1、文科数学试题 第 1 页（共 9 页） 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不
2、要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则AB A1,0,1 B0,1 C1,1 D0,1,2 2若(1 i) 2iz ，则 z= A1i B1+i C1 i D1+i 3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古 典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，
3、 其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游 记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A05 B06 C07 D08 5函数( )2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为 A2 B3 C4 D5 6已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A 16 B 8 C4 D 2 7已知曲线eln x yaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Aa=e，b=-1 Ba=e，b=1 Ca=e-1，b=1 D a=e-1，1b 文科数
4、学试题 第 2 页（共 9 页） 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于 A 4 1 2 2 B 5 1 2 2 C 6 1 2 2 D 7 1 2 2 10 已知 F 是双曲线 C： 22 1 45 xy 的一个焦点， 点 P 在 C 上， O 为坐标原点， 若 =OPOF
5、， 则OPF的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 11记不等式组 6, 20 xy xy 表示的平面区域为D命题: ( , ),29px yDxy ；命题 :( , ),212qx yDxy 下面给出了四个命题 pq pq pq pq 这四个命题中，所有真命题的编号是 A B C D 12设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则 Af（log3 1 4 ）f（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ） Bf（log3 1 4 ）f（ 2 3 2 ）f（ 3 2 2 ） Cf（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ）f（log3 1 4 ） Df（ 2 3 2 ）f（
6、3 2 2 ）f（log3 1 4 ） 文科数学试题 第 3 页（共 9 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量(2,2),( 8,6) ab，则cos,a b_ 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 37 5,13aa，则 10 S_ 15 设 12 FF，为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限 若 12 MFF 为等腰三角形，则 M 的坐标为_ 16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 1111 ABCDA B C D挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体， 其
7、中 O 为长方体的中心， E， F，G，H 分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB= BC=, AA =，3D 打印所用原料密度 为 09 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小 鼠给服的溶液体积相
8、同、 摩尔浓度相同。 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于55”，根据直方图得到P（C）的估计 值为0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表） 18（12 分） ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围 文科数学试题 第 4 页（共 9 页） 19（12 分） 图1是由矩形AD
9、EB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中AB=1， BE=BF=2， FBC=60 将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2 （1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE； （2）求图2中的四边形ACGD的面积 20 （12 分） 已知函数 32 ( )22f xxax （1）讨论( )f x的单调性； （2）当 0a3 时，记 ( )f x 在区间0，1的最大值为 M，最小值为 m，求M m 的取 值范围 21（12 分） 已知曲线 C： y= 2 2 x ， D 为直线 y= 1 2 上的动点， 过 D 作 C 的两条切线， 切点分别为
10、 A， B （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的 方程 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，( 2,) 4 B ，( 2,) 4 C ，(2, )D，弧AB，BC， CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1, ) 2 ，(1, )，曲线 1 M是弧AB，曲线 2 M是弧BC，曲 线 3 M是弧CD （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极
11、坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在 M 上，且| |3OP ，求 P 的极坐标 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设, ,x y zR，且1xyz （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a 或1a 文科数学试题 第 5 页（共 9 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题 1A 2D 3D 4C 5B 6C 7D 8B 9C 10 B 11A 12C 二、填空题 13 2 10 14100 15(3, 15) 161188 三、解答题
12、17解：（1）由已知得070=a+020+015，故a=035 b=1005015070=010 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 015+3 020+4 030+5 020+6 010+7 005=405 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 005+4 010+5 015+6 035+7 020+8 015=600 18解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B
13、 ，因此B=60 （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形，故0 A90 ，0 C90 由（1）知A+C=120 ，所以 30 C0，则当(,0), 3 a x 时，( )0fx；当0, 3 a x 时，( )0fx故 ( )f x在(,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,) 单调递增； 若 a0，则当,(0,) 3 a x 时，( )0fx；当,0 3 a x 时，( )0fx故 ( )f x在,(0,) 3 a 单调
14、递增，在,0 3 a 单调递减 （2）当03a时，由（1）知，( )f x在0, 3 a 单调递减，在,1 3 a 单调递增，所 以( )f x在0,1的最小值为 3 2 327 aa f ，最大值为(0)=2f或(1)=4fa于是 3 2 27 a m ， 4,02, 2,23. aa M a 文科数学试题 第 7 页（共 9 页） 所以 3 3 2,02, 27 ,23. 27 a aa Mm a a 当02a时，可知 3 2 27 a a单调递减，所以Mm的取值范围是 8 ,2 27 当23a时， 3 27 a 单调递减，所以Mm的取值范围是 8 ,1) 27 综上，Mm的取值范围是 8
15、 ,2) 27 21解：（1）设 11 1 , 2 D tA x y ，则 2 11 2xy 由于yx，所以切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B x y，同理可得 22 22 +1=0txy 故直线AB的方程为2210txy 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210xtx 于是 2 121212 2 ,121xxt yyt xxt 设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t 由于EMAB， 而 2 ,
16、2EMt t，AB与向量(1, ) t平行， 所以 2 20ttt 解 得t=0或1t 文科数学试题 第 8 页（共 9 页） 当t=0时，|EM=2，所求圆的方程为 2 2 5 4 2 xy ； 当1t 时，|2EM ，所求圆的方程为 2 2 5 2 2 xy 22解：（1）由题设可得，弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos， 2sin，2cos 所 以 1 M的 极 坐 标 方 程 为 2cos0 4 ， 2 M的 极 坐 标 方 程 为 3 2sin 44 ， 3 M的极坐标方程为 3 2cos 4 （2）设( , )P ，由题设及（1）知 若 0 4 ，则2cos3，解得
17、 6 ； 若 3 44 ，则2sin3，解得 3 或 2 3 ； 若 3 4 ，则2cos3，解得 5 6 综上，P的极坐标为 3, 6 或 3, 3 或 2 3, 3 或 5 3, 6 23解：（1）由于 2 (1)(1)(1)xyz 222 (1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 222 3 (1)(1)(1)xyz ， 故由已知得 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz， 当且仅当x= 5 3 ， 1 3 y ， 1 3 z 时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 （2）由于 2 (2)(1)()xyza 222 (2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 文科数学试题 第 9 页（共 9 页） 222 3 (2)(1)()xyza ， 故由已知 2 222 (2) (2)(1)() 3 a xyza ， 当且仅当 4 3 a x ， 1 3 a y ， 22 3 a z 时等号成立 因此 222 (2)(1)()xyza的最小值为 2 (2) 3 a 由题设知 2 (2)1 33 a ，解得3a或1a
