1、1压电晶体的切割压电晶体的切割通过前几节有关压电常数的讨论使我们通过前几节有关压电常数的讨论使我们了解到，不是压电晶体的任何方向都存了解到，不是压电晶体的任何方向都存在压电效应，而只有某些特定的方向才在压电效应，而只有某些特定的方向才存在压电效应。存在压电效应。2压电晶体的切割压电晶体的切割例如，例如，石英晶体，如果选择了与石英晶体，如果选择了与z z轴轴垂直的方向切下一块晶片（即晶片的厚垂直的方向切下一块晶片（即晶片的厚度方向与度方向与z z轴平行），无论对此晶体作用轴平行），无论对此晶体作用什么力，都不能在什么力，都不能在z z轴方向产生压电效应。轴方向产生压电效应。如果选择了与如果选择了
2、与x x轴垂直的方向切下一块晶轴垂直的方向切下一块晶片，则当应力片，则当应力T T1 1、T T2 2或或T T4 4作用时，在作用时，在x x方方向能产生压电效应。向能产生压电效应。3因此，用压电晶体做压电元件时，不是因此，用压电晶体做压电元件时，不是随便从晶体上切下一块晶片，就可以做随便从晶体上切下一块晶片，就可以做成所需要的元件，而是要根据压电晶体成所需要的元件，而是要根据压电晶体的压电常数，以及对压电元件性能的设的压电常数，以及对压电元件性能的设计要求，并经过反复实验后，才能找到计要求，并经过反复实验后，才能找到较合适的方向进行切割。较合适的方向进行切割。4切割符号的规定切割符号的规定
3、 x x、y y、z z代表晶体的三个坐标轴，代表晶体的三个坐标轴，l l、w w、t t代代表晶片的长度、宽度、厚度。表晶片的长度、宽度、厚度。例如：例如：xyxy切割表示晶片的厚度与切割表示晶片的厚度与x x轴平行，轴平行，长度与长度与y y轴平行（即轴平行（即第一个字母代表厚度方第一个字母代表厚度方向，第二个字母代表长度方向向，第二个字母代表长度方向）。）。又如：又如：xzxz切割表示晶片的厚度与切割表示晶片的厚度与x x轴平行，轴平行，长度与长度与z z轴平行。也有把轴平行。也有把xyxy切割和切割和xzxz切割简切割简称为称为x x切割。切割。l length,ength,w wid
4、th,idth,t 5图图4-13 4-13 晶片切割示意图晶片切割示意图XY-XY-切割切割XY-cutXY-cutXZ-XZ-切割切割XZ-cutXZ-cutYZ-YZ-切割切割YZ-cutYZ-6图图4-13 4-13 晶片切割示意图晶片切割示意图YX-YX-切割切割YX-cutYX-cutZX-ZX-切割切割ZX-cutZX-cutZY-ZY-切割切割ZY-cutZY-7一次旋转切割yzw-50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕宽度沿顺时针方向旋转50，即即第一个字母代表厚度方向，第二个字母代表长度方向，第三个字母代表转轴方向，-50代表沿顺时针方向旋转50。xyt+4
5、5切割，表示厚度方向平行于x轴，长轴平行于y轴，并绕厚度沿逆时针方向旋转45，有时简称这种切割为45x切割。8yzw-50yzw-50切割切割yzw-50yzw-50 cut cutxyt+45xyt+45切割切割xyt+45xyt+45 cut 9二次旋转切割yzlt40/50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕长度沿逆时针方向旋转40，再绕厚度沿逆时针方向旋转50。xzlt+40 xzlt+40/50/50 10酒石酸钾钠晶体的切割酒石酸钾钠晶体NaKC4H4O6-4H2O（即罗息盐）属于正交晶系222点群，它的压电常数为11当电场E E=0时，电位移D D与应力张量之间的关
6、系为：636352524141TdDTdDTdD12当应力为零时，电场E与应变张量之间的关系为336622551144EdSEdSEdS13可见当酒石酸钾钠晶体分别受到应力T4、T5或T6的作用时，将分别在x方向、y方向或z方向产生压电效应。对于x切割的酒石酸钾钠晶片，要它在x方向出现正压电效应时，必须使晶片受到切应力T4的作用。实际上要在晶体上作用一个切应力是比较困难的，所以用x切割的晶片通过D1=d14T4关系式来测定压电常数d14是不方便的。14其次当x切割的晶片受到x方向的电场E1作用时，通过逆压电效应，晶片产生切应变S4，而不能产生伸长缩短的应变。为了得到能产生伸缩振动的晶片，生产上
7、常采用45x切割。从图4-14看出：（1）45x切割是利用晶片的切应变转为沿长度方向的伸缩应变。（2）45x切割的长度与宽度不在和晶体的y轴与z轴平行。15图图4-14 4-14 酒石酸钾钠的酒石酸钾钠的4545 x x切割切割16坐标变了，不能直接使用（4-18）式来描写45x切割晶片的压电行为，需要对压电常数进行坐标变换，求出压电常数在新坐标系中的矩阵表示式。在新坐标系中的压电常数矩阵为 17)dd(21)dd(210000)dd(21)dd(2100000002d2d0 d25363625362536251414新坐标系中的压电常数矩阵新坐标系中的压电常数矩阵18即新坐标系中的压电常数与
8、旧坐标系即新坐标系中的压电常数与旧坐标系中的压电常数之间的关系为中的压电常数之间的关系为)dd(21d),dd(21d)dd(21d),dd(21d2dd,19如果45x切割晶片只受到y方向（即长度方向）的应力T2作用时，在x方向产生的电位移D1为，2142121T2dTdD20可见通过D1=d14T2/2来测定压电常数d14时，只需要用张力或压力，这就比通过D1=d14T4来测定压电常数d14方便的多。实验上，常用45x切割的晶片来测定酒石酸钾钠晶体压电常数d14；用45y切割的晶片来测定d25；用45z切割的晶片来测定d36。21这些压电常数的数值为：d14=34510-12库仑/牛顿 d
9、25=-5410-12库仑/牛顿d36=1210-12库仑/牛顿22 石英晶体的切割石英晶体的切割 石英晶体的石英晶体的z z轴是光轴，轴是光轴，z z切割晶片在切割晶片在z z方方向无压电效应。向无压电效应。x x切割是最早采用的切割，切割是最早采用的切割，x x 切割的晶片，频率温度系数约为切割的晶片，频率温度系数约为-3030 10-6/10-6/度左右，还不够理想。度左右，还不够理想。y y切割的切割的晶片，频率温度系数较高，约为晶片，频率温度系数较高，约为100100 10-10-6/6/度左右。因此生产上很小采用度左右。因此生产上很小采用y y切割的切割的晶片。目前生产上广泛采用的
10、切割方式，晶片。目前生产上广泛采用的切割方式，如图如图4-154-15所示。所示。24图图4-15 4-15 常见的石英晶体切型常见的石英晶体切型25这些切割的温度系数，在较广的温度范围内接近于零。在高频方面的常用切割有:AT切割（=3515）适用于250kHz3MHz；BT切割（=-49）适用于3MHz以上；26在低频方面的常用切割有：CT切割（=3836）适用于100kHz400kHz；DT切割（=-51）适用于70kHz500kHz；ET切割（=66）适用于250kHz800kHz；FT切割（=-57）适用于200kHz600kHz；GT切割适用于100kHz500kHz；27钛酸钡钛酸
11、钡z z切割晶片的切割晶片的压电方程压电方程 从前几章已经知道，晶体的介电性质所遵从的电学规律，要用电位移D D（极化强度P P）与电场E E之间的关系式来描写。例如,3,2,1m,ED28晶体的弹性性质所遵从的力学规律，要用应力张量T与应变张量S之间的关系式广义胡克定律来描写。例如：6,5,4,3,2,1i,TsS61jjiji6,5,4,3,2,1j,ScT61iiijj或29同样，压电晶体的压电性质所遵从的机电规律，要用电位移D D，电场强度E E，应力张量T T，应变张量S S之间的关系压电方程来描写。下面先以钛酸钡晶体的z切割为例，进行分析讨论。然后推广到一般情况下的压电方程。30实
12、际生产上常使用的压电元件的形状，大多数是薄长片或薄圆片等简单形状。又因为钛酸钡压电常数d310，所以可选择钛酸钡zx切割晶片为例。这样切割的晶片，长度l沿x方向，厚度lt沿z方向和宽度lw沿y方向。即晶片的坐标轴与晶体的坐标轴一致。31图图4-16 4-16 钛酸钡钛酸钡zxzx切割的晶片示意图切割的晶片示意图 32因为晶片的长度l宽度lw和厚度lt，长度是主要矛盾，故只要考虑x方向的应力T1的作用，其它应力分量T2、T3、T4、T5、T6可以忽略不计；因为晶片的电极面与z面垂直，故只要考虑电场E3的作用，其它电场分量E1、E2可以忽略不计。33现在只考虑在应力T1和电场E3作用下晶片的形变。
13、当电场E3=0，应力T10时，晶片在应力T1作用下产生的弹性形变为，弹性柔顺常数sE11的上标E表示电场E=0（或E为常数），即sE11代表E=0的弹性柔顺常数，故称短路弹性柔顺常数。1E11)1(1TsS34当电场E30，应力T1=0时，晶片在电场E3的作用下通过逆压电效应产生的压电应变为，331)2(1EdS35当电场E30，应力T10时，晶片在应力T1和电场E3的作用下，产生的应变应该是弹性应变和压电应变之和，即3311E111EdTsS36在应力T1和电场E3作用下晶片的电位移：当电场E30，应力T1=0时，晶片在电场E3的作用下产生的介电电位移为介电常数T33的上标T表示应力T=0（
14、或T为常数），即T33代表T=0（或T为常数）时的介电常数，称为自由介电常数 3T33)1(3ED37当电场E3=0，应力T10时，晶片在应力T1作用下通过正压电效应产生的压电电位移为，131)2(3TdD当电场E30，应力T10时，晶片在应力T1和电场E3的作用下，产生的电位移应该是介电电位移与压电电位移之和，即 3T331313ETdD38最后得到钛酸钡晶体zx切割晶片的压电方程为（以T,E为自变量）：3T3313133311E111ETdDEdTsS上被称为第一类压电方程组39第一类压电方程组第一类压电方程组一般形式为 EtTSs Td EDdTE矩阵形式为 EiijjnjnTmnjjm
15、nnSs Td EDd TEd压电应变常数40这个方程组的特点在于以T、E为自变量，S、D为因变量；即认为S、D的变化是由T、E变化引起的。式中还包括了短路弹性柔顺常数sE11，自由介电常数T33以及压电常数d31。41边界条件边界条件通常测量样品的频率特性（谐振频率和反通常测量样品的频率特性（谐振频率和反谐振频率）时，晶片的中心被夹住，晶片谐振频率）时，晶片的中心被夹住，晶片的边界却处于机械自由状态。的边界却处于机械自由状态。这时边界上的应力这时边界上的应力T|T|边界边界=0=0，应变，应变S S 0 0，这，这样的边界称为机械自由边界条件，或称边样的边界称为机械自由边界条件，或称边界自由
16、条件。界自由条件。42但是应该注意，边界自由条件只表示样品但是应该注意，边界自由条件只表示样品在边界上的应力为零，样品内的应力一般在边界上的应力为零，样品内的应力一般情况下并不等于零，只有在低频情况下，情况下并不等于零，只有在低频情况下，样品内的应力才接近于零，所以在边界自样品内的应力才接近于零，所以在边界自由和低频的条件下，测得的介电常数才是由和低频的条件下，测得的介电常数才是自由介电常数自由介电常数 T T3333。43若测量电路的电阻远小于样品的电阻，若测量电路的电阻远小于样品的电阻，则可认为外电路处于短路状态，这时电则可认为外电路处于短路状态，这时电极面上没有电荷积累，样品内的极面上没
17、有电荷积累，样品内的E=0E=0（或（或为常数）。这样的电学边界条件称为短为常数）。这样的电学边界条件称为短路边界条件。在短路条件下测得的弹性路边界条件。在短路条件下测得的弹性柔顺常数才是短路弹性柔顺常数柔顺常数才是短路弹性柔顺常数s sE E1111。44其它边界条件其它边界条件例如测量时，样品的边界被刚性夹住，这例如测量时，样品的边界被刚性夹住，这时边界上的应变时边界上的应变S|S|边界边界=0=0，应力，应力T T 0 0，这样，这样的边界条件称为机械夹住边界条件，或称的边界条件称为机械夹住边界条件，或称边界夹住条件。也应注意，边界夹住条件，边界夹住条件。也应注意，边界夹住条件，只是表示
18、样品在边界上的应变为零，样品只是表示样品在边界上的应变为零，样品内的应变一般情况下并不等于零，只有当内的应变一般情况下并不等于零，只有当频率非常高的情况下，样品内的应变才接频率非常高的情况下，样品内的应变才接近于零，所以在非常高的频率下测得的介近于零，所以在非常高的频率下测得的介电常数才是夹住介电常数电常数才是夹住介电常数 S Smnmn。45若测量电路的电阻远大于晶片的内电阻，若测量电路的电阻远大于晶片的内电阻，则可认为外电路处于开路状态，这时电则可认为外电路处于开路状态，这时电极面上自由电荷保持不变，样品内的电极面上自由电荷保持不变，样品内的电位移位移D D为常数（或为常数（或D=0D=0
19、）。这样的电学边）。这样的电学边界条件称为开路边界条件，简称开路条界条件称为开路边界条件，简称开路条件。在开路条件下测得的弹性柔顺常数件。在开路条件下测得的弹性柔顺常数才是开路弹性柔顺常数才是开路弹性柔顺常数s sD Dijij。46总之：总之：机械边界条件有两种机械边界条件有两种,即即:边界自由条件边界自由条件,边界夹住条件边界夹住条件;电学边界条件也有两种电学边界条件也有两种,即即:短路条件短路条件,开路条件开路条件。47从二种机械边界条件和二种电学边界条从二种机械边界条件和二种电学边界条件中各选一种，就可组成四类不同的边件中各选一种，就可组成四类不同的边界条件：界条件：（1 1）机械自由
20、和电学短路条件；）机械自由和电学短路条件；（2 2）机械夹持和电学短路条件；）机械夹持和电学短路条件；（3 3）机械自由和电学开路条件；）机械自由和电学开路条件；（4 4）机械夹持和电学开路条件。）机械夹持和电学开路条件。48对于不同的边界条件，为了运算方便，就对于不同的边界条件，为了运算方便，就必须选择不同的自变量。例如，当边界条必须选择不同的自变量。例如，当边界条件为边界自由条件和短路条件时，以选应件为边界自由条件和短路条件时，以选应力张量力张量T T和电场强度和电场强度E E为自变量，应变张量为自变量，应变张量S S 和电位移和电位移D D为因变量较方便，相应的压为因变量较方便，相应的压
21、电方程组就是第一类压电方程组。电方程组就是第一类压电方程组。与其它各类边界条件相适应的自变量与压与其它各类边界条件相适应的自变量与压电方程组如下。电方程组如下。49第二类压电方程组第二类压电方程组如果在测量上述如果在测量上述z z切割的钛酸钡晶片时，切割的钛酸钡晶片时，在晶片长度的两端被刚性夹具所夹住，即在晶片长度的两端被刚性夹具所夹住，即边界上应变边界上应变S=0S=0，应力，应力T T 0 0；而且外电路的；而且外电路的电阻远小于晶片内的电阻，在电极面上无电阻远小于晶片内的电阻，在电极面上无电荷积累，即电压保持不变（或电荷积累，即电压保持不变（或E=E=常数），常数），电位移电位移 常数。
22、这时晶片的边界条件为机常数。这时晶片的边界条件为机械夹持和电学短路条件。械夹持和电学短路条件。50在此边界条件下，以选应变张量在此边界条件下，以选应变张量S S和电场强和电场强度度E E 为自变量，应力张量为自变量，应力张量T T和电位移和电位移D D为因为因变量较方便。相应的第二类压电方程组为变量较方便。相应的第二类压电方程组为 3S3313133311E111ESeDEeScT51式中cE11=(T1/S1)E称为短路弹性刚度常数，是在外电路为短路的条件下，测得的弹性刚度常数；E33=(D3/E3)S称为机械夹持介电常数，是在机械夹持条件下，测得的介电常数。52e31称为第二类压电常数（也
23、称压电应力常数），它的意义为e31=(D3/S1)E为在短路条件下，由于晶片沿x方向应变S1的变化，引起沿z方向电位移的变化与S1变化之比。或者e31=-(T1/E3)S为机械夹持条件下，由于沿z方向电场强度E3的变化，引起沿x方向应力T1的变化与E3变化之比。负号表示电场强度E3增加时，应力T1变小。53第二类压电方程组第二类压电方程组一般形式为 EtSTc Se EDeSE矩阵形式为 EiijjnjnSmnjjmnnTc Se EDe SEe压电应力常数54第三类压电方程组第三类压电方程组当边界条件为机械自由和电学开路的情况下，以选应力张量T和电位移D为自变量，应变张量S和电场强度E为因变
24、量比较方便，相应的第三类压电方程组，3T3313133311D111DSgEDgTsS55式中：sD11=(S1/T1)D称为开路弹性柔顺常数，是在外电路为开路的条件下，测得的弹性柔顺常数；T33=(E3/D3)T称为自由介电隔离率，它等于自由介电常数T33的倒数，即T33=1/T33，是在机械自由条件下，测得的介电隔离率，或介电常数的倒数1/T33。56g31称为第三类压电常数（也称压电电压常数），它的意义为g31=(S1/D3)T为在机械自由条件下，由于晶片沿z方向电位移D3的变化，引起沿x方向应变S1的变化与D3变化之比。或者g31=-(E3/T1)D为开路条件下，由于沿x方向应力T1的
25、变化，引起沿z方向电场强度E3的变化与T1变化之比，负号表示应力T1增加时，电场强度E3变小。57第三类压电方程组第三类压电方程组一般形式为 DtTSs Tg DEgTD矩阵形式为 DiijjnjnTmnjjmnnSs Tg DEg TDg压电电压常数58第四类压电方程组第四类压电方程组 当边界条件为机械夹持和电学开路的情况下，以选应变张量S和电位移D为自变量，应力张量T和电场强度E为因变量比较方便，相应的第四类压电方程组，3S3313133311D111DShEDhScT59式中：cD11=(T1/S1)D称为开路弹性刚度柔顺常数，是在外电路为开路的条件下，测得的弹性刚度常数；S33=(E3
26、/D3)S称为夹持介电隔离率，它等于夹持介电常数S33的倒数，即S33=1/S33，是在机械夹持条件下测得的介电隔离率，或介电常数的倒数1/S33。60h31称为第四类压电常数（也称压电刚度常数），它的意义为g31=-(T1/D3)S为在机械夹持条件下，由于沿z方向电位移D3的变化，引起沿x方向应力T1的变化与D3变化之比，负号表示电位移D3增加时，应力T1变小。或者h31=-(E3/S1)D为电学开路条件下，由于沿x方向应变S1的变化，引起沿z方向电场强度E3的变化与S1变化之比，负号表示应变S1增加时，电场强度E3变小。61第四类压电方程组第四类压电方程组一般形式为 DtSTc Sh DE
27、hSD矩阵形式为 DiijjnjnSmnjjmnnTc Sh DEh SDh压电刚度常数62旋转坐标系中的压电方程组旋转坐标系中的压电方程组前面介绍的压电方程组是在主轴坐标系中的压电方程组,介电常数,弹性常数和压电常数都是在主轴坐标系中的数值。这些数值可以在相关手册中查到。但是实用的压电晶片所处的坐标系（一般以晶片的长、宽、厚为坐标轴）与主轴坐标系不同。63以第一类压电方程组为例介绍如何得到旋转坐标系中的压电方程组，其它压电方程组的变换类似。EtTtSs Td EDd TE EtTtSs Td EDd T E 64变换矩阵XA X 坐标变换：电学量变换：EA EDA D TM T力学量变换：S
28、N SEtTtSs Td EDd TE 1E11t11T1tNSsMTdAEADdMTAE 651E11t11T1tNSsMTdAEADdMTAE E11t1T1tSN sMT N dAEDA dMTAAE EtTtSs Td EDd T E EE11ttTT1sN sMdN dAAA 66EE11ttTT1sN sMdN dAAA EEttttTTtsN sNdN dAAA EEttTTtsN sNdAd NAA 67例子：绕x轴旋转后的-石英晶体的第一类压电方程组 100A0mn0nm 1100A0mn0nmmcos(),nsin()68介电常数 111133000000 11121311
29、2222313233311112211331133222322113311332333100100AA69式中：11112222113323113322331133mnmnmnnm 70弹性常数 11121314122223141323331414444414141112ssss00ssss00sss000sss0s000000s2s00002s2(ss)71变换矩阵N2222221000000000000220000000000mnmnnmmnN72tsN s N 73 1111221212131422131213142214121314422342222111314334422442222
30、222311131433443222411sssm sn smnssn sm smnss2mns2mns(mn)ssm s2m n s2m nsn sm n ssm n s(mn)smn(mn)sm n sm n ss2m ns2mn(mn)s 222322131433444223422331113143344322222322341113143344222222222224411131433445m(m3n)s2mn smn(mn)ssn s2m n s2mn sm sm n ss2mn s2mn(mn)sn(3mn)s2m nsmn(mn)ss4m n s8m n s4mn(mn)s4m
31、n s(mn)ss42555146622564414664266441466m s4mnsn ssmns2(mn)smnssn s4mnsm s式中：74 1111141411dd0d00d0000d2d000000压电常数 75式中：111121211142131114221411142251114226111423514112361114dddm dmnddn dmndd2mnd(mn)dd2mndm dd2m dmnddmnd2n dd2mndn 76新坐标系中的压电方程组为11 111 221 331 441 1121 212 222 332 441 2131 312 323 333
32、441 3141 412 423 434 441 4155 555 662 52S s T s T s T s T d E S s T s T s T s T d E S s T s T s T s T d E S s T s T s T s T d E S s T s T d E 3 5365 656 662 623 6311 111 221 331 441 1122 552 662 222 3333 553 662 323 33d E S s T s T d E d E D d T d T d T d T E D d T d T E E D d T d T E E 77压电方程组常数之间的
33、关系压电方程组常数之间的关系 由于自变量不同，共得到了四类压电方程组，都是晶体的压电性质所遵从的规律，因此它们之间不是互相不相关的，而是存在一定的联系。这个联系一定会在各压电方程组的常数之间反映出来。就是说，各压电方程组的常数之间存在一定的关系。78在四类压电方程组中有：（1）反映压电晶体弹性性质的常数，如sE11、sD11和cE11、cD11等机械量；（2）反映压电晶体介电性质的常数，如S33、T33和S33、T33的等电学量；（3）反映压电晶体压电性质的常数，如d31、e31、g31、h31等机电量。79由第一类压电方程组（4-23）式中的第一式可得：3311E1111E11331E111
34、E111Ed)s(S)s(Eds1Ss1T3T3313133311E111ETdDEdTsS80再将此式代入第一类压电方程组（4-23）式中的第二式可得：11331111113133331131111333111313()()()()EETETEDdsSsd EEdsSdsdE3T3313133311E111ETdDEdTsS3311E1111E11331E111E111Ed)s(S)s(Eds1Ss1T81整理得：11111111313()()EETsSsd E11331111333111313()()ETEDdsSdsdE第二类压电方程组3S3313133311E111ESeDEeScT8
35、2将此两式与第二类压电方程组（4-24）式比较可以得到:（1）cE11=(sE11)-1这表明z切割的钛酸钡晶片的开路弹性刚度常数cE11为开路弹性柔顺常数sE11的倒数。83（2）e31=d31(sE11)-1=d31cE11这表明z切割的钛酸钡晶片的第二类压电常数e31为第一类压电常数d31与短路弹性刚度常数cE11的乘积，或第一类压电常数d31为第二类压电常数e31与开路弹性柔顺常数sE11的乘积。84（3）S33=T33-d31(sE11)-1d31=T33-e31d31 或T33-S33=e31d31这表明z切割的钛酸钡晶片的自由介电常数T33与夹持介电常数S33之差等于e31与d3
36、1只乘积。采用上述类似的方法，可进一步得到诸常数之间的关系如表4-2所示。853131T33S333131S33T33T33T33S33S33ghde113131E11D113131D11E11D11D11E11E11ehccdgsss1cs1c31S33D11313131T33D11313131S33E11313131T33E113131ecghdshghcdegsed表表4-2 4-2 钛酸钡钛酸钡z z切割晶片各常数切割晶片各常数之间的关系式之间的关系式介电常数与压电介电常数与压电常数之间的关系常数之间的关系弹性常数与压电弹性常数与压电常数之间的关系常数之间的关系压电常数与介电常数、压电
37、常数与介电常数、弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系86次级压电效应次级压电效应为了进一步说明介电常数T33与S33之间以及弹性常数sE11与sD11之间的差别是什么因素造成的，这里首先要介绍二级压电效应。二级压电效应又称为次级压电效应。Secondary piezoelectric 87当z切割钛酸钡晶片只受到应力T1的作用时，作为弹性介质它将产生弹性应变S1(1)，即1E11)1(1TsS88作为压电晶体，T1还将通过正压电效应（即第一次压电效应），产生压电电场E3，即1313TgE89而压电电压将再通过压电效应（即第二次压电效应），使晶片又产生一个附加的压电应变S1(2)13131331
38、)2(1TdgEdS90可见附加的压电效应是由于对同一晶片考虑了第二次压电效应的结果，常称为二级压电效应（第一次压电效应称为一级压电效应）。91同样，当晶片只受到电场E3的作用时，作为电介质它将产生极化，相应的电位移D3(1)为 3S33)1(3ED92作为压电晶体，E3还将通过逆压电效应（一级压电效应），产生压电应变，S1即3311EdS 93而压电应变将再通过正压电效应（二级压电效应），使晶片又产生一个附加的压电电位移D3(2)，33131131)2(3EdeSeD94可见附加的压电电位移也是二级压电效应。以上讨论了二级压电效应，要不要再讨论三阶以上的压电效应？因为二级压电效应比一级压电效
39、应小得多，三级压电效应比二级压电效应小得多，所以一般情况下不再需要考虑三级以上的压电效应。95夹持介电常数与自由介电常数夹持介电常数与自由介电常数 一般电介质不存在压电效应，因此介电性质与机械性质无关，即有T33=S33=33。可见对于非压电体，只要用介电常数ij来描写介电性质就够了。但是对于压电体，其介电性质与机械条件有关，所以存在夹持介电常数S33与自由介电常数T33之别。所谓机械“夹持”是晶体被刚性夹具夹住，不论在多大电场作用下，都不能使晶体产生形变。96Clamped Clamped（夹住（夹住 夹持夹持 夹紧）夹紧）这时电场对压电晶体的作用，只能使之产生介电极化，而不能通过二级压电效
40、应产生附加的压电极化。也就是说在机械夹持的条件下，电场在压电体中所引起的作用与它在一般电介质所起的作用相同。机械夹持状态下相应的电位移为：3S333ED97freefree所谓机械“自由”是压电体处于自由状态。这时压电体在电场的作用下，可以产生自由形变，因此电场在压电晶体中的作用，除了使晶体产生极化外，还能通过二级压电效应使之产生附加的压电极化。也就是说在机械自由的条件下，电场在压电体中所起的作用要大于它在一般非压电体中的作用。98可见自由介电常数T33与夹持介电常数S33的差别是由于二级压电效应造成的。3T3333131S33)2(3)1(33EE)de(DDD3131S33T33de在机械
41、自由条件下，相应的电位移为：故得：99数值举例如下：钛酸钡晶体（25C）：T33=168，S33=109，故有T33-S33=59；铌酸锂晶体：T33=30，S33=29，故有T33-S33=1；钛酸钡陶瓷：T33=1700，S33=1260，故有T33-S33=440；PZT-4陶瓷：T33=1300，S33=635，故有T33-S33=665。100短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数s sE E1111和开路弹性柔和开路弹性柔顺常数顺常数s sD D1111 一般弹性介质不存在压电效应,弹性性质与 电 学 边 界 条 件 无 关,因 此 即 有sE11=sD11=s11。可见对于非压电体只要
42、用弹性柔顺常数sij来描述弹性性质就足够了。但是对压电体，由于存在压电效应，压电体的弹性性质与电学边界条件有关，所以存在短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11的差别。101Short circuitShort circuit所谓“短路”是测量电路的电阻远小于晶体内电阻，外电路可以认为是短路。在此情况下压电晶体在应力的作用下，通过正压电效应（即一级压电效应）产生的电荷，不可能在电极面上积累，因而不会改变晶体内的电场分布（即E为常数，或E=0）。这时应力对压电晶体的作用，只能使之产生弹性形变，而不能通过二级压电效应产生附加的压电形变。102也就是说在短路条件下，应力在压电体中所起的作用
43、与它在一般弹性介质中所起的作用相同，相应的应变是，1E111TsS 103Open circuitOpen circuit所谓“开路”是测量电路的电阻远大于晶体内电阻，外电路可以认为是开路。在此情况下压电晶体在应力的作用下，通过正压电效应（即一级压电效应）在电极上产生的电荷，不会流走，即晶体的电位移为常数，但晶体内的电场在变。104因此，应力在压电晶体中所起的作用，除了使晶体产生弹性应变S1(1)=sE11T1外，还能通过二级压电效应使晶体产生附加的压电应变S1(2)=-g31d31T1，负号表示压电应变的作用使晶体的形变变小。105可见短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11的差别
44、，也是由于二级压电效应造成的。1D1113131E11131311E111TsT)dgs(TdgTsS3131D11E11dgss这时（开路）总应变为：故得：106其次从sE11 sD11还可看出：压电效应对晶体弹性的影响是使晶体的弹性柔顺常数变小，或者说使晶体的形变变小。具体数值举例如下：107钛酸钡晶体（钛酸钡晶体（2525 C C）：）：s sE E1111=8.05=8.05 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿，牛顿，s sD D1111=7.25=7.25 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿，牛顿，故有：故有：s sE E1111-s-sD D1111=0.80=
45、0.80 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿；牛顿；钛酸钡陶瓷：钛酸钡陶瓷：s sE E1111=9.1=9.1 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿，牛顿，s sD D1111=8.7=8.7 1010-1212（米）（米）2 2/牛顿，牛顿，故有：故有：s sE E1111-s-sD D1111=0.40=0.40 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿；牛顿；PZT-4PZT-4陶瓷：陶瓷：s sE E1 11 1=12.3=12.3 1010-1 2-1 2（米）（米）2 2/牛顿，牛顿，s sD D1111=10.9=10.9 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿，牛顿，故有：故有：s sE E1111-s-sD D1111=1.4=1.4 1010-12-12（米）（米）2 2/牛顿。牛顿。108小结小结压电晶体的切割压电晶体的切割:符号及常见切型符号及常见切型四类边界条件和压电方程组四类边界条件和压电方程组四类压电方程组常数之间的关系四类压电方程组常数之间的关系二级压电效应以及对材料参数的影响二级压电效应以及对材料参数的影响
