1、20222023学年高三年级模拟试卷数学(满分:150分考试时间:120分钟)20231一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求1. 已知全集Ux|2x3,集合Ax|1x1,则UA()A. (1,1 B. (2,1(1,3)C. 1,1) D. (2,1)1,3)2. 若复数z在复平面内对应的点在直线y1上,且ziz,则z()A. 1i B. 1i C. 1i D. 1i3. ()6的二项展开式中的常数项是()A.
2、20 B. 15 C. 15 D. 204. 经验表明,树高y与胸径x具有线性关系,为了解回归方程的拟合效果,利用下列数据计算残差,用来绘制残差图胸径x/cm18.219.122.324.526.2树高的观测值y/m18.919.420.822.824.8树高的预测值y/m18.619.321.523.024.4则残差的最大值和最小值分别是()A. 0.4,1.8 B. 1.8,0.4 C. 0.4,0.7 D. 0.7,0.45. 为测量
3、河对岸的直塔AB的高度,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C,D,测得BCD的大小为60,点C,D的距离为200 m,在点C处测得塔顶A的仰角为45,在点D处测得塔顶A的仰角为30,则直塔AB的高为()A. 100 m B. 100 m C. (200200)m D. 200 m6. 已知圆心均在x轴上的两圆外切,半径分别为r1,r2(r1r2),若两圆的一条公切线的方程为y(x3),则()A. B. 2 C. D. 37. 设G为A
4、BC的重心,则23()A. 0 B. C. D. 8. 设ae,b,c2ln ,则()A. abc B. acb C. cba D. bac二、 选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1,CC1,则 ()A. EFBD B. EC1平面ABFC. EF平面B1CD1 &nbs
5、p; D. 直线EF与直线BD1异面10. 已知抛物线C:y2x的焦点为F,点M,N均在C上,若FMN是以F为直角顶点的等腰三角形,则MN()A. B. 1C. D. 111. 已知等差数列an中,当且仅当n7时,Sn取得最大值记数列的前k项和为Tk,则下列结论正确的是()A. 若S6S8,则当且仅当k13时,Tk取得最大值B. 若S6S8,则当且仅当k14时,Tk取得最大值C. 若S6S8,则当且仅当k15时,Tk取得最大值D. 若mN*,Sm0,则当k13或14时,Tk取得最大值12. 将样本空间视为一个单位正方形,任一事件均
6、可用其中的区域表示,事件发生的概率为对应区域的面积在如图所示的单位正方形中,区域表示事件AB,区域表示事件A,区域和表示事件B,则区域的面积为()A. P() B. P()C. P(|)P() D. P()P()三、 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知sin(x),x(0,),则tan x_14. 已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形,且cos F1PF2,则C的离心率e_15. 设过直线x2上一点A作曲线yx33x的切线有且只有两条,则满足题设的一个点A的纵坐标
7、为_16. 已知球O的表面积为100 cm2,P是球O内的定点,OP cm,过P的动直线交球面于A,B两点,AB4 cm,则球心O到AB的距离为_cm;若点A,B的轨迹分别为圆台O1O2的上、下底面的圆周,则圆台O1O2的体积为_cm3.四、 解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)已知数列an中,a1,a2,a3,a6成等差数列,a5,a6,a7,成等比数列,a210,a62.(1) 求数列an的通项公式;(2) 记数列an的前n项和为Sn,若Sn0,求n的最小值18. (本小题满分12分)已知四边形ABCD内接于圆O,AB3,
8、AD5,BAD120,AC平分BAD.(1) 求圆O的半径;(2) 求AC的长19. (本小题满分12分)如图,已知菱形ABCD的边长为2,ABC60,E为AC的中点,将ACD沿AC翻折使点D至点D.(1) 求证:平面BDE平面ABC;(2) 若三棱锥DABC的体积为,求二面角DABC的余弦值20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛,约定:随机选择两人打第一局,获胜者与第三人进行下一局的比赛,先获胜两局者为优胜者,比赛结束已知每局比赛均无平局,且甲赢乙的概率为,甲赢丙的概率为,乙赢丙的概率为.(1) 若甲、乙两人打第一局,求丙成为优胜者的概率;(2) 求恰好打完2局结束比赛
9、的概率21. (本小题满分12分)已知双曲线C过点(3,),且C的渐近线方程为yx.(1) 求C的方程;(2) 设A为C的右顶点,过点P(2,0)的直线与圆O:x2y23交于点M,N,直线AM,AN与C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点22. (本小题满分12分)已知0a1,函数f(x)xax1,g(x)x1logax.(1) 若g(e)e,求函数f(x)的极小值;(2) 若函数yf(x)g(x)存在唯一的零点,求a的取值范围20222023学年高三年级模拟试卷(海安)数学参考答案及评分标准1. B2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. D9. AB10.
10、BD11. BD12. BC13. 14. 15. 2(答案不唯一,6也正确)16. 17. 解:(1) 设等差数列a1,a2,a3,a6的公差为d.因为a210,a62,所以解得所以an13(n1)33n16(1n5,nN*).(3分)设等比数列a5,a6,a7,的公比为q,则q2,所以an(2)n5(n6,nN*).综上,annN*.(5分)(2) 由(1)知,当n5时,an0,要使Sn0,则n6,(6分)此时Sn(a1a2a5)(a6an)5(13)335.(8分)由Sn0,得(2)n5,所以(n5)必为奇数,此时2n5,所以n5的最小值为7,所以n的最小值为12.(10分)18. 解:
11、(1) 设圆O的半径为R.在ABD中,由余弦定理BD2AB2AD22ABADcos BAD,得BD23252235()49,所以BD7.(3分)在圆O的内接ABD中,由正弦定理,得2R,故R,所以圆O的半径为.(6分)(2) 因为四边形ABCD内接于圆O,所以BADBCD180.又BAD120,故BCD60.因为AC平分BAD,所以BAC60.(8分)(解法1)因为AC平分BAD,所以,所以BCCD.又因为BCD60,所以BCD为正三角形,所以BCBD7.(10分)(解法2)在圆O的内接ABC中,由正弦定理,得2R.所以BC2Rsin 607.(10分)在ABC中,由余弦定理BC2AB2AC2
12、2ABACcos BAC,得7232AC223ACcos 60,即AC23AC400,解得AC8或AC5,因为AC0,所以AC8,所以AC的长为8.(12分)19. (1) 证明:由菱形ABCD知,DADC,又E为AC的中点,所以DEAC,同理,可得BEAC.(2分)因为DE, BE平面BDE, DEBEE,所以AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面BDE平面ABC.(4分)(2) 解:过点D作DHBE交BE于点H,由(1) 知,平面BDE平面ABC.又平面BDE平面ABCBE,DH平面DBE, 所以DH平面ABC.(6分)因为三棱锥DABC的体积为,所以22DH,解得DH.(8分)在R
13、tDEH中,DE, 所以EH,于是BHBEEH.(解法1)如图,以E为坐标原点,EA,EB分别为x轴、y轴,过点E与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,0),D(0,),所以(1,0),(0,).设平面DAB的法向量n(x,y,z),则n0,n 0,即xy0,yz0,令x,得y,z1,所以n(,1).(10分)又平面ABC的一个法向量m(0,0,1),所以cos n,m,所以二面角DABC的余弦值为.(12分)(解法2)过点H作HFAB交AB于点F,连接DF.因为DH平面ABC,根据三垂线定理,得ABDF,所以DFH是二面角DABC的平面角(10分)在Rt
14、BFH中,HFBH sin 30.在RtDHF中,DF,所以cos DFH,所以二面角DABC的余弦值为.(12分)20. 解:(1) 记“第i局甲胜、乙胜、丙胜”分别为事件Ai,Bi,Ci,i1,2,3,4,记“丙成为优胜者”为事件D,则DA1C2C3B1C2C3,(2分)所以P(D)P(A1C2C3B1C2C3)P(A1C2C3)P(B1C2C3)P(A1)P(C2|A1)P(C3|A1C2)P(B1)P(C2|B1)P(C3|B1C2)(4分)(1)(1)(1)(1)(1),所以丙成为优胜者的概率是.(6分)(2) 记“甲、乙打第一局“为事件A,“甲、丙打第一局”为事件B,“
15、乙、丙打第一局”为事件C,“恰打完2局比赛结束”为事件E,其中A,B,C两两互斥,且和为样本空间,依题意,P(A)P(B)P(C).所以P(E|A)P(A1A2B1B2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2|A1)P(B1)P(B2|B1).同理可得,P(E|B),P(E|C).(9分)根据全概率公式知,P(E)P(AE)P(BE)P(CE)P(E|A)P(A)P(E|B)P(B)P(E|C)P(C),所以恰好打完2局结束比赛的概率为.(12分)21. (1) 解:当x3时,代入yx,得y,所以双曲线C的焦点在x轴上(2分)不妨设双曲线C的方程为y2(0),将点(3,)代入,得1,所
16、以C的方程为y21.(4分)(2) 证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),由(1)知A(,0).(5分)因为P,M,N三点共线,所以(不妨记为k).则(x12)y2(x22)y10,即x1y2x2y12(y1y2).(6分)设直线AM的方程为y(x).由消去y并整理,得(2xx13)x23yx3(xx16)0.则x3,故x3,y3.(8分)同理可得,x4,y4.所以直线DE的斜率k.(10分)所以直线DE的方程为ykx,即ykx.又因为y1k(x12),所以ykx.所以直线DE过定点(0,0).(12分)22. 解:(1)由g(e)e,得e1logae
17、e,即logae1,所以a.(1分)所以f(x)xe1x,则f(x)1e1x,令f(x)0,得x1.(3分)当x(,1)时,f(x)0,故f(x)在(,1)上单调递减;当x(1,)时,f(x)0,故f(x)在(1,)上单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(1)2.(5分)(2) 记p(x)f(x)g(x)ax1logax1,因为0a1,所以ln a0,则p(x)ax1ln a.记q(x)xax1ln2a1,则q(x)(ax1xax1ln a)ln2a(1x ln a)ax1ln2a.令q(x)0,得x,记其为t(t0),此时ae.当x(0,t)时,q(x)0,故q(x)在(0,t)上单调递增
18、;当x(t,)时,q(x)0,故q(x)在(t,)上单调递减,所以q(x)在xt处取得极大值q(t)t(e)t1()21e11.(7分)不难发现函数ye11在t(0,)上单调递减,且正数零点为1.当t1,即a1时,有q(t)0,故p(x)0, 所以p(x)单调递增又p(1)0,所以函数p(x)有唯一的零点,所以a1.(9分)当0t<1,即0<a时,有q(t)>0,因为q(1)ln2a10,q()a1ln2a10(*),所以q(x)在区间(1,)内存在唯一零点,记为x0,所以p(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增因为p(x0)p(1)0,p()a10,所以函数
19、p(x)在区间(x0,)内存在唯一的零点,记为x0(x0x01),这与p(1)0矛盾,所以0a不符合题意,故舍去综上,a的取值范围是,1).(12分)附(*):q()a1ln2a1a2ln2a1(a1ln a1)(a1ln a1).易知a1ln a10,又a1ln a1()1ln 1.若()1ln 10,则()1ln 1.令t,te,则t1ln t1,即ln (t1ln t)0,从而(1)ln tln (ln t)0,又(1)ln tln (ln t)(1)ln tln t1(2)ln t1.令(t)(2)ln t1,te,则(t)ln t(2)ln t,又(t)0,故(t)在(e,)上单调递减,所以(t)(e)10,所以(t)在(e,)上单调递减,所以(t)(e)10,所以q()0.注:缺少(*)式证明,扣1分</a时,有q(t)>