1、1第第2章章 牛顿运动定律牛顿运动定律 -动能、势能和功能原理动能、势能和功能原理吴庆文吴庆文2.constF x 1v2vmFa xavv 22122xFmvmv 21222121第第9节节 动能动能 动能定理动能定理动能动能 221mvEk 功功 AAEk 动能定理：动能定理：合外力对质点合外力对质点做的功等于其动能的增加。做的功等于其动能的增加。单位单位:焦耳焦耳 符号符号J 1J1Nm 一维匀加速运动：一维匀加速运动：3dr rr abFott+dt一般情况：一般情况：)221d(dmvEk)2z2y2xd(21vvvm zzyyxxvmvvmvvmvddd zyxvtzmvtymvt
2、xmddddddddd txvxdd zFyFxFzyxddd ArFdd rFAbaabd 元功元功功功kakbbaEErFA d动能定理动能定理4功率功率做功的快慢做功的快慢平均功率：平均功率：瞬时功率瞬时功率(功率功率)：tAP tAPdd rFAdd 单位单位:瓦特瓦特 符号符号W 1W1Js1 合力做的功：合力做的功：若有多个力同时作用在质点上，则若有多个力同时作用在质点上，则dbabaAFr d12(.)baFFr dd12.bbaaFrFr .AA 21分力做功的代数和分力做功的代数和vFtrF dd5例例1.速度大小为速度大小为v0=20m/s的风作用于面积为的风作用于面积为S
3、=25m2 的船帆上的船帆上,作用力作用力 ,其中其中a为无为无 量纲的常数量纲的常数,为空气密度，为空气密度，v为船速。为船速。(1)求风的功率最大时的条件；求风的功率最大时的条件；(2)a=l,v=15m/s,=1.2kg/m,求求t=60s内风力所做的功。内风力所做的功。20()/2FaS vv 20()/2aS vv v 解解:(1)vFPFvdd0Pv 令令即即dd20()/20aS vv vv 00()(3-)0vvv v 03vv 则则时时,P最大。最大。6(2)当当a=l,v=15m/s,=1.2kg/m时时,求求t=60s内风力所做的功。内风力所做的功。ddAPt d0ttA
4、P td200()2taS vv vt 20()2aS vvvt 21 25 1.2(2015)15602 53.3810()J 解解:721FF 0 合合F021 AAA合合xFA 11xxFA 221Fx vv2F1x2x正功正功负功负功注意：注意：(1)功是标量功是标量，但有，但有正负正负,且且与参考系有关与参考系有关。(2)力对质点所做的功力对质点所做的功,不仅与始、末位置有关，不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关而且往往与路径有关。x8保守力保守力：对质点做功的大小：对质点做功的大小只与质点的只与质点的始末位置始末位置有关，而与路径无关有关，而与路径无关。非保守力非保守力：对质点
5、做功的大小不但与质点的始末位：对质点做功的大小不但与质点的始末位置有关，而且还与路径有关。置有关，而且还与路径有关。第第10节节 保守力保守力 势能势能如：摩擦力如：摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力等。属于非保守力等。如：重力、弹力、万有引力等。如：重力、弹力、万有引力等。简单判据（充分条件）：简单判据（充分条件）：（1）对于一维运动，力是位置）对于一维运动，力是位置x的单值函数则为保的单值函数则为保 守力，如弹性力；守力，如弹性力；（2）一维以上的运动，大小与方向都与位置无关的）一维以上的运动，大小与方向都与位置无关的力，如重力；力，如
6、重力；（3）有心力）有心力 9)(rEp baabrFAd保保 babpaprFrErEd保保)()(势势能能零零点点保保rprFrEd)(选取某处选取某处(b)的势能的势能为为0pbpapErErE )()(势能势能保守力做的功等于保守力做的功等于势能增量的负值势能增量的负值。即：质点在保守力场中任一位置的势能等于把质点即：质点在保守力场中任一位置的势能等于把质点由该位置移到势能零点过程中保守力所做的功。由该位置移到势能零点过程中保守力所做的功。10弹力：弹力：221kxxEp)(xb=0为势能零点为势能零点重力：重力：)(bbabaabyymgymgrgmAaddyb=0为势能零点为势能零
7、点万有引力：万有引力：rerMmGF2 barabrerMmGAd2mgyrEp)(几种常见保守力：几种常见保守力：有心力有心力baabi xikxA)d(baxkxd222121bakxkx 11 barabrerMmGAd2)()(rrrrrrerereereredddd rreerrdd rd babaabrGMmrGMmrrMmGA d2 势势能能零零点点保保rprFrEd)(rGMmrEp )(rb=为势能零点为势能零点Mmrrrd rdrerdrerd引力势能，引力势能，负值负值。它表示一质点从引力场中某。它表示一质点从引力场中某处移到无限远过程中，万有引力总是做负功。处移到无限远
8、过程中，万有引力总是做负功。12（1）保守力）保守力(如如:重力重力,弹力弹力,万有引力万有引力)的功与路的功与路 径无关径无关,由此可以引入的势能概念。由此可以引入的势能概念。（2）质点在任一位置的势能）质点在任一位置的势能,等于把质点由该位置等于把质点由该位置 移到势能为零的点的过程中移到势能为零的点的过程中,保守力所做的功保守力所做的功:注：注：d()babpbpaaAFrEE 0pbE设设：papaEE )0(原则上原则上,势能零点可任选。势能零点可任选。（3）保守力将质点由）保守力将质点由 a 沿任意路径移动到沿任意路径移动到 b 再由再由 b 沿任意路径移回到沿任意路径移回到 a
9、点，那么点，那么0)(aaabaEEA保守力的环流为零保守力的环流为零 d0abaAFr 保保即即ab13由势能求保守力由势能求保守力 保守力做功等于势能增量的负值保守力做功等于势能增量的负值ddPAE )(zy,x,dddd()PPPEEEAxyzxyz 又又ddAF r ddd()()xyzF iF jFki xj yk z dddxyzFxFyF z 比较以上式子可得比较以上式子可得dddddd()PPPxyzEEExyzF xF yF zxyz ddd()()()0PPPxyzEEEFxFyFzxyz 14ddd()()()0PPPxyzEEEFxFyFzxyz要求上式对任意的要求上式
10、对任意的dx,dy,dz成立成立,则必有：则必有：(,)PiEFix y zi 若已知系统势能若已知系统势能,利用上式利用上式,可由势能求保守力可由势能求保守力.221kxEp kxxEFp dd15第第11节节 功能原理功能原理 机械能守恒机械能守恒 bababaabrFrFrFAddd非非保保保保kakbEE)()(bpaprErE barFd非非保保=+非非保保abA)()(apkabpkbabrEErEEA 非非EEEAabab 非非系统机械能的增量等于非保守力的做功。系统机械能的增量等于非保守力的做功。功能原理功能原理 pkEEE 称为：机械能称为：机械能kkakbbaabEEErF
11、A d质点的动能定理：质点的动能定理：16)()(apkabpkbrEErEEE 系统机械能守恒系统机械能守恒:只有保守力作功只有保守力作功,系统的总机械能保持不变。系统的总机械能保持不变。质点系质点系的动能定理：的动能定理：内内外外iibaiiAArFA d内内外外iiiFFF ikiiiiiiiEAAA内内外外kEAA 内内外外kiE 对所有质点求和：对所有质点求和：外力的总功与内力的总功之代数和等于质点系外力的总功与内力的总功之代数和等于质点系动能的增量动能的增量质点系的动能定理质点系的动能定理 EEEAabab 非非0 非非保保如如果果abA0 E注意：系统动量的改变仅取决于系统所受到
12、的外力，但系统动能的改注意：系统动量的改变仅取决于系统所受到的外力，但系统动能的改变则和内力、外力做功均有关！变则和内力、外力做功均有关！17 iiiiAAA非保内非保内保内保内内内pipiiiEEA 保内保内非保内非保内保内保内外外iiiiFFFF 非保内非保内AkpEEAA 非保内非保内外外pkEEAA 非保内非保内外外pkEEE 系统的机械能系统的机械能EAA 非保内非保内外外质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和。力的功的总和。功能原理功能原理 kEAA 内内外外质点系质点系的功能原理：的功能原理：18质点系的功能原理：质点系的功能
13、原理：如果：如果：0 EEAA 非保内非保内外外0 非保内非保内外外AA恒量恒量 pkEEE当一个系统内只有保守内力做功，非保守内力当一个系统内只有保守内力做功，非保守内力和一切外力都不做功，或者非保守内力和一切和一切外力都不做功，或者非保守内力和一切外力的总功为零时，质点系的总机械能保持恒外力的总功为零时，质点系的总机械能保持恒定定。质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律 19例例4.质量为质量为m 的小球系在线的一端，线的另一端固定，的小球系在线的一端，线的另一端固定，线长线长L，先拉动小球，使线水平张直，然后松手让，先拉动小球，使线水平张直，然后松手让 小球落下求线摆下小球落下求线
14、摆下 角时，小球的速率和线的张力。角时，小球的速率和线的张力。aLb gmT 解：解：用牛顿第二定律用牛顿第二定律 建立自然坐标建立自然坐标受力分析：受力分析：TgmF mamgcosnmaTmg sin)2(2Lvm用用dS 乘乘(1)的两边：的两边：cosdSgdSdvdt 221sinvgL sin2gLv 将上述结果代入将上述结果代入(2):sin3mgT voovdvLdg cos)1(dtdvm20解法二：用动能定理解法二：用动能定理222121ababmvmvA外外 sinmgL sin2gLvaLb gmT baabrdgmA外外 badSmg cos221sinmvmgL r
15、d oLdmg)(cos021解法三：解法三：用机械能守恒定律用机械能守恒定律研究对象：小球、线、地球组成的系统。研究对象：小球、线、地球组成的系统。只有重力作功，只有重力作功，Ea=Eb，机械能守恒。，机械能守恒。令令 b 处势能为零处势能为零221sinbmvmgL sin2gLvb22dtPdF 动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定理动量守恒定理角动量守恒角动量守恒动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒 解决问题的思路可按此顺序倒过来，解决问题的思路可按此顺序倒过来，首先首先考考虑用虑用守恒定律守恒定律解决问题。解决问题。若要求力的细节若要求力的细节或或求求加速度加速度则必须用则
16、必须用牛顿第二定律牛顿第二定律。几点说明：几点说明：以上所讨论的动量定理、角动量定理、动能定理以上所讨论的动量定理、角动量定理、动能定理 都是来自牛顿定律，所以只适用惯性系，都是来自牛顿定律，所以只适用惯性系，在非惯在非惯 性系必须加惯性力的作用性系必须加惯性力的作用，才可用这些定理。，才可用这些定理。23例、例、如图所示如图所示,一质量为一质量为M的光滑圆环的光滑圆环,半径为半径为R,用细线悬挂在支点上用细线悬挂在支点上,环上串有质量都是环上串有质量都是m的的 两个珠子两个珠子,让两珠从环顶同时静止释放向两边让两珠从环顶同时静止释放向两边 下滑下滑,问滑到何处问滑到何处(用用 表示表示)时环
17、将开始上升？时环将开始上升？mm ON mg 解：解：由于环对珠的支承力不做功，由于环对珠的支承力不做功，系统的机械能守恒。系统的机械能守恒。当滑到图中位置时有当滑到图中位置时有21(1cos)2mvmgR 珠子受的法向分力为珠子受的法向分力为2cosnvfmgN mR 故，环开始上升时故，环开始上升时2cosNMg 速度足够大时速度足够大时 将反向将反向N由以上三式解得由以上三式解得mM232 cos)cos(24作业：作业：第第2章章做完做完2526kzjyix kzEjyEixEzyxEpppp ),(FkFjFiFzyx Laplace算符：算符：2728注意：注意：范围：惯性系、宏观
18、低速运动（只有动量守恒、角动量守范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）。恒、能量守恒对宏观、微观都适用）。10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。20 由牛顿第二定律推出：由牛顿第二定律推出：动量定理动量定理动能定理动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律动量守恒定律动量守恒定律功能原理功能原理角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解决问题的思路按此顺序倒过来，解决问题的思路按此顺序倒过来，首先考虑用守恒定律首先考虑用守恒定律解决问题。解决问题。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。若要求力的细
19、节则必须用牛顿第二定律。30 有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，注意各势能零点的位置注意各势能零点的位置，不同势能零点位置可以同，不同势能零点位置可以同，也也可以不同。（可以不同。（问：问：一般选哪里为势能零点？）一般选哪里为势能零点？）3429 40 有些问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离有些问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面、小球刚好脱离圆形轨道、木块刚好不下滑等）。地面、小球刚好脱离圆形轨道、木块刚好不下滑等）。解题时先建立解题时先建立运动运动满足的满足的方程方程，再加上，再加上临界条件临界条件（往往是（往往是某些力为零或
20、某些力为零或 v 、a 为零等）。为零等）。50 特别注意用特别注意用高等数学高等数学来解的问题。凡有来解的问题。凡有极值极值问题要问题要用用求导求导的方法的方法。30例例3.力力 作用在质量为作用在质量为m2kg的质点上，的质点上，使质点由静止开始运动使质点由静止开始运动,试求最初试求最初2s内这个力内这个力 所做的功。所做的功。6()Ft i N 解解:d00()tvva ttd060tttm23tm d00()ttxxv ttd2030tttm3tm dd23txtmdbaAFr d6()batixi d06xt xd22036tttm)36(J31例例3.一人从一人从H10m深的水井中
21、提水深的水井中提水,开始时开始时,桶中桶中 装有装有M10kg的水的水(忽略桶的质量忽略桶的质量).由于水桶由于水桶 漏水漏水,每升高每升高1m要漏出要漏出0.2kg的水的水,求将水桶匀求将水桶匀 速地从井中提到井口的过程中速地从井中提到井口的过程中,人所做的功人所做的功。解解:因水匀速上升因水匀速上升gkyMmgF)(dd0HAFrF y d0()HMky g yd100(100.2)9.8yyJ882 voyyFmgj 32例、例、一个质点的质量为一个质点的质量为m,沿沿x轴运动轴运动,其加速度与其加速度与 速度成正比速度成正比(比例系数为比例系数为k),方向相反方向相反.设该质点设该质点
22、 运动的初速度为运动的初速度为v0。(1)试写出该质点在试写出该质点在x轴方向运动的受力表示式。轴方向运动的受力表示式。(2)该质点在该质点在x轴方向运动的全过程中所受的力做轴方向运动的全过程中所受的力做 了多少功了多少功?解解:(1)ddvakvt ddvFmmkvt (2)d0 xxAF xddd0 xmkvttd20mkvtddvkvt ktevv 0d2200ktAmkv et 202mv 33如果不是恒力：如果不是恒力：)(xF)(xFx1x2xx iiikikxxFxExE )()()(11ix iiiikikxxFxExE)()()(11AEEkk 12 21d12xxkkxxF
23、EE)(21dxxxxFA)(如果是匀速圆周运动：如果是匀速圆周运动：012 kkEE221mvEk Ftrvdd 0d AxFAdd rFAdd 34dr rr abFott+dtrFAdd 元功元功 baabrFAAddba basFd cos babaabrtvmrFAdddd barF cos|d22212121dabbabaabmvmvvvmvvmA|abkakbkAEEE 动能定理动能定理合力合力35 baabrFAdfikxF mgf 方向与运动方向相反方向与运动方向相反 babarfxkxdd)(xa xb:)(abbaxxmgkxkx 222121xa -A xb:)()(AxmgxAmgkxkAkAkxbaba 222221212121)(mgAxxmgkxkxabba 2212122 弹力与摩擦力做功弹力与摩擦力做功axbx0Fkxi x-A
