1、2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景的几何背景,平面几何图形的许多性质平面几何图形的许多性质,如平移、如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.思考思考1 1：如
2、图，在平行四边形：如图，在平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的长是否确定？的长是否确定？提示：确定提示：确定A AB BC CD D思考思考2:2:在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，设向量中，设向量 则向量则向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？ABa，ADbACDB DBab,ACab.提示提示:2222222,4,24,24,1.2 由由得得=4=4即即（）所所以以abababaa bbaa bba b2,1,-2,?3 利利用用如如何何求求等等于于多多考考少少？思思 a
3、ba ba bAC22222|()226.ACababaa bbaa bb提示提示:在在四四边边形形A AB BC CD D中中A AB B B BC C=0 0，且且A AB B=D DC C，则则四四边边形形A AB BC CD D是是（）A A.平平行行四四边边形形 B B.矩矩形形C C.菱菱形形 D D.正正方方形形B B【即时训练即时训练】例例1.1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，型，如图，你能发现平行你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？吗？A AB BC CD
4、DACABAD,DBABAD,.，解解：设设则则ABa ADbACab DBab222()()2(1)ACAC ACababa aa bb ab baa bb 2222(2)同同理理 DBaa bb222222(1)(2)2()2().得得 ACDBabABAD注意这种求注意这种求模的方法模的方法 平行四边形两条对角线长的平方和等于两平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍条邻边长的平方和的两倍.如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？（1 1）建立平面几何与向量的联）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几系，用向量表示问题中涉
5、及的几何元素，将平面几何问题转化为何元素，将平面几何问题转化为向量问题向量问题.（2 2）通过向量运算，研究几何）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角元素之间的关系，如距离、夹角等问题等问题.（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几成几何元素何元素.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步法三步法”：【方法规律方法规律】几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化向量关系几何化向量关系几何化【变式练习变式练习】例例2.2.如图，如图，ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别是分别是ADAD，DCDC边边的中点，的中点，BEBE，B
6、FBF分别与分别与ACAC交于交于R R，T T两点，你能两点，你能发现发现ARAR，RTRT，TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？A AB BD DE EF FR RT TC C猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TCABa,ADb,ARr,ACab.设设由于由于 与与 共线，故设共线，故设因为因为ARA C rn(a b),nR，又因为又因为 共线，共线，所以设所以设EREB 与1ERmEBm(ab).2 因为因为 所以所以ARAEER ，11rbm(ab).221122因因此此()()，n abbm ab 1EBABAEab,2 【解析】m1(nm)a(n)b0.2即即因因向向 量量
7、 a a,b b不不 共共,为线nm0m1n0.2所所以以，nm.1=3解解 得得：111ARAC,TCAC,RTAC.333ARRTTC.所所以以同同理理于于是是故故 利用待定系数法，结合向量共线定理和平利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求面向量基本定理，将问题转化为求m m，n n的值，的值，是处理线段长度关系的一种常用手段是处理线段长度关系的一种常用手段.【方法规律方法规律】C C【变式练习变式练习】1.1.用向量方法证明几何问题时用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基首先选取恰当的基底底,用来表示待研究的向量用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算在此
8、基础上进行运算,进而解决问题进而解决问题.2.2.要掌握向量的常用知识：要掌握向量的常用知识：共线；垂直；共线；垂直；模；夹角；向量相等模；夹角；向量相等.3.3.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤用向量方法解决平面几何问题的三个步骤建立平面几何与向量的联系，用建立平面几何与向量的联系，用向量向量表示问表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为为向量问题向量问题通过向量通过向量运算运算，研究几何元素之间的关系，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题如距离、夹角等问题把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系转化转化运算运算翻译翻译 利用
9、向量解决力（速度、位移）利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解的合成与分解2.5.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例例例1.1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？与所耗力气的大小有什么关系？提示：夹角越大越费力提示：夹角越大越费力.思考思考1:1:若两只手臂的拉力为若两只手臂的拉力为 物体的重力为物体的重力为 那么那么 三个力之间具有什么关系？三个力之间具有什么关系？12F F ，G,12F F G ，12FFG0.提示提示:
10、思考思考2:2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为，那么那么|，|，之间的关系如何？之间的关系如何？1 1|G|G|F|=，|F|=，2cos2cos2 20180 1F2F GFG1F提示提示:110,2120.时时，最最小小，最最小小值值为为时时，GFFG提示提示:11231FFG （）为为何何值值时时，最最小小，最最小小值值是是思思考考：多多少少？（）能能等等于于吗吗？为为什什么么？用向量解力学问题用向量解力学问题对物体进行受力分析对物体进行受力分析画出受力分析图画出受力分析图转化为向量问题转化为向量问题【方法规律方法规律】10N【互动探究互动探究】12
11、2.d=500mA.v=10km/hv=2km/h(0.1min)例如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从处出发到河对岸 已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少 精确到？A AC CB BD D12122vvvv10km/h,v2km/hvvt.如如图图，已已知知，析析，求求分分：A A2v 1v vC CB BD D20.由由 已已 知知件件 得得解解：v v条2212|v|v|v|96(km/h),0.5603.1(m in).|96所所 以以 dtv 答：行驶航程最短时，所用时间是答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.3.1 min.【变式练习变式练习】1
12、.已知点已知点 A(1,0)，直线，直线 l：y2x6，点，点 R 是直线是直线 l上的一点，若上的一点，若RA2AP，求点，求点 P 的轨迹方程的轨迹方程【解题关键解题关键】代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程设出设出P（x，y）和）和R（x0，y0）的坐标，用）的坐标，用 P的坐的坐标表示标表示R点的坐标，之后代入已知直线方程化简点的坐标，之后代入已知直线方程化简即得。即得。思考：思考：课本P113 A组 1【解【解析析】设设 P(x，y)，R(x0，y0)，则则RA(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，AP(x，y)(1,0)(x1，y)由由RA2AP，得，得 1x02 x1，y02y，
13、又又 点点 R 在直线在直线 l：y2x6 上，上，y02x06，1x02x2，62x02y.由由得得 x032x，代入，代入得得 62(32x)2y，整理得整理得 y2x，即为点，即为点 P 的轨迹方程的轨迹方程.4.4.利用向量解决物理问题的基本步骤：利用向量解决物理问题的基本步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.【核心素养培优区核心素养培优区】【典例典例】已知非零向量已知非零向量 满足满足 =0=0且且 则则ABCABC的形状是的形状是()A.A.三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.等腰等腰(非等边非等边)三角形三角形D.D.等边三角形等边三角形AB AC 与ABACBCABAC ()AB CA12AB AC ，C C
