1、第三章第三章 圆圆6 6 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系点和圆的位置关系有几种？点和圆的位置关系有几种？点到圆心的距离为点到圆心的距离为 d，圆，圆的半径为的半径为 r，则：，则：点在圆外点在圆外 dr;点在圆上点在圆上 d=r；点在圆内点在圆内 dr.ABC数形结合：数形结合：位置关系位置关系 数量关系数量关系（地平线）（地平线）a（地平线）（地平线）OOO你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？你分类的依据是什么？你分类的依据是什么？（2）直线和圆有直线和圆有唯一个唯一个公共点，则直线和公共点，则直线和圆圆相切相切，这条直线叫圆的，这条直线叫圆
2、的切线切线，这个公共，这个公共点叫点叫切点切点.（1）直线和圆有）直线和圆有两个两个公共点，则直线和圆公共点，则直线和圆相交相交，这条直线叫圆的，这条直线叫圆的割线割线，这两个公共点，这两个公共点叫叫交点交点.（3）直线和圆直线和圆没有没有公共点，则直线和圆公共点，则直线和圆相相离离.一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）相交相交相切相切相离相离上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判断直线与圆的位什么量在改变？你能否用数量关系来判断直线与圆的位置关系
3、？置关系？1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离点到直线的距离.2.连接直线外一点与直线所有点的线段中，最短的是连接直线外一点与直线所有点的线段中，最短的是垂线段垂线段.相关知识点回忆相关知识点回忆数形结合：位置关系 数量关系有交点，连半径，证垂直；根据三角形的面积公式知，解：连接 OA，OC，过点 A 作 ADOC 于点 D.（2）直线和圆有唯一个公共点，则直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.证明：如图，作 OE丄CD 于点 E，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.有交点，连半径，证垂直；AB 为 O 的切线
4、（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.（1）根据定义，由_的个数来判断；0 cmd 5 cmOB=OC，AB=BC，A=30，（1）切线和圆只有一个公共点4 cm 时，有 d=r，所以 C 和 AB 相切.如图，由正方形 ABCD 的顶点 A 引一条直线分别交 BD，CD 及 BC 的延长线于点 E，F，G，O 是CGF 的外接圆.二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分）在 ABC 中，AB=5.圆的切线的判定方法：例 4 如图，直线 AB 与 O 相切于点 C，AO 交 O 于点 D，连接 CD，OC.直线和圆相交直线和圆相交drrd
5、rdrd二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线 l 的距离的距离 d 与圆的半与圆的半径径 r 的关系来区分）的关系来区分）1.已知圆的直径为已知圆的直径为 13 cm，设直线和圆心的距离为，设直线和圆心的距离为 d：（1）若）若 d=4.5 cm，则直线与圆则直线与圆 ，直线与圆有，直线与圆有_个公个公共点；共点；（2）若）若 d=6.5 cm，则直线与圆则直线与圆 ，直线与圆有，直线与圆有_个公个公共点；共点；（3）若）若 d=8 cm，则直线与圆则直线与圆 ，直线与圆有，直线与圆有_个公共个公共点点.相交相交相切相切相离相离2102.已知已知 O 的半径
6、为的半径为 5 cm，圆心，圆心 O 与直线与直线 AB 的的距离为距离为 d，根据下列条件填写，根据下列条件填写 d 的取值范围：的取值范围：（1）若若 AB 和和 O 相离，则相离，则 ；（2）若若 AB 和和 O 相切，则相切，则 ；（3）若若 AB 和和 O 相交，则相交，则 .d 5 cmd=5 cm0 cmd r，所以，所以 C 和和 AB 相离相离.（2）当）当 r=2.4 cm 时，有时，有 d=r，所以，所以C 和和 AB 相切相切.（3）当）当 r=3 cm 时，有时，有 dr，所以，所以 C 和和 AB 相交相交.已知已知 O 的半径的半径 r=7 cm，直线，直线 l1
7、/l2，且且 l1 与与 O 相切，相切，圆心圆心 O 到到 l2 的距离为的距离为 9 cm，求，求 l1 与与 l2 的距离的距离 m.判断直线与圆的位置关系的方法有判断直线与圆的位置关系的方法有_种：种：（1）根据定义，由）根据定义，由_的个数来判断；的个数来判断；（2）根据性质，由）根据性质，由_的关系来的关系来判断判断.在实际应用中，常采用第二种方法判断在实际应用中，常采用第二种方法判断.两两直线与圆的公共点直线与圆的公共点圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d与半径与半径 r情境引入情境引入动手操作：动手操作：在在 O 中任取一点中任取一点 A，连接，连接 OA，过点，过点 A 作直
8、线作直线 lOA.思思 考：考：（可与同伴交流）（可与同伴交流）（1）圆心）圆心 O 到直线到直线 l 的距离和圆的半径有什么关系？的距离和圆的半径有什么关系？（2）直线）直线 l 与与 O 的位置有什么关系？根据什么？的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现了什么？）由此你发现了什么？又 O 的直径为 6，AD=BC，OD=OC-CD=OC-AB.AB 为 O 的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.点和圆的位置关系有几种？根据三角形的面积公式知，OA=OB=5，AB=8，AC=BC=4.在实际应用中，常采用第二种方法判断.例 1 如图，A 是 O 外一点，AO 的延长
9、线交 O 与 AB 相切于点 C，（1）定义：直线和圆有唯一公共点.（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.求证：ACD=COD.（3）若 d=8 cm，则直线与圆，直线与圆有_个公共点.（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（1）根据定义，由_的个数来判断；综合性较强，要联系许多其他图形的性质求证：直线 AB 是 O 的切线.例 2 如图，台风中心 P（100，200）沿北偏东 30方向移动，受台风影响区域的半径为 200 km，那么下列城市 A（200，380），B（600，480），C（550，300
10、），D（370，540），哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？例 1 如图，A 是 O 外一点，AO 的延长线交 直线与圆相切的判定定理直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线这条半径的直线是圆的切线.如图，半径如图，半径 OA直线直线 l，直线直线 l 为为 O 的切线的切线特征：特征：直线直线 l 经过半径经过半径 OA 的外端点的外端点 A.特征：特征：直线直线 l 垂直于半径垂直于半径 OA.d=r 相切相切感悟新知感悟新知 圆的切线的判定方法：圆的切线的判定方法：（1）概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线）概念：与
11、圆有唯一公共点的直线是圆的切线（2）数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线圆的切线总结归纳总结归纳例例 1 如图，如图，A 是是 O 外一点，外一点，AO 的延长线交的延长线交O 于点于点 C，点点 B 在圆上，且在圆上，且 AB=BC，A=30.求证：求证：直线直线 AB 是是 O 的切线的切线.证明：证明：连接连接 OB.OB=OC，AB=BC，A=30，OBC=C=A=30，AOB=C+OBC=60.ABO=180-（AOB+
12、A）=180-（60+30）=90，ABOB，AB 为为 O 的切线的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线是圆的切线）.练习练习如图，已知如图，已知 OA=OB=5，AB=8，O 的直径为的直径为 6.求证：求证：AB 与与 O 相切相切.证明：过点证明：过点 O 作作 OCAB.OA=OB=5，AB=8，AC=BC=4.在在 RtAOC 中，中，OC=3.又又O 的直径为的直径为 6，OC=半径半径 r，直线直线 AB 是是O 的切线的切线.有交点，连半径，证垂直；有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证无交点，作垂直，证 d=r.例例
13、2 如图，台风中心如图，台风中心 P（100，200）沿北偏东）沿北偏东 30方向移动，方向移动，受台风影响区域的半径为受台风影响区域的半径为 200 km，那么下列城市，那么下列城市 A（200，380），），B（600，480），），C（550，300），），D（370，540），哪些受到这），哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？合作学习合作学习已知直线已知直线 AT 切切 O 于点于点 A（切点），连接（切点），连接 OA，则，则 OA 是半径是半径.问：问：OA 与与 AT 垂直吗？垂直吗？过点过点 A 作作 AT 的垂线，垂线过点
14、的垂线，垂线过点 O 吗？吗？解：经过切点的半径垂直于圆的切线解：经过切点的半径垂直于圆的切线.经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.圆的切线的性质：圆的切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点的半径垂直于圆的切线拓展：拓展：（1）切线和圆只有一个公共点）切线和圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径圆心到切线的距离等于半径（3）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（4）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心总结归纳总结归纳例例 3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径木工师傅可以用角
15、尺测量并计算出圆的半径.如如图，图，用角尺的较短边紧靠用角尺的较短边紧靠 O 于点于点 A，并使较长边与，并使较长边与 O 相切于点相切于点 C，记角尺的直角顶点为，记角尺的直角顶点为 B，量得，量得 AB=8 cm，BC=16 cm.求求 O 的半径的半径.连接过切点的半连接过切点的半径是常用的辅助线径是常用的辅助线.OABCD解：连接解：连接 OA，OC，过点，过点 A 作作 ADOC 于于点点 D.O 与与 BC 相切于点相切于点 C，OCBC.ABBC，ADOC，四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，AD=BC，OD=OC-CD=OC-AB.在在 RtADO 中，中，OA2=AD2+
16、OD2，即即 r2=（r-8）2+162，解得，解得 r=20.O 的半径为的半径为 20 cm.例例 4 如图，直线如图，直线 AB 与与 O 相切于点相切于点 C，AO 交交O 于点于点 D，连，连接接 CD，OC.求证：求证：ACD=COD.21证明：如图，作证明：如图，作 OE丄丄CD 于点于点 E，则则COE+OCE=90.O 与与 AB 相切于点相切于点 C，OC丄丄AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），（经过切点的半径垂直于圆的切线），即即ACD+OCE=90.ACD=COE.ODC 是等腰三角形，是等腰三角形，OECD，COE=COD，ACD=COD.21211.切线的判定定理
17、切线的判定定理.2.判定一条直线是圆的切线的方法：判定一条直线是圆的切线的方法：（1）定义：定义：直线和圆有唯一公共点直线和圆有唯一公共点.（2）数量关系：数量关系：直线到圆心的距离等于半径直线到圆心的距离等于半径.（3）判定定理：判定定理：经过半径的外端且与这条半径经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线垂直的直线是圆的切线.如图，用角尺的较短边紧靠 O 于点 A，并使较长边与 O 相切于点 C，记角尺的直角顶点为 B，量得 AB=8 cm，BC=16 cm.（2）圆心到切线的距离等于半径（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线（3）若 d=8 cm，则直线与圆，
18、直线与圆有_个公共点.判定一条直线是圆的切线的方法：OB=OC，AB=BC，A=30，根据三角形的面积公式知，四边形 ABCD 是矩形，如图，已知 OA=OB=5，AB=8，O 的直径为 6.ACD=COE.求证：ACD=COD.解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.如图，半径 OA直线 l，直线 l 为 O 的切线求 O 的半径.（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.有交点，连半径，证垂直；（1）根据定义，由_的个数来判断；（1）切线和圆只有一个公共点 OA 与 AT 垂直吗？解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.3.辅助线作法：辅助线作法：（1）有公共点：）有
19、公共点：作半径证垂直作半径证垂直.（2）无公共点：）无公共点：作垂直证半径作垂直证半径.4.切线的性质：切线的性质：（1）经过切点的半径垂直于圆的切线）经过切点的半径垂直于圆的切线.（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.5.切线性质的运用：切线性质的运用：常用的辅助线是常用的辅助线是连接半径连接半径.综合性较强，要联系许多其他图形的性质综合性较强，要联系许多其他图形的性质1.如图，在等腰直角三角形如图，在等腰直角三角形 ABC 中，中，AB=AC=4，点，点O 为为 BC 的的中点，以中点，以 O 为圆心作半圆为圆心作半圆 O 交交 BC 于点于点 M，N，半圆，半圆 O 与与 AB，AC 相切，切点分别为相切，切点分别为 D，E，则半圆，则半圆 O 的半径和的半径和MND 的度数的度数分别为（）分别为（）A2；22.5 B3；30C3；22.5 D2；302.如图，由正方形如图，由正方形 ABCD 的顶点的顶点 A 引一条直线分别交引一条直线分别交 BD，CD 及及 BC 的延长线于点的延长线于点 E，F，G，O 是是CGF 的外接圆的外接圆.求证：求证：CE 是是 O 的切线的切线.EOFBDACG
