1、第五节第五节 高阶偏导数高阶偏导数本节主要讲两个问题：本节主要讲两个问题：一、什么是高阶偏导数一、什么是高阶偏导数二、在什么条件下混合偏导数相等二、在什么条件下混合偏导数相等 多元函数的高阶偏导数与一元函数多元函数的高阶偏导数与一元函数的高阶导数类似的高阶导数类似:一般情况下一般情况下,函数函数),(yxfz 的的偏导数偏导数,xz yz 还是还是yx,的函数的函数,如如果果,xz yz 的偏导数还存在的偏导数还存在,则称它们则称它们的偏导数为的偏导数为),(yxfz 的二阶偏导数的二阶偏导数.即即:函数一阶偏导函数一阶偏导数数的偏导数的偏导数,称为原来函数称为原来函数的二阶偏导数的二阶偏导数
2、.函数二阶偏导函数二阶偏导数数的偏导数的偏导数,称为原来函数称为原来函数的三阶偏导数的三阶偏导数.二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数.依此类推依此类推,可定义多元函数的更高阶可定义多元函数的更高阶的偏导数的偏导数.),(yxfz xz xzx xzyyz yzx yzyxxx 2yyy 222xz yxz 2xyz 222yz 二元函数二元函数二阶偏导数二阶偏导数x),(yxfz 的二阶偏导数的二阶偏导数.对对y),(yxfz 的二阶偏导数的二阶偏导数.对对yx,),(yxfz 的混合的混合对对二阶偏导数二阶偏导数.xyxy二阶偏导数的记号二阶偏导数的记号:),(
3、yxfxx ),(yxfxy ),(yxfyx ),(yxfyy xxz xyz yxz yyz 22xz xyz 2yxz 222yz 22xf xyf 2yxf 222yf 11f 12f 21f 22f xzx xzy yzx yzy 二元函数的二阶偏导数共 22=4 项22xz 3322xzxzx yxzxzy 2322xy1),(yxfz 二元函数二元函数三阶偏导数三阶偏导数22yz xyzyzx 23223322yzyzy xy2xxxz yyyz yxz 2xyxzyxzx 32232yxzyxzy xy3xyz 2232xyzxyzx yxyzxyzy 32xy4),(yxfz
4、 二元函数二元函数的三阶偏导数的三阶偏导数共共2 23 3=8=8项项.例例1 求求3233yxyxz 的二阶偏导数的二阶偏导数.解解 xz3263xyyx yz2239yxx 22xz xyz2 yxz2 22yz366yxy yx218 22183xyx .18322xyx 例例2 求求 )0,0(),(0)0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf处的二阶混合偏导数处的二阶混合偏导数.问题问题:混合偏导数都相等吗混合偏导数都相等吗?在在)0,0(解解当当)0,0(),(yx时时,2223222)(2)(3),(yxxyxyxyxyxfx ,)(2),(22223223yxyxyxx
5、yxfy ,)(232224222yxyxyxyx 2223222)(2)(3),(yxxyxyxyxyxfx 当当)0,0(),(yx时时,xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0 xxyfyffyy )0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0 yyyfyffxxyxy )0,0(),0(lim)0,0(0,0 xfxffyyxyx )0,0()0,(lim)0,0(0.1 显然显然 )0,0(xyf).0,0(yxf 问题问题:在什么条件下混合偏导数相等在什么条件下混合偏导数相等?定理定理若若),(yxfxy ),(yxfyx 和和在点在点),(yx处连续
6、处连续,则则 ),(yxfxy).,(yxfyx 这样以来这样以来,如果二元函数对如果二元函数对 求求 次次,对对 求求 次的混合高阶偏导数连续次的混合高阶偏导数连续,对自变量求偏导时可不分顺序对自变量求偏导时可不分顺序,它们它们都是相等的都是相等的(反复利用上述定理反复利用上述定理).).其它多其它多元元函数类似函数类似.xkly例例2 设设,sinzeuxy 求求.3zyxu 解解 xuzyexysin yxu2zxyeexyxysin)(zexyxysin)1(zyxu3.cos)1(zexyxy 例例3 yzzxln 所确定的函数所确定的函数),(yxfz 求求.2yxz 解解),(z
7、yxF则则 xFyFy1 zzxFz12 故故 xz yzyzzxln|ln|lnyzzx z12zzx zxFF z12zzx zxz zyFF 2zzx )(2zxyz y1 yxz2)(zxzy 2)(zxyzx 2)()(zxyzzzxyz )(2zxyzzy 22)()(zxzxyzx 32)(zxyxz 例例:)arctan(),(uvvufz ),(yxu ),(yxv 2)(1uvvfu 2)(1uvufv 还是还是 的函数的函数!vu,注意注意:抽象复合函数求高阶偏导数时抽象复合函数求高阶偏导数时,),(vufu),(vufv 仍为抽象复合函数仍为抽象复合函数.例例4 设设)
8、,(22yxxyfz 求求.,222yxzxz 解解 令令xyu 22yxv 则则),(vufz vuxfxf yz 2 xxzxvvxufxffy)(22)()2(22)2(vvvuvuvuufxf yxffxf yy vvvuvuufxffxyfy 22424),(vuf有连续的二阶偏导数有连续的二阶偏导数,xyzvuxfxf yz 2yvyuufxfyf)(2)()2(2)2(vvvuuvuuuf yfxxf yfxyf .4)(222vvuvuuufxyfyxfxyf 令令xyu 22yxv 则则),(vufz 例例5 设设),()(1yxyxyfxz .2yxz ,f具有二阶具有二阶
9、连续偏导连续偏导,求求解解 xz)()()(12yxyxyfxyxyfx xyzxxyfx)(12 )()()(yxyyxxyf y )()(yxyyx xxyfxyxyfx)()(1 例例6 设设),()2(xyxgyxfz .2yxz )(xf其中其中二阶偏导连续二阶偏导连续,求求二阶二阶可导可导,),(vug解解 记记 xz21)(2gyguf xyz)(2uf yxu 212110gxg 222gxyg 22212)(2gxyggxuf 例例7 设设),()(xyxyxfz .222yyxyxxzyzxyzx 求求解解 xz)()()(22xyxyxyxyfxxyf yzxxyxxyf
10、x1)(1)()(1)(xyxxyf xxz)()()(2xyxyxyfxyxyf )()(2223xyxyxyxyxy )(2xyxyf )()(22xyxyfxyxyfxy xyz yyz)()(11)(2xyfxyxyfxxxyf )()(1)(322xyxyxyxxyfxy )(1)(12xyxxyfx yyxyxxzyzxyzx222.0)()(2)(42332xyxyxyxyxyfxy )(1)(xyxxyfzy)()()(2xyxyxyfxyxyfzx)()(122xyxyxyx 例例8 设设ayxvyxu 20622222 yzyxzxz.a可把方程可把方程:简化为简化为02
11、vuz求常数求常数解解 vzuzxz vzauzyz 2),(vufz,若若由由vzuzxz )2(222avzuvza 22222222vzuvzvuzuzxz )2(222222avuzuzyz vzauzyz 2222vza vuzauz 22244222222vzvuzuz )2(2222avuzuzyxz vzuzxz )2(222avzuvz vuzauz 222)2(222vza 将上述结果代入原方程得将上述结果代入原方程得:0)6()510(2222 vzaavuza依题意依题意:062aa3a0510 a得得例例9 设设rqprqpzyxu 求求zyxxyzeu 解解 xuz
12、yxyze zyxxyze zyxyzex )1(22xuzyxyze zyxyzex )1(zyxyzex )2(ppxuzyxyzepx )(ppxuzyxyzepx )(zyxzeqypx )(zyxerzqypx )()(qpqpyxu rqprqpzyxu 例例10 设设)(yxfz 其中其中,f均二次可导均二次可导,22xz 求求22,yz 解解 )(ufxz )()(yufyz 记记yxu 2)(22ufxz 222)()(yufyz)()(yuf 则则例例11 设设0),(2 wyzxyxFF,存在二阶连存在二阶连偏导数偏导数,且且04 Fyw 求求22,yw 解解 记记),(),(2wyzxyxFwzyxG 则则422 FyFGy 4FGw 4422FFyFyw 22yw4422FFyFyw yFyF)2(42 4F )2(42FyF yF)(4 24)(F),(2wyzxyxF )2()2(242242ywyFFFyFy )2(2244424ywyFFyF )2()(44424ywyFFFy 小结：小结：一、二阶以及二阶以上的称为高阶一、二阶以及二阶以上的称为高阶 偏导数偏导数.二、若二、若),(yxfxy ),(yxfyx 和和在点在点),(yx 处连续处连续,则则 ),(yxfxy).,(yxfyx
