1、 高三数学理科第高三数学理科第 1 1 页（共页（共 2 2 页）页） 20202020 年年高高三综合复习检测题三综合复习检测题 高三数学（理科）高三数学（理科） 时间：时间：120120 分钟分钟 满分：满分：1 15 50 0 分分 本试卷分第本试卷分第卷卷(选择题选择题)和第和第卷卷(非选择题非选择题)两部分，共两部分，共 150 分分 .考试时间为考试时间为 120 分钟分钟. 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 （1）已知全集）已知全集U Z，集合，集合|04AxxN， 2 |540Bx xx， 则则() UA B ( ) （A）1 （B）4 （C）1,4 （D） （2）已知复数）已知复数z满足满足(2)2zii，则，则z在复平面内对应的点位于在复平面内对应的点位于 ( ) （A）第一象限）第一象限 （B）第二象限）第二象限 （C）第三象限）第三象限 （D）第四象限）第四象限 （3） 如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测关于测 试序
3、号试序号 x 的函数图象， 为了容易看出一个班级的成绩变化， 将离散的点用虚线连接， 根据图象，的函数图象， 为了容易看出一个班级的成绩变化， 将离散的点用虚线连接， 根据图象， 给出下列结论：给出下列结论： 一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； 二班成绩不够稳定，波动程度较大；二班成绩不够稳定，波动程度较大； 三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升 其中正确结论的个数为其中正确结论的个数为 ( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4） (1 x)6(1 x)4的展开
4、式中的展开式中 x 的系数是的系数是 ( ) （A）4 （B）3 （C）3 （D）4 （5）设设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则，则 a，b，c 的大的大小关系是小关系是 ( ) （A）abc （B）bca （C）bac （D）cba （6 6）sin 180 2 1cos 2 cos2 cos 90 等于 等于( ) （A A）sin （B B）cos （C C）sin （D D）cos （7）已知平面向量）已知平面向量 a，b 的夹角为的夹角为 3，且 ，且|a|1，|b|1 2，则 ，则 a2b 与与 b 的夹角是的夹角是 ( ) （A） 6 （ （B）5 6 （C）
5、. 4 （ （D）3 4 （8）已知）已知, 是两个平面，是两个平面，,m n是两条直线，则下列命题是两条直线，则下列命题错误错误 的是的是 ( ) （A）如果）如果，n，那么，那么n （B）如果）如果m，n，那么，那么mn （C）如果）如果mn，m，那么，那么n （D）如果）如果mn，m，n，那么，那么 （9）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和和 b，则方程，则方程 ax2bx1 0 有实数解的概率是有实数解的概率是 ( ) （A）19 36 （B） 1 2 （C） 7 36 （ （D） 5 18 （10）若函数）若函数
6、 f(x)2x2 x a 的一个零点在区间的一个零点在区间(1,2)内，则实数内，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) （A）(1,3) （B）(1,2) （C）(0,3) （D）(0,2) （11）函数）函数 f(x)sin x(0)的图象向右平移的图象向右平移 12个单位长度得到函数 个单位长度得到函数 yg(x)的图象，并的图象，并 且函数且函数 g(x)在区间在区间, 6 3 上单调递增，在区间上单调递增，在区间, 3 2 上单调递减，则实数上单调递减，则实数 的值为的值为( ) （A）7 4 （B）3 2 （C）2 （D）5 4 （12） 双曲线） 双曲线 C： 22 22 1
7、(0,0) xy ab ab 的左右焦点分别为的左右焦点分别为 1 F， 2 F， C 的右支上一点的右支上一点P满满 足足 12 60FPF，若坐标原点，若坐标原点O到直线到直线 1 PF距离是距离是 3 2 a ，则，则 C 的离心率为的离心率为( ) （A）2 （B）3 （C）2 （D）3 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 （13）已知函数）已知函数 f (x)在在 R 上上单调递减，且为奇函数，则满足单调递减，且为奇函数，则满足 f (x1)f (x
8、3)0 的的 x 的取值的取值范围为范围为_ （14）在）在ABC 中，内角中，内角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c.若若ABC 的面积为的面积为 3 4 (a2 c2b2)，则，则 B_. （15）直线）直线 l 过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段两点，若线段 AB 的长是的长是 8，AB 的中点到的中点到 y 轴的距离是轴的距离是 2，则此抛物线的方程是，则此抛物线的方程是_. （16）已知球）已知球O表面上的四点表面上的四点A，B，C，D满足满足2ACBC，90ACB，若四，若四 高三数学理科第
9、高三数学理科第 2 2 页（共页（共 2 2 页）页） 面体面体ABCD体积的最大值为体积的最大值为 2 3 ，则球，则球O的表面积为的表面积为_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分。 （17）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 设设 Sn 是数列是数列an的前的前
10、 n 项和，且项和，且 a11， an+1Sn Sn+1 （1）证明：数列）证明：数列 1 Sn 是等差数列；是等差数列； （2）求数列）求数列an的通项公式的通项公式 （18）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） “大湖名城， 创新高地大湖名城， 创新高地”的合肥， 历史文化积淀深厚， 民俗和人文景观丰富， 科教资源众多，的合肥， 历史文化积淀深厚， 民俗和人文景观丰富， 科教资源众多， 自然风光秀美，成为中小学生自然风光秀美，成为中小学生“研学游研学游”的理想之地的理想之地.为了将来更好地推进为了将来更好地推进“研学游研学游”项目，项目，某旅某旅 游学校一位实习生，在某旅行社实习期间
11、，把游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自项目分为科技体验游、民俗人文游、自 然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游研学游”学校中，随机抽取了学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下：所学校，统计如下： 研学游类型研学游类型 科技体验游科技体验游 民俗人文游民俗人文游 自然风光游自然风光游 学校数学校数 4040 4040 2020 该实习生在明年省内有意向组织高一该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游研学游”学校中， 随机抽取了学校中， 随机抽取了 3 所学
12、校， 并以统计的所学校， 并以统计的 频率代替学校选择研学游类型的概率频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且 不受其他学校选择结果的影响不受其他学校选择结果的影响)： (1)若这若这 3 所学校选择的研学游类型是所学校选择的研学游类型是“科技体科技体验游验游”和和“自然风光游自然风光游”，求这两种类型都有，求这两种类型都有 学校选择的概率；学校选择的概率； (2)设这设这 3 所学校中选择所学校中选择“科技体验游科技体验游”学校数为随机变量学校数为随机变量 X，求，求 X 的分布列与数学期望的分布列与数
13、学期望. （19）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 如图，已知三棱柱如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，平面中，平面 11 AAC C 平面平面ABC， 1 AAAC，ACBC. (1)证明：证明： 1 AC 1 AB； (2)设设2ACCB， 1 60A AC， 求二面角求二面角 11 CABB的余弦值的余弦值. 20202020 年年 3 3 月月 检测考试检测考试 高三数学试题（理科）参考答案高三数学试题（理科）参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四
14、个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A D B C D A D A C C B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 （1313）(1，); ; （1414） 3 ; ; （1515）y28x ; ; （1616） 25 4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为题为必考题，必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须
15、作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 （1717）（本小题满分）（本小题满分 1010 分）分） 解：解：（1）因为）因为 an1Sn1Sn，所以所以 Sn1SnSn Sn1 两边同除以两边同除以 SnSn1得得 1 Sn1 1 Sn 1 因为因为 a11，所以所以 1 S1 1 因此数列因此数列 1 Sn是首项为 是首项为1，公差为，公差为1 的的等差数列等差数列 （6 分）分） （2）由（）由（1）得）得 1 Sn 1(n1)(1) n，Sn1 n 当当 n2 时时，anSn1Sn 1 n(n1
16、) 于是于是 an 1， n1， 1 n(n1)， ， n2，N* （12 分）分） （1818）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） A C B B1 C1 A1 高三数学理科第高三数学理科第 3 3 页（共页（共 2 2 页）页） 解：解： (1)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 2 5 ，选择“自然风光游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为 1 5 ， 若这若这 3 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有 学校选择的概率学
17、校选择的概率为：为： 22 22 33 211218 5555125 PCC . . 5 5 分分 (2)(2)X可能取值为可能取值为 0 0，1 1，2 2，3.3. 则则 3 0 3 327 0 5125 P XC ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 3 3 28 3 5125 P XC ， X的分布列为的分布列为 X 0 0 1 1 2 2 3 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX . . 1212 分分 或解：或解：随机变量随
18、机变量X服从服从 2 3 5 XB ， 26 3 55 EXnp . . 1212 分分 （1919）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 解：解：(1)(1)连结连结 1 AC. . 1 AAAC，四边形，四边形 11 AACC为菱形，为菱形， 11 ACAC. . 平面平面 11 AAC C 平面平面ABC，平面，平面 11 AACC平平面面ABCAC， BC 平面平面ABC，BC AC， BC 平面平面 11 AACC. . 又又 11 /BCBC， 11 BC 平面平面 11 AACC， 111 BCAC. . 1111 ACBCC， 1 AC 平面平面 11 ABC，而，而
19、 1 AB 平面平面 11 ABC， 1 AC 1 AB. . 5 5 分分 ( (2 2) )取取 11 AC的中点为的中点为M，连结，连结CM. . 1 AAAC，四边形，四边形 11 AACC为菱形，为菱形， 1 60A AC， 11 CMAC，CMAC. . 又又CMBC，以，以C为原点，为原点，CACBCM，为正方向建立空间直角坐标系，如图为正方向建立空间直角坐标系，如图. . 设设1CB ，22ACCB， 1 AAAC， 1 60A AC， C(0(0，0 0，0)0)， 1 A(1(1，0 0，3) )，A(2(2，0 0，0)0)，B(0(0，1 1，0)0)， 1 B( (-
20、 -1 1，1 1，3).). 由由 ( (1 1) ) 知 ， 平 面知 ， 平 面 11 C AB的 一 个 法 向 量 为的 一 个 法 向 量 为 1 1 03CA ，. . 设设平面平面 1 ABB的法向量为的法向量为nxyz，则，则 1 nAB nAB， 1 0 0 n AB n AB . . 2 1 0AB ， 1 3 1 3AB ， 20 330 xy xyz . . 令令1x ，得，得 1 2 3 yz，即，即 1 1 2 3 n ， ，. . 1 1 1 23 cos 416 2 3 CA n CA n CAn ， 二面角二面角 11 CABB的余弦值为的余弦值为 3 4
21、. . 1212 分分 （2020）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 解：解：(1)由题可知由题可知 c 3，a b 2，a2b2c2， a2，b1. 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为x 2 4 y21.5 5 分分 (2)易知当直线易知当直线 l 的斜率为的斜率为 0 或直线或直线 l 的斜率不存在时，不合题意的斜率不存在时，不合题意 当直线当直线 l 的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0 时，设直线时，设直线 l 的方程为的方程为 xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2) 联立联立 xmy1， x24y24 消去消去 x，可得，可得(4m2)y22my30. 高三数学理科第
22、高三数学理科第 4 4 页（共页（共 2 2 页）页） 16m2480，y1y2 2m 4m2， ，y1y2 3 4m2. 点点 B 在以在以 MN 为直径的圆上，为直径的圆上， BM BN 0. BM BN (my11，y11) (my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20， (m21) 3 4m2 (m1) 2m 4m2 20， 整理，得整理，得 3m22m50，解得，解得 m1 或或 m5 3. 直线直线 l 的方程为的方程为 xy10 或或 3x5y30.1212 分分 （2121）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 解：解： （1）当当0a 时时，( )
23、ln(2)(1)f xxx，定义域为定义域为( 2,)，由，由 1 ( )0 2 x fx x 得得 1x 当当 x 变化时，变化时， f (x)，f (x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： x (2，1) 1 (1，) f (x) 0 f (x) 极大值极大值 故当故当1x 时，时，f (x)取得极大值取得极大值 0，无极小值，无极小值 （5 分）分） （2） 1 ( )e 1(1) 2 ax fxa x x ，2x 当当0a 时时，因为，因为1x ，所以所以 2 1 ( )e (1)20 (2) ax fxaa x x ，( )fx在在( 1,) 单调递减单调递减因因为为( 1)1 e
24、0 a f ， 1 (0)0 2 fb，所以所以存在存在 1 ( 1,0)x ，使使 1 ()0g x， 当当 1 1xx 时时，( )0fx， 当， 当 1 xx时时，( )0fx， 所以， 所以( )f x在在 1 ( 1,)x单调递增， 在单调递增， 在 1 (,)x 单调递减单调递减所以所以 0 ()( 1)0f xf，而而(0)ln2 10f ，所以所以( )f x在在( 1,) 存在存在零点零点 （8 分）分） 当当10a 时时， 由由 （1） 得） 得ln(2)(1)xx， 于是， 于是e1 x x， 所以， 所以e1(1) ax axa x 所以所以( )e eln(2)(1)
25、e (1) ln(2) 1) axaxax f xxxxax 于是于是 11111 11 (e)e (e1)ln(e2)1)e (e1)ln(e)1)0 aaaaa faa 因为因为(0)ln2 10f ，所以所以所以所以( )f x在在 1 (e,) a 存在存在零点零点 综上，综上，当当1a ，0a 时时，函数，函数( )f x在在( 1,) 上上存在零点存在零点（12 分）分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。题计分。 （2222）选修选修 4-
26、4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （10 分）分） 解：解：（1）因为）因为l经过坐标原点经过坐标原点，倾斜角为倾斜角为，故，故l的的极坐标极坐标方程为方程为() R 1 C的的普通方程为普通方程为 22 (2)4xy，可得可得 1 C的的极坐标方程为极坐标方程为4cos（5 分分） （2）设）设 1 (, )A ， 2 (, )B ，则，则 1 4cos， 2 4sin 所以所以 12 | | 4|cossin| 4 2|sin()| 4 AB 由由题设题设 sin()1 4 ，因为因为0，所以所以 3 4 （10 分分） （2323）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 （10
27、分）分） 解解：（：（1） 2, ( ) , xa xa f xx a xa 由由2()0aa，0a，得得a的取值范围为的取值范围为(,0) （5 分分） （2）()() |f axafxaxaaxa 因为因为0a ，所以所以|(|1|)axaaxaa xxa 由由|1| |1|=|1|xxaxxaa ，得得(|1|)|1|a xxaaa 因为因为 22 () |1|f aaaa a，故故 2 ()()()f axafxf a（10 分分） （20）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的右焦点为的右焦点为 F( 3，0)，长
28、半轴与短半轴的比值为，长半轴与短半轴的比值为 2. 高三数学理科第高三数学理科第 5 5 页（共页（共 2 2 页）页） (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设经过点设经过点 A(1,0)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 相交于不同的两点相交于不同的两点 M， N.若点若点 B(0,1)在以线段在以线段 MN 为为 直径的圆上，求直线直径的圆上，求直线 l 的方程的方程 （21）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 已知函数已知函数( )ln(2)(1)eaxf xxx （1）若）若0a ，求，求( )f x极值；极值； （2）证明：当）证明：当1a ，0a 时，函数时，函
29、数( )f x在在( 1,) 上存在零点上存在零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。 （22）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 在直角坐标系在直角坐标系xOy中中，倾斜角为倾斜角为的的直线直线l经过经过坐标原坐标原点点O，曲线曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数为参数）以点以点O为极点为极点，x轴的轴的非非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程的极坐标方程为为4sin （1）求求l与与 1 C的极坐标方程；的极坐标方程； （2）设）设l与与 1 C的交点为的交点为O、A，l与与 2 C的交点为的交点为O、B，且，且| 4 2AB ，求求值值 （23）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 已知函数已知函数( ) |f xxa，当，当xR时，时，( )0f xx （1）求）求a的取值范围；的取值范围； （2）证明：）证明： 2 ()()()f axafxf a
