1、 1 / 11 华华中中师师大第大第一附一附属属中中学学 20182018 级高二春季学期级高二春季学期 数学独立作业（四）数学独立作业（四）( (详解详解版版) ) 一选择题（共一选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分） 1. 在一次调查过后，根据所得数据绘制成如图 1 所示的等高条形图，则( ) 图 1 A两个分类变量关系较弱 B两个分类变量无关系 C两个分类变量关系较强 D无法判断 【答案】C C 从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量 的关系较强 2己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表
2、： x（单位：万元） 0 1 2 3 4 y（单位：万元） 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y6.5x+9，则下列说法中错误的 是（ ） A产品的销售额与广告费用成正相关 B该回归直线过点（2，22） C当广告费用为 10 万元时，销售额一定为 74 万元 Dm的值是 20 答案 C 【解析】由线性回归方程y6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A 正确； = 0:1:2:3:4 5 = 2， = 10:15:30:35 5 = 90: 5 ， 代入y6.5x+9，得90: 5 = 6.5 2 + 9，解得m20，故D正确； =
3、90: 5 = 90:20 5 = 22，则该回归直线过点（2，22） ，故B正确； 取x10，得y6.510+974，说明当广告费用为 10 万元时，销售额预计为 74 万元，故C错 2 / 11 误 故选：C 3 已知i为虚数单位， , a bR ，复数 1 2 i iabi i ，则a bi（ ） A 12 55 i B 12 55 i C 21 55 i D 21 i 55 【答案】B 4对于一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为1 2， 1 3， 1 4，若三人独立解答，则仅有 1 人解 出 的概率为( ) A. 1 24 B. 11 24 C. 17 24 D1 【答案】B
4、B PP(A B C )P( A B C)P( A B C)1 2 2 3 3 4 1 2 1 3 3 4 1 2 2 3 1 4 11 24. 5. 如图为某几何体的三视图，则其体积为( ) A.2 3 4 B.24 3 C. 3 4 D. 4 3 答案 D 解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四 棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB 上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r1，高h2， 故其体积V11 2r 2h1 21 22； 四棱锥的底面ABCD为边长为
5、2 的正方形，PO底面ABCD，且POr1. 3 / 11 故其体积V21 3S 正方形ABCDPO1 32 214 3. 故该几何体的体积VV1V24 3. 6. 某校有 1000 人参加某次模拟考试， 其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105， 2） （0） ， 试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的1 5，则此次数学 考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为（ ） A150 B200 C300 D400 答案:C 【解析】解：P（X90）P（X120）0.2， P（90X120）10.40.6， P（90X105）= 1 2P（90X
6、120）0.3， 此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 10000.3300 故选：C 7. 对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出 2 件那么在第一 次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( ) A.3 5 B. 2 5 C. 1 10 D. 5 9 【答案】 D D 记“第一次摸到正品”为事件A， “第二次摸到正品”为事件B， 则P(A)C 1 6C 1 9 C 1 10C 1 9 3 5， P(AB) C 1 6C 1 5 C 1 10C 1 9 1 3.故 P(B|A)PAB PA 5 9. 8. 一个几何体的三视图如图所示
7、，则该几何体的体积为( ) A.16 3 B.20 3 C.15 2 D.13 2 解析：选 D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为 231 3 1 2 2221 3 1 2111 13 2 .故选 D. 4 / 11 9已知i为虛数单位，复数 32 i z i ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第二象限 B第四象限 C直线320xy上 D直线320xy上 【答案】C 【解析】 (32 )2323 , 321313131313 iii zi zi i ，在复平面中的点为 23 (,) 1313 在 第三象限，且在直线320xy上故选 C. 10. 国际羽毛球
8、比赛规则从 2006 年 5 月开始，正式决定实行 21 分的比赛规则和每球得分制，并且 每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是 21 分，最高不超过 30 分，即先到 21 分的获胜 一方赢得该局比赛，如果双方比分为 20：20 时，获胜的一方需超过对方 2 分才算取胜，直至双 方比分打成 29：29 时，那么先到第 30 分的一方获胜在一局比赛中，甲发球赢球的概率为1 2， 甲接发球赢球的概率为3 5，则在比分为 20：20，且甲发球的情况下，甲以 23：21 赢下比赛的概率 为（ ） A1 8 B 3 20 C 9 50 D 7 20 答案:B 【解析】根据题意，两人后 4 局的比赛
9、输赢情况只能为：输赢赢赢，赢输赢赢， 故P= 1 2 3 5 1 2 1 2 + 1 2 1 2 3 5 1 2 = 3 20， 故选：B 11.已知直线 AB:y=kx+1(k 0)与抛物线 x2= 4y交于 A，B 两点，抛物线的点 A 处的切线与点 B 处 的切线交于点 P，又 PA，PB 分别交 x 轴与点 E，F. 则SOAB SEFP = (答:2) 12. 随机变量X的分布列如表所示，在E（X）0 的前提条件下，不等式x 2+x+a0 对xR R 恒成 立的概率为（ ） X 1 0 1 P a a b A 1 12 B1 4 C1 3 D1 2 答案 B 【解析】由随机变量X的分
10、布列和E（X）0，得： + + = 1 + 0 ，a0，1，b0，1， 5 / 11 解得 0 1 3， 不等式x 2+x+a0 对xR R 恒成立， 14a0，解得a 1 4， 在E（X）0 的前提条件下，不等式x 2+x+a0 对xR R 恒成立的概率为： P= 1 3; 1 4 1 3;0 = 1 4 故选：B 二.填空题(每小题 5 分,共有 8 道小题,满分 40 分) 13当前,“COVID-19 ”在中国之外的世界多地快速传播，已然构成全球性威胁,研发“新冠”疫 苗迫在眉睫.为了考察某种在研疫苗的效果，现随机抽取 100 只小白鼠进行试验，得到如下列联 表： 感染 未感染 合计
11、注射 10 40 50 未注射 20 30 50 合计 30 70 100 附：K 2=(;)2 (:)(:)(:)(:) P（K 2k 0） 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 根据上表，有 的 把握认为“小白鼠未被感染与是否注射疫苗有关” 答案: 95% 【解析】解：根据列联表中数据，计算K 2=100(1030;2040)2 30705050 = 100 21 4.7623.841， 对照数表知，有 95%的把握认为“小动物未被感染与是否注射疫苗有关” 故答案为：95% 14. 据抽样统计， 在某市的公务员考试中， 考生的
12、综合评分X服从正态分布N(60,10 2)， 考生共 10 000 人，若某考生的综合评分为 80 分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第_名 （附：若随机变量 服从正态分布N（， 2） ，则 P（+）68.26%，P（ 2+2）95.45%） 【答案】 229 依题意，P(602080)1 2(10.954 5)0.022 8， 6 / 11 故成绩高于 80 分的考生人数为 10 0000.022 8228(人) 所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第 229 名 15设随机变量 的概率分布列为：P（k）= :1，k0，1，2，3，则 P（2） 【答案】 4 25 解：因为所有事件
13、发生的概率之和为 1， 即P（0）+P（1）+P（2）+P（3）1， 所以 + 2 + 3 + 4 = 1，所以c= 12 25 所以P（k）= 12 25(:1)，所以 P（2）= 4 25 故答案为： 4 25 16. 对任意复数zxyi(x，yR)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是_(填序号) 2zzy； z 2x2y2； 2zzx； |z|x|y| 【答案】 【解析】对于，xyi(x，yR)，|z|xyixyi|2yi|2y|，不 正确； 对于，z 2x2y22xyi，故不正确； 对于，|z|2y|2x不一定成立，不正确； 对于，|z| 22 xy|x|y|，故正确 17设(5xx)
14、 n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为N，MN240，则展开式中的 x 3 项的系数为 150 . 答案答案 150150 解析: N2 n，令 x1，则M(51) n4n(2n)2， (2 n)22n240,2n16，n4.展开式中第 r1 项Tr1C r 4(5x) 4r( x) r( 1) rCr 45 4rx4r 2. 令 4r 23，即 r2，此时 C 2 45 2(1)2150. 18一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到一 个白球的概率是7 9，则袋中的白球个数为 5 ，若从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ，
15、则随机变量 的数学期望E 3 2 7 / 11 答案： 5，3 2 ； 【解析】依题意，设白球个数为 x，至少得到一个白球的概率是7 9，则全是非白 球的概率为2 9， 所以10 2 10 2 = 2 9，即（10x） （9x）20，解得 x5， 依题意，随机变量 H（10，5，3） ，所以E= 35 10 = 3 2， 故答案为：5，3 2 19. 4 ()(1)axx的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a_ 【答案】3 【解析】由已知得 4234 (1)1 464xxxxx ，故 4 ()(1)axx的展开式中 x 的奇数 次幂项分别为4ax， 3 4ax，x， 3 6x，
16、5 x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a 20.现有 m 个人围成一圈作传球训练，球从 A 发出，则 3 次传球使球回到 A 的脚下的方法有 (m-1)(m-2) 种.设 n-1 次传球使球回到 A 的脚下的方法有an;1(n3)种，则 n 次传球使球回 到 A 的脚下的方法有 (m 1)n;1 an;1 种。 答案: (m-1)(m-2)， (m 1)n;1 an;1 . 解析:an+ an;1= (m 1)n;1 三三. .解答题解答题( (共共 4 4 道题道题, ,请写出必要的文字说明请写出必要的文字说明, ,计算与推理过程计算与推理过程. .满分满分 5050 分分)
17、) 21(本小题满分 12 分) 关于x与y有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x与y线性相关，由最小二乘法得b 6.5， (1)求y与x的线性回归方程； (2)现有第二个线性模型：y 7x17，且 R 20.82. 若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由 【答案】(1)依题意设y与x的线性回归方程为y 6.5xa. x 24568 5 5， y 3040605070 5 50， y 6.5xa经过( x ， y )， 8 / 11 506.55a ，a17.5， y与x的线性回归方程为y 6.5x17.5. .6 分 (2)
18、由(1)的线性模型得yiy i与yiy 的关系如下表： yiy i 0.5 3.5 10 6.5 0.5 yiy 20 10 10 0 20 所以 n i 1 (yiy i) 2(0.5)2(3.5)2(10)2(6.5)20.52155. n i 1 (yiy )2(20)2(10)2102022021 000. 所以R 2 11 155 1 0000.845. 由于R 2 10.845，R 20.82 知 R 2 1R 2， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好 12 分 22(本小题满分 12 分) 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中有 4 张卡片上的数字是 1,有 3 张卡片上
19、的数字是 2,有 2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片 (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望. (注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数) 【答案】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 PC 3 4C 3 3 C 3 9 5 84. .4 分 (2)X的所有可能值为 1,2,3，且 P(X1)C 2 4C 1 5C 3 4 C 3 9 17 42， P(X2)C 1 3C 1 4C 1 2C 2 3C 1 6C 3 3 C 3 9 43 84， P(X3)C 2 2C 1 7
20、 C 3 9 1 12. 故X的分布列为 X 1 2 3 P 17 42 43 84 1 12 10 分 9 / 11 从而E(X)117 422 43 843 1 12 47 28. 12 分 23(本小题满分 13 分) 某停车场停车收费标准如下：4 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增加一小时收费增加 4 元， 超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小时，按前述标准重新计费上述标 准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一天的收费情况，现统计
21、1000 辆车的停留时 间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次） ，得到下面的频数分布表： T（小时） （0，4 （4，5 （5，6 （6，7 （7，8 （8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率 （1）现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研，记录并统 计了停车时长与司机性别的 22 列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性
22、别有关？ （2） （i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列 及期望E（X） ； （ii）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用大于E（X）的车辆数， 求P（2）的概率 参考公式：2= (;)2 (:)(:)(:)(:)，其中 na+b+c+d P（K 2k 0） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【解析】解： （1）22 列联表如下： 男 女 合计 不超过 6 小时 10 30 40 10 / 11 6 小时以上 20 40
23、 60 合计 30 70 100 根据上表数据代入公式可得2= 100(2030;1040)2 30706040 = 50 63 0.7942.706， 所以没有超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关 4 分 （2） （i）由题意知：X的可取值为 5，8，11，15，19，30， ( = 5) = 1 10，( = 8) = 1 10，( = 11) = 1 5， ( = 15) = 1 5，( = 19) = 7 20，( = 30) = 1 20 所以X的分布列为： X 5 8 11 15 19 30 P（X） 1 10 1 10 1 5 1 5 7 20 1 20 8
24、 分 () = 5 1 10 + 8 1 10 + 11 1 5 + 15 1 5 + 19 7 20 + 30 1 20 = 14.65 9 分 （ii）由题意得(14.65) = 1 5 + 7 20 + 1 20 = 3 5， B（3，3 5） ， ( 2) = ( = 2) + ( = 3) = 3 2(3 5) 2(2 5) + ( 3 5) 3 = 3 9 25 2 5 + 27 125 = 81 125 13 分 24.(13 分) 已知椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为 A(0, 2)，焦点在 x 轴上，若 x 轴正半轴上的 焦点到直线 x-y+22=0 的距离为 4 （1）
25、求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线 y=kx+m(k0)相交不同的两点 M，N，当|AM|=|AN|时，求 m 的取值范围 解解: : （1）依题意，设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x (ab0)，正半轴的焦点坐标为 F1(c, 0) (c0), 则 2 22|c =4，解得 c=22或 c=-62（舍） 又b=2， a 2=c2+b2=12.即椭圆方程为 1 412 22 yx 4 分 11 / 11 （2） 由|AM|=|AN|知点A在线段MN的中垂线上， 因此设 P(xP, yP)为弦MN的中点， 由 1 412 22 yx mkxy 消去 y 得 x 2+3(kx+m)2=12， 即 (3k2+1)x2+6kmx+3m2-12=0， 由题意可得=36k2m2-4(3k2+1)(3m2-12)0, 即：m 212k2+4。 .6 分 又 xP= 13 3 2 2 k kmxx NM , yP=kxP+m= 1313 3 22 2 k m m k mk ,kAP= km km 3 26 2 .由 MNAP 得 kkm km1 3 26 2 ，解得 k 2=- 3 1 (m+1) 8 分 把代入得-4m0, 即 m-1. m 的取值范围为-4m-1. .13 分
