1、复数的概念及复数的概念及复数的几何意义复数的几何意义 数的概念是从实践中产生数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实断的被扩大充实从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？自然数集自然数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集NZ ZQ QR 我们可以用下面一组方程来形象的说明我们可以用下面一组方程来形象的说明 数系的发展变化过程数系的发展变化过程：（1 1）在自然数集中求方程）在自然数集中求方程 x+1x+10 0的解？的解？（2 2）在整数集中求方程）在整数集
2、中求方程 2x+12x+10 0的解？的解？（3 3）在有理数集中求方程）在有理数集中求方程 x x2 2-2-20 0的解？的解？（4 4）在实数集中求方程）在实数集中求方程 x x2 2+1+10 0的解？的解？对于一元二次方程对于一元二次方程 没有没有实数实数根根012 x12 x2()1i i （1）（2）i 全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做，用字母，用字母 表示表示.形如形如a+bi（a,b ）的数叫做复数的数叫做复数.其中其中i是虚数单位是虚数单位.R通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。i20,2,3,2
3、iiii123说出下列复数的实部和虚部：说出下列复数的实部和虚部：练一练一练练CR (,)zabia bR复数2.2.复数的分类：复数的分类：00 ba，非纯虚数00 ba，纯虚数 0b虚数 0b实数虚数集虚数集复数集复数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集 3.3.规定：规定：,Rdcba 若dicbia dbca注：注：1)000abiab且 2)2)一般来说，一般来说，两个复数只能说相等或不相等，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。而不能比较大小。1.1.说明下列数中，那些是说明下列数中，那些是实数实数，哪些是，哪些是虚数虚数，哪些是哪些是纯虚数纯虚数，并指出复数的实部与虚部，并指出复
4、数的实部与虚部.,72,618.0,72i,293i13,i,2i0 058i例例1.1.实数实数m取什么数值时，复数取什么数值时，复数z z=m+1+(m1)i是：是：（1 1）实数？）实数？（2 2）虚数？（）虚数？（3 3）纯虚数？）纯虚数？0101mm解：复数解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为中，因为mR，所以，所以m+1，m1都是实数，它们分别是都是实数，它们分别是z的实部和虚部，的实部和虚部，（1）m=1时，时，z z是实数；是实数；（2）m1时，时，z z是虚数；是虚数；（3）当）当 时，即时，即m=1时，时，z z是纯虚数；是纯虚数；练习练习:当当m m为何实数时，复数为
5、何实数时，复数 是（是（1 1）实数（）实数（2 2）虚数（）虚数（3 3）纯虚数）纯虚数immmZ)1(222 1m2m1m例例2.已知已知(2x1)+i=y(3y)i，其中其中x,yR，求求x,y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部实部，虚部等于虚部，得方程组，虚部等于虚部，得方程组，解得解得 x=,y=4.211(3)xyy 25课本第课本第104页页练习第练习第3题题1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：),(RbRabiaz dicbia dbca 你能否找到用来表示复数的你能否找到
6、用来表示复数的几何模型几何模型呢？呢？xo1实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。一一对应一一对应 规定了正方向，规定了正方向，直线直线数轴数轴原点，原点，单位长度单位长度实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)(几何模型几何模型)一个复数由什么一个复数由什么唯一确定？唯一确定？Z=a+bi(a,bR)实部实部!虚部虚部!复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应 建立了平面直角坐标系建立了平面直角坐标系来表示复数的平面来表示复数的平面-复平面复平面其中：其中：x轴轴-实轴实轴
7、y轴轴-虚轴虚轴xyobaZ(a,b)z=a+bi由于向量由于向量 由点由点Z唯一确定，唯一确定，所以复数的第二个几何意义是：所以复数的第二个几何意义是：OZ复数复数z=a+bi一一对应一一对应平面向量平面向量 OZ复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)平面向量平面向量 OZ规定：相等的向量表示同一个复数。规定：相等的向量表示同一个复数。（1）实轴上的点都表示实数；）实轴上的点都表示实数；注：（2）虚轴上的点）虚轴上的点除原点外除原点外都表示纯虚数。都表示纯虚数。例例1、设中 和复平面内的点 对应，当a、b满足什么条件时，点Z位于：(1)实轴上？（2）虚轴上（原点除外）？（3
8、）实轴的上方？（4）虚轴的左方？(,)zabi a bR(,)Z a b例例2 2、已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i 在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m 的取值范围。的取值范围。表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)020622mmmm解：由1223mmm或得(3,2)(1,2)m 变式：变式：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)
9、+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i 在复平面内所在复平面内所对应的点在直线对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m m的值。的值。解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），），(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，m=1或或m=-2。实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义能否把实数绝对值概念能否把实数绝对值概念推广到复数范围呢？推广到复数范围呢？实数实数a在数轴上所在数轴上所对应的点对应的点A到原点到原点O的距离。的距离。复数绝对值复数绝对值的的几何意
10、义几何意义 复数复数 z=z=a+bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(a,b)到原到原点的距离。点的距离。XOAa|a|=|OA|xOz=a+biyZ(a,b)|z|=|OZ|(复数复数z的模的模)22ba 例例3、求下列复数的模：求下列复数的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)(3)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(2)(2)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR)(5)z5=4a-3ai(a0)(1)(1)复数的模能否比较大小？复
11、数的模能否比较大小？这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？xyO设设z=x+yi(x,yR)R)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形？样的图形？55555|22yxz 1、设z ,满足下列条件的点 Z的集合是什么图形？C练习：练习：2、下列命题中的真命题的个数是（、下列命题中的真命题的个数是（）个）个(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(2)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(3)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(4)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。|2z（1）2|3z（2）课堂小结：课堂小结：复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)平面向量平面向量 OZ|z|=|OZ|(复数复数z的模的模)22ba
