1、天行健，君子以天行健，君子以自强不息自强不息；地势坤，君子以地势坤，君子以厚德载物厚德载物。摘自：周易第七章第七章 地统计插值地统计插值第七章第七章 地统计插值地统计插值一、克立格法简介理解二、简单克立格与普通克立格掌握三、泛克立格法掌握四、协同克立格法掌握五、其他克立格法理解+了解1、克里格法概念及分类克立格法(kringing)，又称克里金法、空间局部估计或空间局部插值，是建立在变异函数理论及结构分析基础上，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏最优估计的一种方法一、克立格法简介分类：分类：n 简单克立格法n 普通克立格法普通克立格法(Ordinary Kriging)点克立格法(Puct
2、ual Kriging)块段克立格法(Block Kriging)n 泛克立格法(Universal Kriging)n 协同克立格法(Co-Kriging)n 对数正态克立格法(Logistic Normal Kriging)n 指示克立格法(Indicator Kriging)n 析取克立格法(Disjuctive Kriging)一、克立格法简介2、克里格估计量(Kriging estimator)显然，估计的好坏取决于权重系数显然，估计的好坏取决于权重系数i一、克立格法简介待估点或待估块段待估点或待估块段的估计值的估计值待估点或待估块段影响范围内的有待估点或待估块段影响范围内的有效样本
3、值效样本值权重系数权重系数克立格估计量克立格估计量（1 1）无偏估计）无偏估计（2 2）最优估计）最优估计第七章第七章 地统计插值地统计插值一、克立格法简介理解二、简单克立格与普通克立格掌握三、泛克立格法掌握四、协同克立格法掌握五、其他克立格法理解+了解1、简单克里格法、简单克里格法二、简单克立格与普通克立格设Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳假设或本征假设，其数学期望为m，为已知常数，协方差函数为C(h)，变异函数为(h)点：点：块段：块段：待估块段为V,中心点在x,平均值为在待估块段V附近有n个样点xi(i=1,2,n),其观测值为Z(xi)(i=1,2,n)，则：二、简单克立格与普通克立
4、格EZ(x)=m已知，令Y(x)=Z(x)-m，则 EY(x)=EZ(x)-m=EZ(x)-m=0 CY(x),Y(y)=EY(x)Y(y)待估块段新变量，观测值新变量为：Y(xi)=Z(xi)-m目标目标：找出一组权重系数 i(i=1n)，使得Zv#(x)成为ZV(x)的线性、无偏、最优估计量二、简单克立格与普通克立格Y(V)的估计值Yv#是Y(xi)(i=1,2,n)的线性组合，则：则估计Z(V)的问题转化为估计Y(V)的问题在满足以下两个条件时，Yv#是Y(V)的线性、无偏、最优估计量。(1)(1)无偏性无偏性二、简单克立格与普通克立格(2)(2)最优性最优性对系数 i求偏导，并令其为0
5、，令n=3则偏导数通式为：则n个未知量，n个方程，解出系数 i，即，整理得简单克立格方程组，二、简单克立格与普通克立格得Y(V)的简单克立格估计量，记为Yk#得到简单克立格估计方差:二、简单克立格与普通克立格2、普通克里格法、普通克里格法二、简单克立格与普通克立格设Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳假设或本征假设，其数学期望为m，为未知未知常数，协方差函数为C(h)，变异函数为(h)点：点：块段：块段：估计中心点为x，体积为V的待估块段的平均值ZV(x),在待估块段V附近有n个样点xi(i=1,2,n),其观测值为Z(xi)(i=1,2,n)，则：二、简单克立格与普通克立格目标目标：找出一组权
6、重系数 i(i=1n)，使得ZV#(x)成为ZV(x)的线性、无偏、最优估计量(1)(1)无偏性无偏性即普通克立格是即普通克立格是条件条件无偏无偏二、简单克立格与普通克立格(2)(2)最优性最优性补充：条件极值补充：条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法若求函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的可能极值点，可先建立拉格朗日函数：拉格朗日函数：F(x,y)=f(x,y)+(x,y)。为拉格朗日乘子拉格朗日乘子，对函数求x,y变量的一阶偏导偏导，并使之为0，与条件条件联立建立方程组。fx(x,y)+x(x,y)=0fy(x,y)+y(x,y)=0(x,y)=0对自变量多于两个的函数z=f(x
7、1,x2xn)在条件i(x1,x2xn)=0下的可能极值点求法同上：先建立拉格朗日函数，然后建立方程组。确定函数：建立方程组：普通克立格方程组普通克立格方程组n+1个未知量(i(i=1n),),n+1个方程则普通克立格估计量为Zk#:则普通克立格估计方差:普通克立格方程组和估计方差的变异函数表达：在二阶平稳条件二阶平稳条件下，可采用协方差或变异函数的方程组或计算式进行求解计算；在本证假设条件本证假设条件下，则只可采用变异函数的表达式求解计算当样品不是点支撑，而是以xi为中心的小块段vi时，普通克立格方程组和估计方差的表达式为：你会发现变化的只是xi到vi普通克立格方程组和估计方差的矩阵矩阵表达
8、：展开后？则普通克立格方程组矩阵矩阵表达为：K称为普通克立普通克立格矩阵格矩阵估计方差的矩阵矩阵表达：普通克立格方程组和估计方差矩阵的变异函数表达：注意：当样品不是点支撑，而是以xi为中心的小块段vi时，以上矩阵适用，只需将xi换为vi，但含义不同。假设条件适用情况同前。作业作业4 4 （1）写出普通克里格方程组和估计方差的推导过程，并分别用协方差函数和变异函数表达；（2）写出普通克里格方程组和估计方差的矩阵表达式推导过程，并分别用协方差函数和变异函数表达；(1)点普通克里格法的计算规则格网采样数据3、普通克里格法的计算、普通克里格法的计算二、简单克立格与普通克立格不规则格网采样数据(2)块段
9、普通克里格法的计算点采样数据块段采样数据(1)点点普通克里格法的计算普通克里格法的计算规则格网采样数据规则格网采样数据二、简单克立格与普通克立格在一研究区内，Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳假设，协方差函数为C(h)，变异函数为(h)，且是一个二维各向同性各向同性的球状球状模型普通克立格估计量为：=22-0.51812.66+0.022 4.98+0.089 1.72+0.371 9.84+0.916=12.44(1)利用excel软件，用协方差函数表达式将前述的普通克里格插值计算过程做出，并计算出相应的估计方差；(2)利用excel软件，用变异函数表达式将前述的普通克里格插值计算过程做出，
10、并计算出相应的估计方差。备注：excel矩阵求逆函数minverse(),转置函数transpose()，相乘函数mmult()核心内容，必须掌握核心内容，必须掌握作业作业5 50.5180.0220.0890.3710.1470.1710.6050.077“屏蔽”作用(1)点点普通克里格法的计算普通克里格法的计算 不规则格网采样数据不规则格网采样数据二、简单克立格与普通克立格在一研究区内，Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳假设，协方差函数为C(h)，变异函数为(h)，且是一个二维各向同性各向同性的指数指数模型。模型参数为C0=0,C=10,a=10，模型为x1x2x3x4x5x6x7Vx0(
11、2)块段块段普通克里格法的计算普通克里格法的计算二、简单克立格与普通克立格点采样数据采样点为点支撑，待估为块段v：可将v离散成若干点，求采样点和离散点之间的协方差函数或变异函数值之和，后取平均01020304V01020304v101020304V(2)块段块段普通克里格法的计算普通克里格法的计算块段采样数据业精于业精于勤勤，荒于嬉；，荒于嬉；行成于行成于思思，毁于随。，毁于随。摘自：韩愈的进学解第七章第七章 地统计插值地统计插值一、克立格法简介理解二、简单克立格与普通克立格掌握三、泛克立格法掌握四、协同克立格法掌握五、其他克立格法理解+了解第四节第四节 泛克里格法泛克里格法泛克里格法产生的原
12、因泛克里格法产生的原因普通克里格普通克里格要求区域化变量在给出的邻域内，是平稳的，至少是准平稳准平稳的，但实际中，许多区域化变量在研究区内是非平稳的。若区域化变量Z(x)是非平稳是非平稳的，即EZ(x)=m(x),则m(x)叫做漂移漂移(drift),一般理解为趋势趋势所谓泛克里格法泛克里格法，就是在漂移的形式EZ(x)=m(x)、非平稳随机函数Z(x)的协方差C(h)或变异函数(h)为已知条件下，一种考虑到有漂移的无偏、线性估计量的地统计学方法。漂移和平稳漂移和平稳平稳和非平稳的相对性平稳和非平稳的相对性总体上具有漂移总体上具有漂移局部上具有漂移局部上具有漂移小山包，比例尺，地球，卫星小山包
13、，比例尺，地球，卫星平稳和非平稳取决于观测尺度的大小和数据的密集程度，而不是现象本身所固有的不可改变的属性假设有一组具有漂移的数据假设有一组具有漂移的数据Z(x)，则，则 Z(x)=m(x)+R(x)Z(x):观测量观测量 m(x):漂移漂移 R(x):涨落涨落1、漂移和涨落（剩余）、漂移和涨落（剩余）一、漂移一、漂移 点点x上的漂移就是该点上随机函数上的漂移就是该点上随机函数Z(x)的期望，的期望，m(x)=Ez(x)2、漂移的形式、漂移的形式一维条件下，一维条件下，二维条件下，二维条件下，三维条件下，三维条件下，实际工作中，根据中心点实际工作中，根据中心点x有限邻域有限邻域D(x)内的全部
14、有内的全部有效数据计算效数据计算D(x)内的漂移，一般只需一次或两次多内的漂移，一般只需一次或两次多项式。项式。一维线性漂移一维线性漂移al:未知系数未知系数 fl(x):x方向上的单项式值。方向上的单项式值。漂移一般表达式漂移一般表达式涨落涨落)x(m)x(Z)x(R随机函数随机函数0)x(ER平稳平稳平稳平稳m(x)表现出随机函数的规则而连续变化，表现出随机函数的规则而连续变化，随机函数随机函数R(x)可认为是漂移附近误差的波动。可认为是漂移附近误差的波动。二、二、Z(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计 设设Z(x)为一非平稳区域化变量，且有为一非平稳区域化变量，且有 设设z(x)的泛克
15、里格估计量为的泛克里格估计量为 ，已知，已知n个样个样点点 的变量值为的变量值为Za,则则（1）无偏性条件）无偏性条件无偏性条件无偏性条件（2）最优性条件）最优性条件（3）泛克里格方程组）泛克里格方程组在无偏性条件下，使估计方差极小。在无偏性条件下，使估计方差极小。求解条件极值求解条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法泛克里格泛克里格方程组方程组泛克里格泛克里格方差方差第五节第五节 其它克里格法其它克里格法一、协同克里格法一、协同克里格法协同区域化(coregionalization):是指定义于同一空间域中的不同区域化变量，它们在统计意义及空间位置上均具有某种程度的相关性，这种相关性称为协同区
16、域化或横相关。描述协同区域化现象的变量称为协同区域化变量。协同克里格法(cokriging):是利用变量间的互相关性，用其中易于观测的变量对另一变量进行局部估计的方法。二、对数正态克立格法二、对数正态克立格法 Logistic Normal Kriging如果区域化变量Z(x)是对数正态分布的，那么Y(x)=logZ(x)就是一个正态分布，并且Z的估计值可以通过Y的克里金估计值来计算，就称为对数正态克里金法。简言之，就是对服从对数正态分布的区域化变量进行精确估计的一种地统计学方法三、指示克立格法三、指示克立格法 Indicator Kriging四、析取克立格法四、析取克立格法 Disjuct
17、ive Kriging是一种获取测量的指示变量高于某一预设容许水平的条件概率的方法。为权重系数iniiiVxZxZ1#)()(0)()(#xZxZEvmin)()()()(2#xZxZExZxZVarvvvvdxxZvxZvv)(1)(#dxxZvxZvv)(1)(*dxxZvxZvv)(1)(mmdxVdxxZEVdxxZVExEVVVVZ1)(1)(1)(1)()()()(1111#*niiniiiniiiniivvmxZExZExZEmxZE时，即当dxxZVZVV)(1dxxZVxZVV)(1)(njjijinnniniiiiiiiinnininiiiiiiiiiiiinjnjjnjn
18、jijinjjjnjjjininjjijixxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxC122112211221122111112211111),(2),(),(),(2),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()3,3(33)2,3(23)1,3(13)3,2(32)2,2(22)1,2(12)3,1(31)2,1(21)1,1(11),(),(),(2),(),(),(2),(3322113131312xxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCxxCVxCV
19、xCVxCVVCxxCVxCVVCijjijiiiiE0),(2),(2)3,1(32)2,1(22)1,1(12),(2)1,3(3)1,2()3,1(3)2,1(2)1,1(12),(2311112112jjjExxCVxCxxCxxCxxCVxCxxCxxCxxCxxCxxCVxC0),(2),(20),(2),(2313332312222jjjEjjjExxCVxCxxCVxC同理：0),(2),(212njjijiiExxCVxCniiiVxYY1#)(niiiKxYY1#)(),(),(1VxCxxCinjjij),(),(),(),(2),(),(),(2),(),(),(2),
20、(1111111112VxCVVCVxCVxCVVCxxCVxCVVCxxCVxCVVCiniiniiiiniininjjijiiniininjjijiiniiK),(2),(),(1112VxCxxCVVCiniininjjijiE)1(212niiEF令)1(2),(2),(),(1111niiiniininjjijiVxCxxCVVC2),(2),(2),(2),(2112njjijiiinjjijiExxCVxCFVxCxxC),(2),(),(1112VxCxxCVVCiniininjjijiK0102),(2),(211niiinjjijiVxCxxCF1),(),(11niiin
21、jjijVxCxxCniiiKxZxZ1#)()(),(),(),(2),(),(11112VxCVVCVxCxxCVVCiniiiniininjjijiK1),(),(11niiinjjijVxxx),(),(12VVVxiniiK带入，把),()0(),(),()0(),(jijiiixxCxxCVxCVxC1),(),(11niiinjjijVvCvvC),(),(12VvCVVCiniiK1),(),(11niiinjjijVvvv),(),(12VVVviniiK1),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2122112222212111212111nn
22、nnnnnnnnnVxCxxCxxCxxCVxCxxCxxCxxCVxCxxCxxCxxC),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(22112222212111212111VxCxxCxxCxxCVxCxxCxxCxxCVxCxxCxxCxxCnnnnnnnnnn1),(),(),(2122112222221111122111nnnnnnnnnnnVxCCCCVxCCCCVxCCCC0111111212222111211nnnnnnCCCCCCCCCKn211),(),(),(M21VxCVxCVxCnMM1KKMTVVCK),(20111111212222111
23、211nnnnnnKn211),(),(),(M21VxVxVxnMM1 KK),(2VVMTK41#0)()(iiixZxZ普通克立格估计量：1011111111040302011444342413433323124232221141312114321CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC364.1077.0605.0147.0171.0122.166.1298.498.401111122029.098.4102233.223.1129.033.22284.9198.423.184.92214321)(41),(1041031021011CCCCVxC)(161),(04040403040204010304030303020301020402030202020101040103010201011CCCCCCCCCCCCCCCCVvC
