1、全国高校数学微课程教学设计竞赛知识点名称：知识点名称：110702 110702 第二型曲面积分的概念与性质第二型曲面积分的概念与性质 1回顾回顾(,)f x y z dS 第一型曲面积分第一型曲面积分双侧曲面双侧曲面2定向曲面的侧定向曲面的侧2定向曲面的侧定向曲面的侧北京凤凰国际传媒中心北京凤凰国际传媒中心湖南长沙龙王港中国结大桥湖南长沙龙王港中国结大桥单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带用用法向量法向量指向来确定定向曲面的侧：指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫指定了侧的双侧曲面叫定向曲面定向曲面，2定向曲面的侧定向曲面的侧方向余弦方向余弦侧的规定侧的规定cos 0 为上侧为上侧
2、0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧xyzx=x(y,z)前侧前侧(1,)yznxx (1,)yznx x 用用法向量法向量指向来确定定向曲面的侧：指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫指定了侧的双侧曲面叫定向曲面定向曲面，求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例分析引例流量：即稳定不可压缩流体单位时间内通过定向流量：即稳定不可压缩流体单位时间内通过定向曲面流向指定一侧的流体的质量。曲面流向指定一侧的流体的质量。(假定密度为假定密度为1)引例：求某拦水坝单位时间内通过一横截断面引例：求某拦水坝单位时间内
3、通过一横截断面指定一侧的河水的流量。指定一侧的河水的流量。(假定水的密度为假定水的密度为1)Avne A cos|vA 流量流量cosnv eA 求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例分析引例问题问题1nv e A xyzo 设水流速度是变量设水流速度是变量3分析引例分析引例,拦水坝的横截断面拦水坝的横截断面是是一定向一定向曲面曲面,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP定义在定义在上且上且都在都在上连续上连续,求在单位时间内流向求在单位时间内流向指定侧的指定侧的河水的流量河水的流量 。问题问题2xyzo dS(,)x y z(,)v x y z(,)ne x y z d(,)(
4、,)dnv x y zex y zS 元素法：元素法：流量元素为流量元素为(,)(,)dnv x y zex y zS 于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为d(,)(,)dnv x y zex y zS 流量元素为流量元素为(,)(,)dnv x y zex y zS 于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为(,)v x y z(,)nex y z (,)(,)(,)P x y z iQ x y z jR x y z kcoscoscosijk=(,)cos(,)cos(,)cos dP x y zQ x y zR x y z
5、S 其中其中4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k(,)(,)(,)(,)设设 是一片光滑的定向曲面，向量值函数是一片光滑的定向曲面，向量值函数 nex y zijk(,)coscoscos 在在 上有界，上有界，x y z(,)是定向曲面是定向曲面 上点上点 处的单位法向量，处的单位法向量，P x y zSQ x y zS(,)cosd(,)cosd 、若积分，若积分，R x y zS(,)cosd 同时存在，则称同时存在，则称(,)dydz dzdx dxdy 4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义P x y zQ
6、 x y zR x y zS(,)cos(,)cos(,)cos d F x y zS(,)d 第第二型曲面积分，记为：二型曲面积分，记为：F x y z(,)为向量值函数为向量值函数 在定向曲面在定向曲面 上的积分或上的积分或 dS （定向曲面元素）（定向曲面元素）(cos,cos,cos)dSdSdS=(,)nex y z dS 的坐标的坐标 dS F(x,y,z)dS 4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义(,)d d(,)d d(,)d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y (,)cos(,)cos(,)cosP x y zdSQ x y zdSR x y
7、 zdS 向量表达式向量表达式坐标表达式坐标表达式第一型曲面积分的表达式第一型曲面积分的表达式设水流速度是变量设水流速度是变量,拦水坝的横截断面拦水坝的横截断面是是一定向一定向曲面曲面,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP定义在定义在上且上且都在都在上连续上连续,求在单位时间内流向求在单位时间内流向指定侧的指定侧的河水的流量河水的流量 。问题问题2=(,)dv x y zS 4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义物理意义物理意义:流速为流速为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(的流体，在单位时间内流向的流体，在单位时间内流向指定侧的流量：指定侧的流量
8、：=(,)dv x y zS (,)d d(,)d d(,)d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 注：注：若若 是封闭曲面，则在是封闭曲面，则在 上的第二型曲面积上的第二型曲面积分可记为分可记为(,)d d(,)d d(,)d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义12d dd dd dP y zQ z xR x y 即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。线性性质线性性质设设 的反侧曲面记为的反侧曲面记为 ，则有：，则有：d dd dd dd dd dd dP y
9、 zQ z xR x yP y zQ z xR x y 5第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质123（对曲面的分片可加性）（对曲面的分片可加性）1 2 12d dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y（方向性）（方向性）第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义性质性质物理意义物理意义6小结小结1237思考思考两类型曲面积分有什么区别和联系，该如两类型曲面积分有什么区别和联系，该如何进行转化呢？何进行转化呢？11(,)d d(,)d d(,)d d21P x y zy zQ x y zz xR x y zx yxyz 练练习习：把把第第二二
10、型型曲曲面面积积分分化化为为第第一一型型曲曲面面积积分分，其其中中 是是平平面面3 3在在第第一一卦卦限限部部分分的的上上侧侧。谢谢大家！第二型曲面积分的概念比较抽象，首先第二型曲面积分的概念比较抽象，首先要讲清楚定向曲面的侧，结合图形讲解可以要讲清楚定向曲面的侧，结合图形讲解可以化抽象为具体。其次，从实际例子求拦水坝化抽象为具体。其次，从实际例子求拦水坝的河水流量出发，分别设计两个问题，结合的河水流量出发，分别设计两个问题，结合“元素法元素法”，可以由浅入深诱导出第二型曲，可以由浅入深诱导出第二型曲面积分的概念，并将它与第一型曲面积分进面积分的概念，并将它与第一型曲面积分进行比较区别，这样可以使得学生能较好地理行比较区别，这样可以使得学生能较好地理解第二型曲面积分的概念。解第二型曲面积分的概念。
