1、1/252023-2-32023-2-31.1、五步方法、五步方法1、五步方法概要、五步方法概要2、五步方法详解、五步方法详解1.2、灵敏性分析、灵敏性分析1、问题的提出、问题的提出2、最佳售猪时间、最佳售猪时间x关于关于价格下降速率价格下降速率r的灵敏性的灵敏性3、最佳售猪时间、最佳售猪时间x关于关于生长率生长率g的灵敏性的灵敏性4、灵敏性的相对改变量、灵敏性的相对改变量1.3、稳定性与稳健性、稳定性与稳健性1、关于稳键性、关于稳键性2、r,g不是常数时对模型不是常数时对模型结果的影响结果的影响1.4、小结、小结1.5、练习、练习题题2/252023-2-32023-2-31、五步方法概要、
2、五步方法概要 数学模型解决问题的一般过程分五步，称之数学模型解决问题的一般过程分五步，称之为为五步方法五步方法。定义：定义：五个步骤：五个步骤：提出提出问题问题(问题问题)；选择建模方法选择建模方法(方法方法)；推导推导模型模型的数学表达式；的数学表达式；求解求解模型；模型；回答问题。回答问题。3/252023-2-32023-2-32、五步方法详解、五步方法详解例例1.11.1、一头猪重一头猪重200200磅，每天增重磅，每天增重5 5磅，磅，饲养每天需花费饲养每天需花费4545美分。猪的市场价格美分。猪的市场价格为每磅为每磅6565美分，但每天下降美分，但每天下降1%1%，求出售，求出售猪
3、的最佳时间猪的最佳时间。（。（1 1磅磅=0.454kg=0.454kg）提出问题提出问题:即如何用数学语言来表达问题。即如何用数学语言来表达问题。列出问题涉及的变量，包括恰当的单位；列出问题涉及的变量，包括恰当的单位；写出关于上述变量所做的假设，列出已知的或写出关于上述变量所做的假设，列出已知的或假设的这些变量之间的关系式假设的这些变量之间的关系式(等式和不等式等式和不等式)；用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式等构成等构成完整的问题完整的问题。4/252023-2
4、-32023-2-3例例1.1中，全部的变量包括：中，全部的变量包括：猪的重量猪的重量w(磅磅)，从现在到出售猪期间经历的时间从现在到出售猪期间经历的时间t(天天),t天饲养猪的花费天饲养猪的花费C(美元美元),猪的市场价格猪的市场价格p(美元美元/磅磅),售出生猪所获得的收益售出生猪所获得的收益R(美元美元),我们最终获得的净收益我们最终获得的净收益P(美元美元)。其他相关的参其他相关的参(非变非变)量量:如猪的初始重量如猪的初始重量(200磅磅)等。等。写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型中的影响。中的影响。猪的重量从初始的猪的重量从初始
5、的200200磅磅按每天按每天5 5磅增加有磅增加有).)(5()200()(天天天天磅磅磅磅磅磅tw 这里把变量的单位带进去这里把变量的单位带进去,可以检查所列式子的意义可以检查所列式子的意义.该问题涉及到的其他假设包括该问题涉及到的其他假设包括:5/252023-2-32023-2-3)(01.0()65.0()(天天天天磅磅美美元元磅磅美美元元磅磅美美元元tp )(45.0()(天天天天美元美元美元美元tC)()(磅磅磅磅美元美元美元美元wpR)()()(美元美元美元美元美元美元CRP 售价售价饲养成本饲养成本收益收益利润利润假设假设 t t00目标：求利润或净收益目标：求利润或净收益P
6、 P的最大值。的最大值。为了便于参考，下面对第一步所得的结果进行了为了便于参考，下面对第一步所得的结果进行了如下的归纳（见下表）如下的归纳（见下表）6/252023-2-32023-2-3变量变量：t=时间时间(天天)w=猪的重量猪的重量(磅磅)p=猪的价格猪的价格(美元美元/磅磅)C=饲养饲养t天的花费天的花费(美元美元)R=售出猪的收益售出猪的收益(美元美元)P=净收益净收益(美元美元)假设假设：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45t R=pwP=R-Ct0目标目标：求的最大值：求的最大值注意：第一部注意：第一部分三个阶段分三个阶段(变变量、假设、目标量、假设、目标)的确定
7、不需要按的确定不需要按特定的顺序。特定的顺序。图图1-1 1-1 售猪问题的第一步的结果售猪问题的第一步的结果本例先定义目标本例先定义目标P和列出和列出P=R-C,得出变量得出变量R、C再写出假设中的再写出假设中的各个表达式各个表达式,最后最后写出各表达式中写出各表达式中变量及其单位。变量及其单位。7/252023-2-32023-2-3选择建模方法：选择建模方法：即如何用数学方法来获得解。即如何用数学方法来获得解。许多问题都可表成一个已有有效方法的标准形式许多问题都可表成一个已有有效方法的标准形式.应用数学的多数研究，包含确定问题的一般类应用数学的多数研究，包含确定问题的一般类别，并提出解决
8、该类问题的有效方法。别，并提出解决该类问题的有效方法。在应用数学领域中有许多的文献，并且不断取在应用数学领域中有许多的文献，并且不断取得许多新的进展。一般很少有学生对选择较好的得许多新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉参考文献。建模方法有经验或熟悉参考文献。注意：注意：下面除了极少例外，一般都给定所用的建模下面除了极少例外，一般都给定所用的建模方法。如例方法。如例1.1可定位为可定位为单变量优化问题，或极大单变量优化问题，或极大极小化问题极小化问题,建模方法建模方法为：设为：设y=f(x)在在xS处是可微处是可微的，若的，若f(x)在在x处达到极大或极小处达到极大或极小,则
9、则f(x)=0。详细。详细可参阅微积分中导数应用部分的内容可参阅微积分中导数应用部分的内容.8/252023-2-32023-2-3推导模型公式推导模型公式:即要把第一步得到的问题应用于即要把第一步得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以于我们运用标准的算法过程求解。于我们运用标准的算法过程求解。如：如：例例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便就比较方便。P=R-C=pw-0.45t =(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t记记y=P作为求最大值的目标变量，作为求最大值的目
10、标变量，x=t作为自变量，作为自变量，我们的问题就化为在集合我们的问题就化为在集合S=x:x0上求下面函数的上求下面函数的最大值：最大值：y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x.这是我们最熟悉不过的求一元函数极值问题。这是我们最熟悉不过的求一元函数极值问题。9/252023-2-32023-2-3利用第二步中确定的标准过程利用第二步中确定的标准过程求解求解这个这个模型模型。如本例中即对如本例中即对y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x在区间在区间x0上求最大值。上求最大值。如图可知如图可知y=f(x)关于关于x是是二次的曲线图，易得二次的
11、曲线图，易得f(x)=-0.1-0.1x+0.8则在点则在点x=8处处f(x)=0.由由f在区间在区间(-,8)上单升上单升,而在区间而在区间(8,+)上单减上单减.故点故点x=8是整体最大值点是整体最大值点.且有且有f(8)=133.20,从而点从而点(x,y)=(8,133.20)是是f在整个实在整个实轴上的整体轴上的整体最大值点最大值点,也也是区间是区间x0上上的最大值点。的最大值点。图图1-2 售猪问题的净收益售猪问题的净收益f(x)关于时间关于时间x的曲线图的曲线图05101520126128130132134xf(x)y=-0.05x2+0.8x+13051015201301311
12、3213310/252023-2-32023-2-3回答问题：回答问题：回答第一步提问回答第一步提问“何时售猪可以达到何时售猪可以达到最大净收益最大净收益.由第四步我们得到的答案是在由第四步我们得到的答案是在8天之后，可以获天之后，可以获得净收益得净收益133.20美元。只要第一步假设成立，这一美元。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。结果就是正确的。相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪一个农民决定何时出售他饲养的生猪）
13、，在第），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析灵敏性分析。我。我们将在下一节进行讨论。们将在下一节进行讨论。本节主要介绍五步方法本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归下面将这一方法总结归纳成如下图表纳成如下图表,以便以后参考以便以后参考.11/252023-2-32023-2-3第一步、提出问题第一步、提出问题.列出问题涉及的变量，包括恰当的单位列出问题涉及的变量，包括恰当的单位;注意不要混淆了变量和常量注意不要混淆了变量和常量;列出你对变量所做的全部假设列出你对变
14、量所做的全部假设,包括等式和不等式包括等式和不等式;检查单位从而保证你的假设有意义；检查单位从而保证你的假设有意义；用准确的数学表达式给出问题的目标。用准确的数学表达式给出问题的目标。第二步、选择建模方法第二步、选择建模方法.选择你问题的一个一般的求解方法；选择你问题的一个一般的求解方法；一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一定的熟悉程度；一定的熟悉程度；在本书中，我们通常会给定要用的建模方法。在本书中，我们通常会给定要用的建模方法。第三步、推导模型的公式第三步、推导模型的公式:把第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模把第一步中
15、得到的问题重新表达成第二步选定的建模 方法需要的形式；方法需要的形式；图图1-3 1-3 五步方法图五步方法图12/252023-2-32023-2-3你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；的记号一致；记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。第四步、求解模型第四步、求解模型.将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式;注意你的数学推导注意你的
16、数学推导,检查是否有错误检查是否有错误,答案是否有意义答案是否有意义;采用适当的技术采用适当的技术,计算机代数系统、图形、数值计算的计算机代数系统、图形、数值计算的 软件等都能扩大你解决问题的范围软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误并减少计算错误.第五步、回答问题第五步、回答问题.用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述；用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述；避免数学符号和术语避免数学符号和术语;能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答.图图1-3 1-3 五步方法图（续）五步方法图（续）13/252023-2-32023-2-
17、31 1、问题的提出、问题的提出灵敏性分析灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具体内容是数学建模的一个重要方面，具体内容与所用的建模方法有关与所用的建模方法有关,关于它的讨论贯穿本书关于它的讨论贯穿本书,下面下面仅对单变量优化问题进行灵敏性分析仅对单变量优化问题进行灵敏性分析.上用售猪说明五步法，图上用售猪说明五步法，图1-1列出了求解的所有假列出了求解的所有假设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于严格检查，由于数据数据是由是由测量、观察测量、观察有时甚至完全是有时甚至完全是猜测猜测得到的，故要考虑数据的不准确的可能性。得到的
18、，故要考虑数据的不准确的可能性。上概要介绍五步法上概要介绍五步法,从假设开始从假设开始,但难保证假设都正但难保证假设都正确确.故要考虑结果对每一条假设的敏感程度即故要考虑结果对每一条假设的敏感程度即灵敏性灵敏性.可靠性高的数据可靠性高的数据:生猪现在的重量、猪现在的价格、生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费等易测量，确定性大；每天饲养的花费等易测量，确定性大；可靠性低的数据可靠性低的数据:猪的生长率猪的生长率g和价格的下降速率和价格的下降速率r.14/252023-2-32023-2-32 2、最佳售猪时间、最佳售猪时间x关于价格下降速率关于价格下降速率r的灵敏性的灵敏性粗分析粗分析
19、前面我们假定前面我们假定r=0.01美元美元/天，现在假设天，现在假设r的实际值是不同的，对几个不同的的实际值是不同的，对几个不同的r值，重复前面值，重复前面的求解过程的求解过程,我们会对问题的解关于我们会对问题的解关于r的敏感程度的敏感程度有所了解有所了解.即给定即给定r对对y=f(x)=(0.65-rx)(200+5x)-0.45x求导，令求导，令f(x)=0，可得相应可得相应x值，下表值，下表1-1给出了选择几个不给出了选择几个不同的同的r值求出值求出x的计算结果。的计算结果。表表1-1 售猪问题中最佳售猪时间售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率关于价格的下降速率r的灵敏性的灵敏性
20、r (美元美元/天天)x (天天)r(美元美元/天天)x (天天)0.0080.0090.010.0110.01215.011.18.05.53.315/252023-2-32023-2-30.0080.0090.0110.01268101214 将上表将上表1-1中的数据绘制在如下图中的数据绘制在如下图1-4中。中。图图1-4 售售猪问题中猪问题中最佳售猪最佳售猪时间时间x关关于价格的于价格的下降速率下降速率 r 的曲线的曲线x(天天)r(美元美元/天天)2468101214160.0080.0090.0100.0110.012我们可以看到售猪的最优时间我们可以看到售猪的最优时间 x 对参数
21、对参数 r 是很敏感的是很敏感的.x对价格下降速率对价格下降速率r灵敏性的系统分析灵敏性的系统分析将将r作为未知的参数作为未知的参数,仍按前面的步骤求解仍按前面的步骤求解(见下页见下页):16/252023-2-32023-2-35101520100105110115120125130出售价格出售价格:p=0.65-rt;目标函数目标函数:y=f(x)=(0.65-rx)(200+5x)-0.45x =130+2.8x-200rx-5rx2 ;求导求导 f(x)=2.8-200r-10rx;使使f(x)=0的点为的点为 x=(7-500r)/25r.若要若要x0,只要只要00.014,在在0,
22、+)上都有上都有 f(x)0,最佳售猪时间为最佳售猪时间为x=0.图图1-5给出了给出了r=0.015的情况的情况.图图1-5 售猪问题的净收益售猪问题的净收益f(x)在在r=0.015关于时间关于时间x的曲线图的曲线图0510152090100110120130 xf(x)y=-0.075x2-0.2x+13017/252023-2-32023-2-34567-5510153、最佳售猪时间、最佳售猪时间x关于生长率关于生长率g的灵敏性的灵敏性前面我们假定前面我们假定g=5磅磅/天，一般地天，一般地,我们有如下步骤我们有如下步骤出售重量出售重量:w=200+gt;目标函数目标函数:y=f(x)
23、=(0.65-0.01x)(200+gx)-0.45x =130+0.65gx-2.45x-0.01gx2;求导求导 f(x)=0.65g-2.45-0.02gx;使使f(x)=0的点为的点为 x=5(13g-49)/2g.若要若要x0,最佳售猪时间最佳售猪时间可由可由 x=5(13g-49)/2g 给出给出,图图1-6 给出了最佳售猪时给出了最佳售猪时间和生长率间和生长率g之间的关系之间的关系.图图1-6 售猪问题中最佳售猪时间售猪问题中最佳售猪时间关于生长率关于生长率g的曲线图的曲线图34567-10-50510gxx=5(13g-49)/2g1518/252023-2-32023-2-3
24、4、灵敏性的相对改变量、灵敏性的相对改变量意义意义:相对改变量比绝对改变量更自然、更实用相对改变量比绝对改变量更自然、更实用,例如例如r的的10%下降导致了下降导致了x的的39%的增加的增加,g的的10%下下降导致了降导致了x的的34%的下降的下降.x对对r的灵敏性的灵敏性:./lim),(0 xrdrdxrrxxrxSr 对售猪问题中对售猪问题中,由由x=(7-500r)/25r 可得在点可得在点r=0.01.28002572 rdrdx.5.3801.02800),(xrdrdxrxS即若即若r增加增加1%,则导致了则导致了x的的3.5%下降下降.即即r 对对x的弹性的弹性19/25202
25、3-2-32023-2-3x对对g的灵敏性的灵敏性:./lim),(0 xgdgdxggxxgxSr 对售猪问题中对售猪问题中,由由x=5(13g-49)/2g可得在点可得在点g=5.9.422452 gdgdx.0625.3859.4),(xgdgdxgxS若若g增加增加1%,则则x上升上升3.0625%,即多等侍约即多等侍约3%的时间的时间.即即g 对对x的弹性的弹性注意注意:灵敏性分析的成功应用要有好的判断力灵敏性分析的成功应用要有好的判断力,即即不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分析析,要选择较大不确定的参数要选择较大不确定的参数;对
26、灵敏性的解释要对灵敏性的解释要依赖于参数的不确定程度依赖于参数的不确定程度;原始问题中的数据的原始问题中的数据的不确定程度也会影响我们对答案的自信度不确定程度也会影响我们对答案的自信度.如售猪问如售猪问题中题中,猪的生长率猪的生长率g比价格下降率比价格下降率r更可靠更可靠.20/252023-2-32023-2-31、关于稳键性、关于稳键性稳键性稳键性:一个数学模型不完全精确，但由其导出一个数学模型不完全精确，但由其导出的结果仍是正确的，我们称这个模型有稳键性的结果仍是正确的，我们称这个模型有稳键性.研究的理由：研究的理由：实际问题中，我们不会有绝对准确实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即
27、使建立一个完美的精确的模型，也可能的信息，即使建立一个完美的精确的模型，也可能采用较简单和易于处理的近似方法。采用较简单和易于处理的近似方法。数据假设与其它假设：数据假设与其它假设：灵敏性分析的过程灵敏性分析的过程(数据的数据的相关变化相关变化),是一种根据对数据提出的假设来评估模是一种根据对数据提出的假设来评估模型的稳键性的方法。在提出问题中，还有其它假设型的稳键性的方法。在提出问题中，还有其它假设要检查。由于数学处理的方便和简化的目的，常要要检查。由于数学处理的方便和简化的目的，常要做一些假设，建模者有责任考察假设是否特殊，会做一些假设，建模者有责任考察假设是否特殊，会导致建模结果的无效。
28、导致建模结果的无效。21/252023-2-32023-2-3对售猪问题：对售猪问题：图图1-1列出了全部假设，除了数据的列出了全部假设，除了数据的取值外，主要的假设是猪的重量和价格都是时间的线取值外，主要的假设是猪的重量和价格都是时间的线性函数。这显然是做了简化，不可能严格满足的。性函数。这显然是做了简化，不可能严格满足的。比如：比如：由线性假设，一年后，猪的重量是由线性假设，一年后，猪的重量是 w=200+5t=200+5365=2025 磅磅一年后价格为一年后价格为 p=0.65-0.01t=0.65-0.01365=-3美元美元/磅磅显然：显然：线性假设不合理，更实际的模型既要考虑函数
29、线性假设不合理，更实际的模型既要考虑函数的非线性性，又要考虑随时间的不确定性的增加。的非线性性，又要考虑随时间的不确定性的增加。若假设错误，模型怎能给出正确答案？若假设错误，模型怎能给出正确答案？虽然模型力求虽然模型力求完美，但这难以达到。确切地说：完美，但这难以达到。确切地说：数学模型力求接近数学模型力求接近完美。完美。好模型有稳键性，是指虽然它给出的答案不完好模型有稳键性，是指虽然它给出的答案不完全精确，但足够近似从而可以在实际问题中应用。全精确，但足够近似从而可以在实际问题中应用。22/252023-2-32023-2-32、r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响考察
30、售猪问题中的线性假设考察售猪问题中的线性假设重量重量:w=200+rt w=w(t)价格价格:p=0.65-gt p=p(t)收益收益:P(t)=pw-0.45t令令 P(t)=0 p w+p w =0.45每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 其中其中 p w 代表因价格下降而损失的价值代表因价格下降而损失的价值;p w 代表由于猪增重而增加的价值。代表由于猪增重而增加的价值。保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售23/252023-2-32023-2-3考察售猪问题中的非线性假设考察售猪问题中的非线性假设重量重量:w=w(
31、t)价格价格:p=p(t)收益收益:P(t)=pw-0.45tp w+p w=0.45假设一种情况：一个农民有一头重约假设一种情况：一个农民有一头重约200磅的猪磅的猪,在在上周每天增重约上周每天增重约5 5磅，五天前猪价为磅，五天前猪价为70美分美分/磅，但磅，但现在猪价为现在猪价为65美分美分/磅，我们应该怎么办？磅，我们应该怎么办？保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由数据由数据w=200,w=5,p=0.65,p=-0.01由由 S(t,r)=3若若 (10%),则则 （30%）5.55.4 w115 t建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 ,再作计算。再作计算。wwpp ,
