指明相应的时间间隔。大致描述运动质点在某段时间内的平均快慢情况大致描述运动质点在某段时间内的平均快慢情况23 平均速率平均速率是标量是标量,等于单位时间内所通过的路程。等于单位时间内所通过的路程。vst平均速率平均速率 平均速率和平均速度的区别：平均速率和平均速度的区别：1.标量与矢量；标量与矢量；2.数值上不一定相等数值上不一定相等,曲线运动时曲线运动时 sr。沿闭合曲线运行一周沿闭合曲线运行一周,则质点的平均速度则质点的平均速度等于零等于零,而相应的平均速率却不等于零。而相应的平均速率却不等于零。平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关系相似平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关系相
22、似。242.瞬时速度和瞬时速率瞬时速度和瞬时速率 描述运动质点在某一时刻（某一位置）的描述运动质点在某一时刻（某一位置）的快慢情况快慢情况 如果如果 t0，平均速度的极限就表示质点某一时，平均速度的极限就表示质点某一时刻的真实速度，此极限即质点运动的刻的真实速度，此极限即质点运动的瞬时速度。瞬时速度。瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。所说的物体运动速度所说的物体运动速度,通常指它的瞬时速度。通常指它的瞬时速度。tttddlim0rrv25直角坐标系：直角坐标系：0ddddlimddddtxyzxyztttttvvv rrvijkijkvxtvytv
23、txydd,dd,ddzz222zyxvvvvv该时刻质点所在处沿运动轨迹的切线并指该时刻质点所在处沿运动轨迹的切线并指向质点前进的方向。向质点前进的方向。方向方向：26瞬时速率瞬时速率为为 t 0时平均速率的极限时平均速率的极限,简称速率。简称速率。tstsvtddlim0 t0时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。速率等于速度的模速率等于速度的模,等于速度的大小等于速度的大小,总是正值。总是正值。vtrtsvddddtrt|lim0 速度和速率的单位为速度和速率的单位为m s 1 (米米/秒秒)。stt00limlimr27ttttvrrrr000
24、d)(drr上式称为上式称为位移公式位移公式。如果已知质点运动速度与时间。如果已知质点运动速度与时间的函数关系的函数关系,代入上式积分可算得位移。代入上式积分可算得位移。质点在从质点在从t0到到t 时间内完成的位移时间内完成的位移,可通过对可通过对上式在此时间内的积分得到，即上式在此时间内的积分得到，即ttvrd)(d可得位移的微分形式可得位移的微分形式 根据速度的定义式根据速度的定义式trtrvtddlim028五、加速度五、加速度(acceleration)加速度是描述速度变化快慢的物理量。加速度是描述速度变化快慢的物理量。OLBABrBrAvBvAvBvv 在在 t 时间内时间内,速度的
25、增量为速度的增量为 可用平行四边形法则或三角形法则求得。可用平行四边形法则或三角形法则求得。ABvvvv 是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。29根据加速度的定义（根据加速度的定义（描述速度变化快慢的物理量描述速度变化快慢的物理量）vat平均加速度平均加速度若若 ，则：，则：0t 220ddddlimtrtvtvat瞬时加速度瞬时加速度 加速度等于速度对时间的微商加速度等于速度对时间的微商,或等于位置或等于位置矢量对时间的二阶微商。矢量对时间的二阶微商。30加速度的方向与加速度的方向与 t 趋于零时趋于零时 的极限方向一致。的极限方向一致。v曲线运动
26、时，加速度曲线运动时，加速度a总是指向轨迹曲线凹的一边总是指向轨迹曲线凹的一边。直线运动中，直线运动中，a与与v的方向在同一直线上，但有同的方向在同一直线上，但有同向与反向两种情况向与反向两种情况。31加速度的单位是加速度的单位是m s 2(米米/秒秒2)。加速度大小加速度大小tvtvaadddd32ktjtyitxktvjtvitvazyx22222ddddddddddddzk+aj+aiazyx加速度在直角坐标系中的表达式加速度在直角坐标系中的表达式222zyxaaaaa加速度大小加速度大小atxtavtytavttxxyydd,222222vddddddddddzzz33讨论：讨论：（1
27、）当）当 时，质点作匀速直线运动；时，质点作匀速直线运动；0a(2)当当 时，质点作匀变速直线运动或时，质点作匀变速直线运动或二维抛体运动；二维抛体运动；ac(4)当当 的大小和方向都改变时，质点一的大小和方向都改变时，质点一般作曲线运动。般作曲线运动。a(3)当当 的大小改变的大小改变,方向和速度平行时，方向和速度平行时，质点作变速直线运动。质点作变速直线运动。a34根据加速度的定义式根据加速度的定义式 可得可得ttavd)(d若求在若求在t0到到t 时间内速度的变化时间内速度的变化,可对上式积分：可对上式积分：ttttavv0)d(0ttttavv00)d(速度公式速度公式ttttttta
28、vrr0000d d)(位矢的一般表达式位矢的一般表达式代入位移公式代入位移公式ttttvrrrr000d)(drr35思考题思考题:1.什么是质点，什么情况可以视物体为质点；2.位移和路程有何区别；3.在曲线运动中 与 是否不同；4.和 有何区别。rrd rdtdrdt3604.oodrrdrdrdrrrdtdtdtdt答：213.rrr答：2121rrrrr 371-3 质点运动的几种形式质点运动的几种形式 一、一、匀速直线运动匀速直线运动匀速直线运动的特点：匀速直线运动的特点：0,avc如取运动方向为如取运动方向为x轴，则：轴，则：;rxi;rxi vcixXot=0Xt0oxtxood
29、 rd xvcd td td xc d td xc d txxc txxc t或积分积分轨迹方程轨迹方程38二二、匀变速直线运动、匀变速直线运动1.一般情况：质点以恒定的加速度，沿直线运动一般情况：质点以恒定的加速度，沿直线运动;rxi;rxi ;xdxvv iidtaci设设t=0时，时，v=vo,x=xodvacdvadtdt oov vatvat v积分：或odxvatvdto则：dx=(at+v)dt212ooxxatv t该方程为质点匀变速直线运动方程该方程为质点匀变速直线运动方程39)(20202xxavvxxxoov vv vatta由：得 代入212ooxxatv t2.自由落
30、体运动自由落体运动取地面为坐标原点，向上为取地面为坐标原点，向上为y轴的正方向，则轴的正方向，则a=-g设设t=0时，时，y=yo,vo=vyo 则：则：oyyvvgt212ooyyyv tgt02202()yyvvg yyy40运动的独立性与叠加性运动的独立性与叠加性运动的独立性运动的独立性：如果一个质点同时参与几个：如果一个质点同时参与几个分运动，其中任何一个运动都不受到其他运分运动，其中任何一个运动都不受到其他运动的影响，就好像只有自己存在一样。动的影响，就好像只有自己存在一样。运动的叠加性运动的叠加性：质点的一般运动可以看做由：质点的一般运动可以看做由几个相互独立的运动的合成，且合成的
31、物理几个相互独立的运动的合成，且合成的物理量满足平行四边形法则。量满足平行四边形法则。41三三、抛体运动、抛体运动 抛体运动具有两个特点抛体运动具有两个特点:(1)运动平面是竖直平运动平面是竖直平面，恒与地面垂直，（面，恒与地面垂直，（2）不计空气阻力时，加速）不计空气阻力时，加速度就是重力加速度。度就是重力加速度。42 假设物体以初速度假设物体以初速度v0沿与水平方向成角沿与水平方向成角 方向被方向被抛出抛出,求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。所能到达的最大高度。0 抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向的匀速直线
32、运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀变速直线运动相叠加。变速直线运动相叠加。0 xy0vO 首先必须首先必须建立坐标系建立坐标系,取抛射点为坐标原点取抛射点为坐标原点O,x 轴水平向右轴水平向右,y 轴竖直向上轴竖直向上,如图。如图。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。430 xy0vO由（由（1）、（）、（2）得：）得：yxgvx()(cos)tan000222抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 00000,cos,(cos)xxavvxvt00200,sin,1(sin)2yyagvvgtyvtgt(1)(2)讨论：讨论：令令y=0，得，得()(c
33、os)tan0002220 xgvx44()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin10 x 解得：解得：（射程）（射程）物体的飞行时间物体的飞行时间Txvvg200002cossin抛射角抛射角 0=/4时时,最大射程最大射程gvx20max0 xy0vO00cos00(cos)xvxvtt将将x2代入上式，得代入上式，得45 实际运动轨道是弹道曲线，射实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。程和最大高度都比上述值要小。最大高度最大高度:Hvg02202sin当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时,必有必有0yvtvg100sin物体达最大高度的时间物体
34、达最大高度的时间0 xy0vO将上式代入将上式代入2001(sin)2yvtgt46四四.曲线运动曲线运动 一般的运动都是曲线运动，即质点沿空间任意一条曲线运一般的运动都是曲线运动，即质点沿空间任意一条曲线运动。动。1.曲线的曲率和曲率半径曲线的曲率和曲率半径 在曲线运动中，速度的大小和方向都在不断地变化。速度在曲线运动中，速度的大小和方向都在不断地变化。速度方向的变化与轨道的形状有关。这是因为速度的方向是曲线方向的变化与轨道的形状有关。这是因为速度的方向是曲线的切线方向。在曲线弯曲厉害的地方，速度方向变化大；曲的切线方向。在曲线弯曲厉害的地方，速度方向变化大；曲线的这个弯曲程度用曲率来表示；
35、线的这个弯曲程度用曲率来表示；P1P2spp21令曲线令曲线 曲线上曲线上p1和和p2 之间的平均曲率之间的平均曲率sk47当当s趋近趋近0时，时，p1和和p2 两点无限靠近，这个比值的两点无限靠近，这个比值的极限称为曲线在极限称为曲线在p1点的曲率点的曲率dsdsks0lim其倒数其倒数 称为该点的曲率半径称为该点的曲率半径ddsk1 曲率半径决定的圆称为曲率圆，曲率圆的中心称为曲率半径决定的圆称为曲率圆，曲率圆的中心称为曲率中心。曲率中心。圆：圆：RRdddsdk1Rk1说明圆的曲率半径即圆的半径，是一个恒量。说明圆的曲率半径即圆的半径，是一个恒量。P1P2482.法向加速度和切向加速度法
36、向加速度和切向加速度自然坐标系自然坐标系49LBAAv Bv OB A vBv Av BAvvv VAVBv1v2v 12vvv 0121200limlimlimtttvatvvdvdvttdtdt 1Avvd 1Avvn n50VAVBv1v2v 10limAAtvvdddsnvntdtdsdt 2vn0121200limlimlimtttvatvvdvdvttdtdt 1Avvd 1Avvn n51200limlimttvvdvttdt tddvat2nvaVAVBv1v2v n2tnddvvanaa nt切向加速度法向加速度22naaatannaa大小：大小：方向：方向：ana52讨论：
37、讨论：1.若若 ，则物体作直线加速运动；，则物体作直线加速运动；0;0naa2.若若 ，则物体作匀速圆周运动，则物体作匀速圆周运动 0;0naa关于自然坐标系的说明：关于自然坐标系的说明：（1）在自然坐标系中表示质点速度，是非常）在自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。有切向分量，而没有法向分量。（2）自然坐标系不仅适用于平面运动，也可）自然坐标系不仅适用于平面运动，也可以用于三维空间的运动。不过在三维情况下，以用于三维空间的运动。不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量应该引入两个法向
38、单位矢量 53五、圆周运动五、圆周运动1.平面极坐标平面极坐标A ),(OPP的位置矢量表示为的位置矢量表示为)()()(tttr根据速度的定义式：根据速度的定义式：ttttvdddddd)()(式中式中 是单位矢量是单位矢量 的方向随时间的变化率。的方向随时间的变化率。dd t 54OL 在在 时间内时间内,质点沿任意平面曲线质点沿任意平面曲线L由点由点A到到达点达点B,极角的增量为极角的增量为 。t()()ttt1)(t)(tt)(tt)(tO A B)(tt)(tBA 等腰三角形等腰三角形 O A B,当当 t0时时,底边趋于与腰底边趋于与腰垂直垂直,的方向趋于极角增大的方向的方向趋于极
39、角增大的方向,引入该方向引入该方向的的单位矢量单位矢量 。（）55ddddlimlim tttttt00ttvddddttttvdddddd)()(O A B)(tt)(t（）vvvvtvtdddd,径向速径向速度度横向速横向速度度vvvtt2222()()dddd速度大小速度大小561.质点直线运动时质点直线运动时,取该取该直线为极径，极角为常直线为极径，极角为常量量vtvdd,0vvt0,dd2.质点圆周运动时质点圆周运动时,极径极径是圆周的半径是圆周的半径,为常量为常量ddt圆周运动角速度圆周运动角速度vttstv dddddd横向速度是质点横向速度是质点沿圆周切向速度沿圆周切向速度讨讨
40、论论vRvtvtdddd,57vR线量线量角量角量58质点加速度质点加速度:OB A()t()tt OLAB()t()tt 等腰等腰 O A B ,当当 t0时时,趋于与趋于与 垂直垂直,即即指向指向 的方向的方向,大小大小 1ttttttttvvttvadddddddddd(dddddd)(dddd2222dddddtdtdtdt59于是有于是有ddddlimlim tttttt 00dddd2dd)dd(dd22222tttttaddddttddddtt将将和和代入代入ttttttttadddddddddd(dddddd222260attatttdddddddddd222222(),aaa
41、dddd2dd)dd(dd22222ttttta径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度612.质点圆周运动质点圆周运动,极径极径 是圆周半径是圆周半径,为常量为常量,有有 1.质点直线运动质点直线运动,取该直取该直线为极径，极角为常量：线为极径，极角为常量：atadd220,atat(),dddd222讨讨论论继续推算继续推算 222d1d()()ddnvatta 22dddd()ddddvatttta attatttdddddddddd222222(),62引入角加速度引入角加速度,定义为定义为 22ddddttav 2avtdd向心加速度向心加速度切向加速度切向加速度222vaR na
42、线量线量角量角量63dvddaRdtdtdta角量角量线量线量642.圆运动方程圆运动方程（1）匀速圆周运动）匀速圆周运动,dCCdC dtdt设：设：0t0时，=t 0=（2）匀变速圆周运动）匀变速圆周运动,dCddtdt650(1)t0()ddt dtdt而，积分得：积分得：2001(2)2tt200(1)2()2、(2)式得：形式上与直线运动的三个方程是相同的，只形式上与直线运动的三个方程是相同的，只是线量与角量的区别是线量与角量的区别66由初始条件定积分常量67 例例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如如图。如果绞车以恒定的速率果绞车以恒定的速率u拉
43、动纤绳拉动纤绳,绞车定滑轮离水面绞车定滑轮离水面的高度为的高度为h,求小船向岸边移动的速度和加速度。求小船向岸边移动的速度和加速度。解解：以绞车定滑轮处为坐标原点：以绞车定滑轮处为坐标原点,x 轴水平向轴水平向右右,y 轴竖直向下轴竖直向下,如图所示。如图所示。xlhyoxxlhu68 设设:小船到坐标原点的距离为小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到岸边的距离任意时刻小船到岸边的距离x总总满足满足 x 2=l 2 h 2 两边对时间两边对时间t 求导数求导数,得得 22xxtlltdddd 绞车拉动纤绳的速率绞车拉动纤绳的速率,纤绳随时间在缩纤绳随时间在缩短短,故故 ;是小船向岸边移动的速
44、率。是小船向岸边移动的速率。ddltu ddlt 0ddxtvxlhyoxuxhxuxlv22 负号表示小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向。轴反方向。692222222dlld xd dddtalhdtdt dtdtlh2222dludludtdtlhlh 根据数学公式：2vuvvuuu22222222dlldldtlhldtlhaulh 702222222222222222()llhlhllhuulhlhlh222223u hu hxxx 小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大22222222dlldldtlhldtlhaulh 71例例2
45、：细棒以恒定角速度：细棒以恒定角速度 绕其端点绕其端点O 旋转旋转,棒上套棒上套一小球一小球,小球以恒定速度小球以恒定速度u沿棒向外滑动。初始时刻沿棒向外滑动。初始时刻小球处于点小球处于点O,求求t 时刻小球的速度和加速度。时刻小球的速度和加速度。解：解：utt,根据速度的定义式：根据速度的定义式：vvvddutvudtdtdd tvutdtdtO),(vv72 可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度,横向速度则是横向速度则是t 的线性函数。的线性函数。求得小球的速度求得小球的速度 v vuut a a()dddddddddd222222ttttt 根据根
46、据22222ddd()()dddutttat22dddd2dddd22atttdututdt 73 由上式可以看到由上式可以看到,径向加速度是时间的线性函径向加速度是时间的线性函数数,横向加速度则为常量。横向加速度则为常量。小球的加速度可表示为小球的加速度可表示为：a a 22utu 74 解解：质点的切向加速度和法向加速度分别为：质点的切向加速度和法向加速度分别为 例例3:质点以初速质点以初速 沿半径为沿半径为R 的圆周运动的圆周运动,其其加速度方向与速度方向夹角加速度方向与速度方向夹角 为恒量为恒量,求质点速求质点速率与时间的关系。率与时间的关系。v02nd,dvvaatR分离变量分离变量
47、ddtanvvtR2vtRvaaddtan2tnvaana 75这就是所要求的速率与时间的关系。这就是所要求的速率与时间的关系。110vvtRtan得得ddtan vvtRvvt200积分积分例例4.4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0 0，以后加速以后加速 度均匀增加度均匀增加，每经过每经过 秒增加秒增加 a0 0，求：经过求：经过 t 秒后质点的速秒后质点的速 度和运动的距离。度和运动的距离。,00taaa 解：据题意知，加速度和时间的关系为：解：据题意知，加速度和时间的关系为：,dd tva d d tav d )(000ttaavt
48、 2 200tata v0 t0,2 200tata ddtxv d)2(d200ttatax t0 x0 62 3020tatax 77解：解：此类问题从a与x的关系，求v与x的关系dvdv dxdvavdtdx dtdx即：(26)vdvx dx(26)vdvadxx dx积分：221232vxxc010,50vc当x 时，求得2246100vxx 例题例题5 一质点沿一质点沿x轴运动，其加速度和位置关系为轴运动，其加速度和位置关系为a=2+6x。质点在。质点在x=0处的速度为处的速度为 。求物体。求物体的速度和位置的关系的速度和位置的关系。010v 78 习习 题题1-4 现有一矢量现有
49、一矢量R是时间是时间t的函数，问的函数，问 与与 在在一般情况下是否相等？为什么？一般情况下是否相等？为什么？ddRtddRt 解解:与 在一般情况下是不相等的。因为在一般情况下是不相等的。因为前前者是对矢量者是对矢量R的绝对值的绝对值(大小或长度大小或长度)求导，表示矢求导，表示矢量量R的大小随时间的变化率的大小随时间的变化率；而后者是对矢量；而后者是对矢量R的的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大
50、小变化，方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。那么这两个表示式是相等的。ddRtddRt791-12 设质点的位置与时间的关系为设质点的位置与时间的关系为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，如果先求，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出出 ，然后根据，然后根据 和和 求求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成，得和加速度分量，再合成，得v=和和rxy22vrtddartdd22()()ddddxtyt22axtyt()()dddd222222。你认为哪一组结果正确？。你认为哪一组结果正确？为什么？
