1、人教版 数学 九年级（下）第第2626章章 反比例函反比例函数数26.1.2 26.1.2 反反比例函数的图象和性比例函数的图象和性质质1 1.理解反比例函数的理解反比例函数的系数系数 k 的几何意义，并将其的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。2 2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题能解决反比例函数与一次函数的综合问题。3 3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会会数形结合数形结合及及转化转化的思想方法的思想方法。学习目标学习目标二、四二、四象限象限一、三一、三象限象限函数函数正比例函数正
2、比例函数反比例函数反比例函数解析式解析式图象形图象形状状K0 K0位位置置增增减减性性位位置置增增减减性性y=kx (k0)直线直线 双曲线双曲线 y随随x的增的增大而增大大而增大一、三象一、三象限限在每个象限，在每个象限，y随随x的增大而减小的增大而减小二、四象二、四象限限 y随随x的增的增大而减小大而减小在每个象限，在每个象限，y随随x的增大而增大的增大而增大正比正比例函例函数和数和反比反比例函例函数的数的区别区别用对比的方法用对比的方法去记忆效果如去记忆效果如何？何？yxoyxooyxoyx(0)kykx=导入新知导入新知 已知反比例函数的图象经过点已知反比例函数的图象经过点A(2，6)
3、.).(1)这个函数的图象分布在哪些象限这个函数的图象分布在哪些象限?y随随x的增大如何变化的增大如何变化?(2)点点B(3，4)、C(）和）和D（2，5）是否在这个）是否在这个函数的图象上？函数的图象上？142,452解：解：（1 1）因为点）因为点A（2,6）在第一象限，所以）在第一象限，所以这个函数这个函数的图象在第的图象在第一一、第、第三三象限，在每个象限内，象限，在每个象限内，y随随x的增大的增大而而减小减小。合作探究合作探究解：解：（2 2）设这个反比例函数的解析式为）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点因为点A (2，6)在其图象上，所以有在其图象上，所以有 ，解得解得 k=12
4、.kyx62k因为点因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点的坐标都满足该解析式，而点D的坐的坐标不满足，所以点标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为所以反比例函数的解析式为 .12yx方法总结：方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或或用用待定系数法待定系数法求求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要
5、判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，则不在若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，则不在 【讨论讨论】已知反比例函数图象上的一点已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性如何确定其图象的性质质?以及所给的点是否在该图象上以及所给的点是否在该图象上?1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过的图象经过点点 A(2，3)(1)求这个函数的表达式；求这个函数的表达式；kyx解：解：反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点 A(2，3)，把点把点 A 的坐标代入
6、表达式，得的坐标代入表达式，得 ，kyx32k 解得解得 k=6.这个函数的表达式为这个函数的表达式为 .6yx巩固新知巩固新知(2)判断点判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的是否在这个函数的图象上，并说明理由；图象上，并说明理由；解：解：分别把点分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，的坐标代入反比例函数的解析式，因为点因为点 B 的坐标不满足该解析式，点的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该的坐标满足该解析式，所以解析式，所以点点 B 不在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，点C 在该函在该函数的图象上数的图象上 (3)当当 3 x 0，当当 x 0 时，时，y 随
7、随 x 的的增大而减小增大而减小，当当 3 x 1 时，时，6 y a，那，那 么么b和和b有怎有怎样的大小关系？样的大小关系？（）m，在这个函数图象的任一支上，在这个函数图象的任一支上，y随随x的的增大增大而减小而减小，当当aa时时，bb合作探究合作探究【思考思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?注：注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数因此函数y随随x的增减性就不能连续的看，一定要强的增减性就不能连续的看，一定要强调调“在每
8、一象限内在每一象限内”，否则，笼统说，否则，笼统说k0时，时，y随随x的增大而增大，从而出现错误的增大而增大，从而出现错误.如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题：例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3，4).新知三 反比例函数中k的几何意义【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?与 S2 的大小关系是 S1 S2；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边右边，则在；（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象
9、在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。新知四 一次函数与反比例函数的组合图形(a0)的图象可能是()则这两个函数的解析式分别为 和 ，例3 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数 (x0)的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 ，即 ab=k.其中正确的是_（在横线上填出正确的序号）解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集1 B.新知一 利用待定系数法确定反比例函数解析式反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心
10、对称(1)求这个函数的表达式；给出的下列说法：2.如图，是反比例函数如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于的图象的一个分支，对于 给出的下列说法：给出的下列说法：常数常数k的取值范围是的取值范围是 ；另一个分支在第三象限；另一个分支在第三象限；在函数图象上取点在函数图象上取点 和和 ，当当 时，时，；在函数图象的某一个分支上取点在函数图象的某一个分支上取点 和和 ，当当 时，时，其中正确的是其中正确的是_（在横线上填出正确的序号）（在横线上填出正确的序号）2k 11,A a b22,B a b12aa12bb11,A a b12aa12bb 22,B a bxky2 Oxy巩固新知巩固新知
11、反比例函数的表达式为深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？能解决反比例函数与一次函数的综合问题。(3)当 3 x 1 时，求 y 的取值范围试求出它们的解析式，并画出图象.已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)y=kx (k0)反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称在函数图象上取点 和 ，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。反比例函数 的图象与正比例函数 y=
12、3x 的图象的交点坐标为 新知三 反比例函数中k的几何意义典例精析1 根据k的值识别函数的图形若SAOB=3,则k的值为（）方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.由一次函数增减性得k0解析：联立两个函数解析式解方程得：解：当 x=3时，y=2；1 B.在反比例函数在反比例函数 的图象上分别取点的图象上分别取点P，Q 向向 x 轴、轴、y 轴作垂线，围成面积轴作垂线，围成面积分别分别为为S1，S2的矩的矩形，填写形，填写下页表格：下页表格：4yx新知三新知三 反反比例函数中比例函数中k的几何意义的几何意义合作探究合作探究5123415xyOP
13、P(2，2)Q(4，1)S1的值的值S2的值的值 S1与与S2的关系的关系猜想猜想 S1，S2 与与 k的关系的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值的值 S2的值的值S1与与S2的关系的关系猜想与猜想与k 的关系的关系P(1，4)Q(2，2)若在反比例函数若在反比例函数 中也用中也用同样的方法分别取同样的方法分别取 P，Q 两点，填两点，填写表格：写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜想由前面的探究过程，可以猜想：若点若点P是是 图象上的任意一点图象上的任意一点，作，作 PA 垂垂直于直于 x 轴，作轴，作
14、 PB 垂直于垂直于 y 轴，轴，矩形矩形AOBP 的面积的面积与与k的关系是的关系是S矩形矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就我们就 k 0 的情况给出证明：的情况给出证明：设设点点 P 的坐标为的坐标为 (a，b)AB点点 P(a，b)在函数在函数 的图的图象上，象上，kyx ，即即 ab=k.kba S矩形矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若若点点 P 在第二象限，则在第二象限，则 a0，若点若点 P 在第四象限在第四象限，则则 a0，b0，S矩形矩形 AOBP=PBPA=a(b)=ab=k.BPA综上综上，S矩形矩形 AOBP=|k|.点点 Q 是其图象上的任意一点
15、，是其图象上的任意一点，作作 QA 垂直于垂直于 y 轴，作轴，作 QB 垂直于垂直于x 轴，矩形轴，矩形AOBQ 的面积与的面积与 k 的关的关系是系是 S矩形矩形AOBQ=.推理：推理：QAO与与QBO的面积和的面积和 k 的关系是的关系是 .Q对于反比例函数对于反比例函数 ，xky AB2QAOQBOkSS|k|yxO反比例函数的面积不变性要要点点归归纳纳由一次函数增减性得k0反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称解得 .(a0)的图象可能是()理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。(1)这个函
16、数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?在函数图象上取点 和 ，设点 P 的坐标为(a，b)2.在同一坐标系中，函数 和 y=k2 x+b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？在每个象限，y随x的增大而减小解：当 x=3时，y=2；.(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个解得 .能解决反比例函数与一次函数的综合问题。理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，可知2 x 3.例4 函数 y=kxk 与 的图象大致是()解析：联立两个函数解析式解方程得：(2)点B(3，4)、C(）和D（
17、2，5）是否在这个3.如图，点如图，点B在反比例函数在反比例函数 (x0）的图象上，横坐）的图象上，横坐标是标是1，过点，过点B分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线，垂足为轴作垂线，垂足为A、C，则矩形则矩形OABC的面的面积为（积为（）A.1 B.2 Bxy2巩固新知巩固新知例例1 如图，点如图，点A在反比例函数在反比例函数 的图象上，的图象上，AC垂直垂直 x 轴于点轴于点C，且，且 AOC 的面积为的面积为2，求该反比例函数的，求该反比例函数的表达式表达式xky 解：解：设点设点 A 的坐标为的坐标为(xA，yA)，点点A在反比例函数在反比例函数 的图象上，的图象上，xAyAk，反比例函数的
18、表达式为反比例函数的表达式为kyx4.yx典典例精析例精析1 1 通通过图形面积确定过图形面积确定k的值的值122AOCSk，k4，合作探究合作探究4.如图所示，过反比例函数如图所示，过反比例函数 （x0）的图象上一）的图象上一点点A，作，作ABx轴于点轴于点B，连接，连接AO.若若SAOB=3,则则k的的值值为（为（）A.4 B.5 C.6 Cxky 巩固新知巩固新知例例2 如图，如图，P，C是函数是函数 (x0)图象上的任意两点，图象上的任意两点，PA，CD 垂直于垂直于x 轴轴.设设POA 的面积为的面积为S1，则，则 S1=；梯形梯形CEAD 的面积为的面积为 S2，则，则 S1 与与
19、 S2 的大小关系是的大小关系是 S1 S2；POE 的面积的面积 S3 和和 S2 的大小的大小关系是关系是S2 S3.4yx2S1S2S3典例精析典例精析2 2 利利用用k的性质判断图形面积的关系的性质判断图形面积的关系合作探究合作探究解得 .所以 ，.2 B.典例精析3 根据k的几何意义求图形的面积由一次函数与y轴交点知k0，如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题：(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称当 x=1时，y=6，且 k 0，方法总结：解决反比例函数有关的面积问题
20、，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：反比例函数图象和性质的综合运用【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?典例精析3 根据k的几何意义求图形的面积已知反比例函数的图象经过点A(2，6).方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.设POA 的面积为S1，则 S1=；反比例函数的表达式为解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ，6A.SA SBSC B.SAS
21、BSCC.SA=SB=SC D.SASC0b 0k1 0k2 0b 0 xyOxyO知识点 4新知四新知四 一一次函数与反比例函数的组合图形次函数与反比例函数的组合图形合作探究合作探究k2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO 在同一坐标系中，函数在同一坐标系中，函数 和和 y=k2 x+b 的图象的图象大致如下，则大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件各应满足什么条件？xky1 例例4 函函数数 y=kxk 与与 的图象大致是的图象大致是()()0(kxkyD.xyOC.yyA.xB.xyODOOk0k0k0k0由一次函数增减性得k0由一次函数与y轴交点知k0，则k0 x提
22、示：提示：可可对对 k 的正的正负性进行负性进行分类讨论分类讨论.典例精析典例精析1 1 根根据据k的值识别函数的图形的值识别函数的图形合作探究合作探究 7.在同一直角坐标系中，函数在同一直角坐标系中，函数 与与 y=ax+1(a0)的图象可能是的图象可能是 ()()ayx A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB巩固新知巩固新知例例5 如图是一次函数如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数和反比例函数 的图象，观察图象，的图象，观察图象，当当 y1y2 时，时，x 的取值范围为的取值范围为 .23yx0 2 x 32myx解析：解析：y1y2 即一次函数图象处于即一次函数图象处于反比例
23、函数图象的上方时反比例函数图象的上方时.观察右观察右图，图，典例精析典例精析2 2 通通过函数图形确定字母的取值范围过函数图形确定字母的取值范围方法总结：方法总结：对于一些题目，借助对于一些题目，借助函数图象函数图象比较大小更加简洁明了比较大小更加简洁明了.可知可知2 x 3.合作探究合作探究 8.如图，直线如图，直线y=k1x+b与双曲线与双曲线 交于交于A、B两点，两点，其横坐标分别为其横坐标分别为1和和5，则不等式，则不等式 的解集的解集是是_1x521kk xbx2kyx巩固新知巩固新知例例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点
24、 P(3，4).).试求出它们的解析式，并画出图象试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)，则点则点P 的坐标分的坐标分别满足这两个解析式别满足这两个解析式.解：解：设设 y=k1x 和和 .2kyx所以所以 ，.143k 243k解得解得 .143k 212k 典例精析典例精析3 3 利利用函数的交点解答问题用函数的交点解答问题合作探究合作探究则这两个函数的解析式分别为则这两个函数的解析式分别为 和和 ，它们的图象如图所示它们的图象如图所示.43yx 12yx 这两个图象有何共同这两个图象有何共同特点？你能求出另外特点？你能求出另外
25、一个交点的坐标吗？一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？说说你发现了什么？【想一想想一想】9.反比例函数反比例函数 的图象与正比例函数的图象与正比例函数 y=3x 的的图象的交点坐标为图象的交点坐标为 12yx(2，6)，(2，6)解析：解析：联立两个函数解析式解方程得：联立两个函数解析式解方程得：123yxyx1126xy6222yx解得：解得：巩固新知巩固新知A 课堂检测课堂检测A C 6 6 A 2 面积问题面积问题与一次函与一次函数的综合数的综合反比例函数图象和反比例函数图象和性质的综合运用性质的综合运用面积不变性面积不变性反比例函数的图象是一个以原点为反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点比例函数的交点关于原点中心对称关于原点中心对称判断反比例函数和一次函数在同一直判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行角坐标系中的图象，要对系数进行分分类讨论类讨论，并注意，并注意b b 的正负的正负归纳新知归纳新知D 课后练习课后练习C A
