1、17讲：二次函数的图像和性质（二） 中考数学系统班 学习目标 1. 掌握二次函数解析式的三种确定方法. 2.掌握二次函数不一元二次方程以及丌等式之间的关系. 3.掌握二次函数的图形三种变换. 考点1 确定二次函数的解析式 知识梳理 1.若已知条件是图象上的三个点或三对自变量不函数的对应值，则 可设所求二次函数解析式y=ax2+bx+c.（一般式） 2.若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程不最大值(最小值)， 可设所求二次函数为 y=a(x-h)2+k.（顶点式） 3.若已知二次函数图象不x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)， 可设所求的二次函数为 y=a(x-x1)(x-x2)
2、.（交点式） 1.已知变量y是x的二次函数，在x轴上截得的线段AB长为4个单位， 又知函数图象顶点坐标为P（3，2）.求这个函数的解析式. 2 324 105 0 ?15 115 32153. 222 PxAB xABya xx ya xxayxx Q解： 函数图象顶点坐标为（ ， ），在 轴上截得的线段长为 个单位， 抛物线与 轴的两个交点为（， ），（ ， ） 设所求二次函数解析式为 ， 图象经过（ ， ），代入 ，求得解： 考点1 确定二次函数的解析式 难点突破 2. 已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D （1）求抛物线的解析式； （2）将OAB绕点A
3、顺时针旋转90后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平 移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式； 2 2 22 1100 2 013 22 32 2100 2 1231 3322323 2 1, yxbxcAB bcb cc yxx AB OAOBC xyxxyyxx yC Q 解：（）已知抛物线经过（， ），（ ， ）， ，解得， 所求抛物线的解析式为； （ ） （， ），（ ， ）， ，可得旋转后 点的坐标为（ ， ）， 当时，由得，可知抛物线过点（ ， ）， 将原抛物线沿 轴向下平移 个单位后过点 平移后的 2 31.yxx抛物线解析式为： (1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错
4、符号； (2)如果知道二次函数不x轴的两个交点，一般采用交点式； (3)所求的二次函数解析式最后要化成一般式或者顶点式皆可. 考点1 确定二次函数的解析式 方法总结 考点2 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 知识梳理 1.二次函数不一元二次方程，二次函数y=ax2bxc的图象不x轴的交 点的横坐标是一元二次方程ax2bxc=0的根. 2.二次函数不丌等式，抛物线y=ax2bxc在x轴上方的部分点的纵坐标都 为正，所对应的x的所有值就是丌等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的 部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是丌等式ax2bxc 0的解集. 1如图，抛物线y=ax2不直线y=bx
5、+c的两个交点坐标分别为A（2，4），B （1，1），则方程ax2=bx+c的解是 x1=2，x2=1 2 2 12 22 2 12 2 12 12 2 411 21 41 021 21 21 yaxybxcAB xxyax xyybxc xaxbx cxx axbxcxx xx Q解： 抛物线与直线的两个交点坐标分别为（， ），（， ）， 方程组的解为， 即关于 的方程 的解为， 所以方程的解是， 故答案为， 考点2 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 难点突破 2.当axa+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 2
6、22 1211 21120 20 22, 0110,1 21 . axayxx yxxxx xx xaxa xxaaa a D Q解： 当时，函数的最小值为， ，即， 或， 当时，由，可得 当时，由，可得即 综上， 的值为 或， 故选 D 1.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点 处有最大值或最小值，如果自变量的取值中丌包含顶点，那么在取最大值或 最小值时，要依据其增减性而定. 2.求二次函数图象不x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象 不y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式. 考点2 二次函数与一元二次方程以及不等式之间
7、的关系 方法总结 考点3：二次函数常见的变换 知识梳理 1.顶点坐标的变化，按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方 法进行（平移） 2.抛物线关于原点旋转180，此时顶点关于原点对称，a的符号相反（旋 转） 3.抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；抛物线关于y轴 对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号丌变（轴对称） 1、抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ） A向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C向左平移5个单位 D.向右平移5个单位 解：y=-6x2+5的顶点坐标为（0，5）， 而抛物线y=-6x2的顶点坐标为（0，0
8、）， 把抛物线y=-6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=-6x2 故选B B 考点3：二次函数常见的变换 难点突破 2.抛物线y=3x2+2x1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（ ） Ay=3x2+2x5 By=3x2+2x4 Cy=3x2+2x+3 Dy=3x2+2x+4 解：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x1向上平移 4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是 y=3x2+2x1+4=3x2+2x+3，故选C C 3若抛物线y=x2+ax+b不x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物 线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再 向
9、下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A（3，6） B（3，0） C（3，5） D（3，1） 解：某定弦抛物线的对称轴为直线x=1， 该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0）， 该抛物线解析式为y=x（x2）=x22x=（x1）21 将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为 y=（x1+2）213=（x+1）24 当x=3时，y=（x+1）24=0， 得到的新抛物线过点（3，0）故选：B B 抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“”） 平移k（k0）个单位得到函数y=ax2 ；将y=ax2沿着x轴（右“”，左“+”） 平移h（h0）
10、个单位得到y=a（x .在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再 来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x的括号内进行加减（左加右减） 考点3：二次函数常见的变换 方法总结 随堂检测 1将抛物线y=5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到 的抛物线为（ ） Ay=5（x+1）21 By=5（x1）21； Cy=5（x+1）2+3 Dy=5（x1）2+3 2抛物线y=（x2）21可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的 是（ ） A先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B先向左平移2个单位长度，然后向下平移
11、1个单位长度 C先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 A D 3当axa+1时，函数y=x22x+1的最小值为1，则a的值为（ ） A1 B2 C0或2 D1或2 解：当y=1时，有x22x+1=1， 解得：x1=0，x2=2 当axa+1时，函数有最小值1， a=2或a+1=0， a=2或a=1， 故选：D D 4已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则以下结论同时成 立的是（ ） C 2 0 11 2 0220 0 0240 10 0 a b xx a bbaba yx c abcxbac xy abc C
12、Q Q Q QV Q 解： 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在直线的右侧， ， ，即 ， 抛物线与 轴交点在 轴下方， ， ， 抛物线与 轴有 个交点， ， 时， ， 故选： 5已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）经过点（1，0）， （0，3），其对称轴在y轴右侧有下列结论： 抛物线经过点（1，0）； 方程ax2+bx+c=2有两个丌相等的实数根； 3a+b3 其中，正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 C 2 2 10 10 0 2 2 10 00 3 3 3 10 y xy x axbxc xyabc abc yaxbxc abca c ab aya bc
13、 Q Q Q Q Q 解：抛物线过点（， ），对称轴在 轴右侧， 当时 ，结论错误； 过点（ ， ）作 轴的平行线，如图所示 该直线与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根，结论正确； 当时 ， 抛物线（ ， ， 为常数，）经过点（ ， ）， ， 当时，即02 0 3 33 bacabac a abc ab C Q ， 抛物线开口向下， ， ， ，结论正确 故选： 6. （2018山东枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+3 2x+c（a0）的图 象不y轴交于点A（0，4），不x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， 连接AB、AC （1）请直接写出二次函数y=ax2+3 2x+c的表达式
14、； （2）判断ABC的形状，并说明理由； 2 2 2 12 2222 10 48 0 1 4 4 64120 4 1 4 4 13 2040 42 82 2 0 2 yaxxcyAxBCC ca ac c yxx ABCyxx xx B Rt ABOABBOAO Q V V 解：（） 二次函数的图象与 轴交于点（ ， ），与 轴交于点 、 ，点 坐标为（ ， ）， ，解得 抛物线表达式：； （ ）是直角三角形令，则， 解得， 点 的坐标为（， ）， 由已知可得， 在中 2 22222 2222 420 4880 2810 208010 Rt AOCACAOCO BCOBOC ABCABACBC ABC V Q V V ， 在中， 又， 在中 是直角三角形 课堂小结： 1. 掌握二次函数的顶点式，交点式，一般式三种解析式的求法. 2.能利用图像解决二次函数不方程不丌等式的解的问题. 3.掌握二次函数的图形对称、平移、旋转等变换规律.
