1、将下面各式展开将下面各式展开（,()(,)iji jj iuui j11 2 32（)3,2,1,(210jiUijijeuuGnFiji,jj,iiie 为体积应变为体积应变利用指标符号推导位移法基本方程利用指标符号推导位移法基本方程上在VFuGuGbijiji0,2（若若 利用指标符号推导位移法基本方程利用指标符号推导位移法基本方程上在VFuGuGbijiji0,2位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程)3,2,1,(0,jiFbijji),j,i()e()(Eijijij321211kke),j,i()e()(Eijijij321211kke),
2、j,i()()(Eijj,kkj,jij,ji321211而而),j,i()uu(i,jj,iij32121则则ijkj,kjj,iij,jj,jiuuu)(E21211ki,kjj,iij,jj,jiuuu)(E21211注意哑标可换标注意哑标可换标ji,jjj,iij,jj,jiuuu)(E21211jj,iji,jj,jiuu)(E2121211代入代入jj,iji,jj,jiuu)(E2121211jj,iji,jGuuG)3,2,1,(0,jiFbijji得得上在VFuGuGbijiji0,2试求位移。试求位移。xzlx ygFbz其中其中 k 为待定常数，为待定常数，(xy)为待定
3、函数为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。试写出应力分量的表达式和位移法方程。ukyz vkxz,wkx y半空间体在自重半空间体在自重 g 和表面均布压力和表面均布压力 q 作用下的位移解作用下的位移解22221zhgzhqGw试求试求 (应力比应力比).).hy xOhABCDqx yq o A x yo450lh00byyxybxyxxFyxFyx0bybxF,aFx yo450lhYllXllyxyyxx212100Y,XhxaY,axX2x yo450lhYllXllyxyyxx212100Y,XxyxyxyyyxxGEE1)(1 )(1式中式中 E、为弹性模量和泊松系数。
4、为弹性模量和泊松系数。试（试（1）求应力分量和体积力分量；）求应力分量和体积力分量；（2）确定各边界上的面力。）确定各边界上的面力。lhyxOh(),ggulxxyvlx yEE 2222)xl(Egyv,xlEgxuyxlhyxOh)xl(Egyv,xlEgxuyx0 xvyuxy2 2、求应力（平面应力问题）、求应力（平面应力问题）xyxyyxyyxxGEE)(1 )(122)xl(gx00 xyy,lhyxOh4 4、求、求力力00byyxybxyxxFyxFyx0bybxF,gF左右边界和下边界无面力；左右边界和下边界无面力；上边界面力为均匀拉力上边界面力为均匀拉力 g gl 。)xl
5、(gx00 xyy,设有一无限长的薄板，上下两端固设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。设：设：u=0、v=v(y)xyb go位移解为位移解为byyE)(gv,u2102yVY,xVXyxVxVyxyyx22222,2232343yqcxyxycF2coxyl将将 代入代入 4 =0 满足满足,为应力函数。为应力函数。2 2、求应力（无体力）、求应力（无体力）2232343yqcxyxycF2coxyl3 3、求边界力、求边界力22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyx2coxyl2222232214
6、3 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx212100Y,X00Y,X2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx212122143cycFY,qXFdyYcc2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx2121,cFlyqX32322143cycFY,cFlyqX32322143cycFYoxylqcdyXcc2FdyYccFlydyXccFlqqFF3223eycxyybxaxyxqo 将将 代入代入 4 =0 满足满足,为应力函数。为
7、应力函数。3223eycxyybxaxyxqo 2 2、求应力（有常体积力）、求应力（有常体积力）qF,Fbybx 0cybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 266222222yxqo 3 3、由边界条件确定待定系数、由边界条件确定待定系数00Y,X 06 02,ax,bxyxycybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 26 6222222yxqo 00Y,Xcybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 26 6222222020262(cosqy)sin(cycoscy)sin)(eycxyxqo ctgqsincosqc22 23
8、ctgqeqyctg,qy,qyctgqxctgxyyx 22sin,Pr sin,Pr 由边界条件确定由边界条件确定 C1 和和 C2 圆环匀速（圆环匀速（）转动转动圆盘密度为圆盘密度为 ，ur 表达式为表达式为22321(1)8rCuC rrrEx yb ra边界条件为：边界条件为：(r）r=a=0,(r）r=b=0)(12rudrduErrr应力应力 r（平面（平面应力问题）应力问题）：由边界条件确定由边界条件确定 C1 和和 C2：x yb ra应力应力 ：2221813baEC2222813baEC2222222r83 rrbaba222222233183 rrbaba无体力的矩形薄
9、板，薄板内有无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径一个小圆孔（圆孔半径a 很小），且薄板受很小），且薄板受纯剪切作用，纯剪切作用，。qx yqabq为单连域，为单连域，为多连域；为多连域；abq r=2C1，ur=2C1 r(1-1)/E1 r=A2/r 2+2C2，=-A2/r 2+2C1，ur=-(1+2)A2/r+2C2 r(1-2)/E2abq边界条件：边界条件：(r）r=b=-q 条件：条件：r=a 时时 ur1=ur2，r1=r2 A2/b2+2C2=-q (1)abqr=a 时时 ur1=ur2，r1=r2 A2/b2+2C2=-q (1)2C1a(1-1)/E1=-(1
10、+2)A2/a+2C2 a(1-2)/E2 (2)2C1=A2/a2+2C2 (3)(r,)=r2(Asin2 +B )/2 半无限平面薄板不计体力。已半无限平面薄板不计体力。已知在边界上有平行边界的面力知在边界上有平行边界的面力q q 作用。应作用。应力函数取为力函数取为试（试（1 1）列出求解待定系数）列出求解待定系数 A、B 的方程的方程式，（式，（2 2）写出应力分量表达式。）写出应力分量表达式。oxyrq (r,)=Acos2 +Bsin2 +C 无体力的楔形体无体力的楔形体，作用，应力函数取为作用，应力函数取为A、B、Cox yM/2/2。lPCBAx ylC利用虚位移原理、最小势
11、能原利用虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理求解图示理、虚应力原理和最小余能原理求解图示桁架的内力。已知桁架各杆桁架的内力。已知桁架各杆 EA 相同，材相同，材料的弹性关系为料的弹性关系为 =E 。虚位移虚位移原理求原理求解图示桁架的内力解图示桁架的内力 桁架在荷载作用桁架在荷载作用 下，各下，各杆产生内力杆产生内力NAC、NBC、NDC和变形，引起和变形，引起C点位移：点位移：uc 和 vc（内力、变形和位移（内力、变形和位移是真实的）。是真实的）。lPCBAx ylDlPCBAx ylD设桁架有虚位移，桁架有虚位移，C点虚位移点虚位移 uc 和 vcijijVdV ACACB
12、CBCDCDCNNNCSiivPdSuX cACuDCcv()BCccuv22lPCBAx ylDcACcDCcP vNuNvBCccNuv22,ACBCDCBCNNPNN220022lPCBAx ylD,ACBCDCBCNNPNN220022,ACcDCcEAEANuNvll BCccEANuvl222,ccPlPluvEAEA1222 122 12,ACcDCcEAEANuPNvPll 212322BCccEANuvPl222222虚应力虚应力原理求图示桁架的内力原理求图示桁架的内力lPCBAx ylD 桁架在荷载作用桁架在荷载作用 下，各下，各杆产生内力杆产生内力NAC、NBC、NDC和
13、变形，引起和变形，引起C点位移：点位移：uc 和 vc（内力、变形和位移（内力、变形和位移是真实的）。是真实的）。设桁架有虚内力，对应于桁架有虚内力，对应于无荷载情况，无荷载情况，NAC、NBC、NDClCBAx ylD虚应力方程虚应力方程lPCBAx ylD即NAC AC+NBC BC+NDC DC=0lCBAx ylDiijVijiSieWdVdSuXWuEAlNEAlN,EAlNBCBCDCDCACAC2NAC+NBC cos450=0,NDC+NBC cos450=0NBC =（NAC+NDC）/2 （1）lPCBAx ylDNBC cos450+NAC=0 （2）NBC cos450
14、+NDC+P=0 （3）lPCBAx ylDPN,PN,PNDCACBC232212222利用最小余能利用最小余能原理求原理求图示梁的弯图示梁的弯矩。矩。图示梁受荷载图示梁受荷载作用，试利用虚位移原作用，试利用虚位移原理理 或最小势能原理导出或最小势能原理导出梁的平衡微分方程和力梁的平衡微分方程和力的边界条件。的边界条件。y qEI x l M y qEI x l（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。（2 2）简支梁受均布）简支梁受均布荷载荷载 q 作用作用,设：设：v=B1x(x-l)+B2x2(x-l)。利用虚位移原理的近似法或利用虚位移原理的近似法或Ritz
15、法法求解图示梁的挠曲线。求解图示梁的挠曲线。x yPEIl/2l/2P qEI y x l（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。利用虚位移原理的近似法或利用虚位移原理的近似法或Ritz 法法求解图示梁的挠曲线。求解图示梁的挠曲线。x yPEIl/2l/2P利用利用Ritz 法求解图示梁的挠曲线。法求解图示梁的挠曲线。设挠曲线为设挠曲线为3221xbxbv满足位移边界条件：满足位移边界条件：0)()(,0)(000 xxxdxdvxvv梁的应变能梁的应变能:x yPEIl/2l/2P3221xbxbv外力势能外力势能:确定确定b1,b2xbbv21 62)lblbbl
16、b(EIdx)x(EIUl32222121023322lx/lx)v(P)v(PV2梁的总势能梁的总势能:x yPEIl/2l/2P3221xbxbv外力势能外力势能:lx/lx)v(P)v(PV2)lblb(P)/lb/lb(P3221322184 =U+V 由总势能由总势能 的变分的变分 =0，得得x yPEIl/2l/2P解得解得 045322 022211Pl)lblb(EI:b)VU(089632 0332212Pl)lblb(EI:b)VU(41611 21EIPb,EIPlb梁的挠曲线梁的挠曲线3241611xEIPxEIPlvu=0,v=B1 y(y-b)，求其位移解答。求其位
17、移解答。设有一无限长的薄板，上下两端固设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。定，仅受竖向重力作用。利用利用Ritz 法法求求其位移解答。设位移的近似解为其位移解答。设位移的近似解为 xyb gogF,Fbybx 0将将 u=0,v=B1 y(y-b)代入代入xyb go薄板薄板的总势能的总势能 =U+V dxdyxvyuyvxuyvxuEUA2222212123123212bBE取取y轴两侧各轴两侧各1/21/2单单位长度计算位长度计算将将 u=0,v=B1 y(y-b)代入代入xyb go薄板薄板的总势能的总势能 =U+V dxdybyyBgVA1631bBg取取y轴两侧各轴两侧各1/21/2单单位长度计算位长度计算由总势能由总势能 的变分的变分 =0，得得xyb go得得 06 01g:B)VU()-3(1EB21E)(gB2121位移解为位移解为byyE)(gv,u21021.1.试写出伽辽金法在梁弯曲问题的试写出伽辽金法在梁弯曲问题的求解方程。求解方程。2.2.利用伽辽金法求图示简支梁的近似利用伽辽金法求图示简支梁的近似解，设梁挠度的近似解为解，设梁挠度的近似解为 v=B1 sin（x/l）。qEI y x l
