1、在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，nijaij1 nija ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija如，如，44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 23M23A 23M 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式定义：定义：.ijM记作：记作：行列式的每一个元素都对应一个余子式和代数余子式行列式的每一个元素都对应一个余子式和代数余子式111214313234414244
2、aaaaaaaaa2 3231M引理：引理：一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 如，如，二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则证：证：10 当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ija21222121100nnnnnaaaaaaaD 即
3、有：即有：1111Da M 1111111MA ,11M 1111 Da A20 再证一般情形再证一般情形,此时此时又又1111100jnnnjnnijaaaaDaaa,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得11i1,11,1,100 iijinnnjnijnaaaDaaaa,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得1,1,1111,11010ijijiinnjnjjnijnaaaDaaaa1i jijija M ijija A1122iiiiininDa Aa Aa A1,2,in证：证：nnnni
4、niinaaaaaaaaaD212111211000000 1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1,2,jn或或定理：定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和与其对应的代数余子式乘积之和，即：，即：nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1 11220,ijijinjna Aa Aa Aij11111111,niinjjnnnnjnjnjjaaaaaaaaa AaA证：证：
5、行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det(推论：推论：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：，即：11111111,niiniinnnninjnijaaaaaaaaa Aa A可得可得换成换成把把),1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkj
6、ki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中注：注：例例1 1 计算计算40000abaaabDbaaaba222(4)b ba例例2 计算计算 n 阶行列式阶行列式123211000001000000000001000001nnnnxxxDxxaaaaaa232112321nnnnnnaaxaxa xa xa x 证：证：用用数学归纳法数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例3证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).
7、(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式注：注：此结论可直接使用。此结
8、论可直接使用。数学归纳法数学归纳法如，如，232323111122223333nnnnDnnnn!(1)!(2)!2!1!n nn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设设 方程组方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.一、一、线性方程组线性方程组线性线性二、克拉默法则二、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111
9、 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1例例1 1 用克拉默法则解方程组
10、用克拉默法则解方程组 .6523,611,443,325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解:2311111140301253 D67,0 23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D,0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67 116713 ,673DxD,DDx067022 ,DDx216726733 .1676744 DDx三、重要定理三、重要定理 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1)(1)一定有解一定有
11、解,且解是唯一且解是唯一的的 .0,D 定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的解无解或有两个不同的解，定理定理2 2则它的系数行列式必为零，即：则它的系数行列式必为零，即：0D 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa四、四、齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理1.齐次线性方程组的零解与非零解齐次线性方程组的零解与非零解注：注：齐次线性方程组齐次线性方程组一定有零解一定有零解，但但不一定有非零解不一定有非零解。定理：定理：如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（2 2）有非零解有非零解,
12、则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零,即：即：0D 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（2 2）的系数行列式）的系数行列式 0D 定理：定理：则齐次线性方程组（则齐次线性方程组（2 2）没有非零解没有非零解。2.重要性质重要性质例例2 2 问问 取何值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？解：解：111132421D 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解齐次方程组有非零解0 D时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 或或 1.行列式按行（列）展开法
13、则是把高阶行列式行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式 的计算化为低阶行列式计算的重要工具的计算化为低阶行列式计算的重要工具.;,0,.21jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中小结小结3.3.克拉默法则及其重要性质克拉默法则及其重要性质思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和：求第一行各元素的代数余子式之和：.11211nAAA 思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 120010311011010n.11!2 njjn
