1、人教版 数学 九年级（下）第28章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第2课时 余弦和正切1 1.认识并理解余弦、正切的概念，进而得到锐角三认识并理解余弦、正切的概念，进而得到锐角三角函数的概念角函数的概念。2 2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。学习目标学习目标如图，在 RtABC 中，C90，角 A 的 叫做A的正弦，对边与斜边的比即 sin A=.ABCcab对边斜边回顾旧知回顾旧知如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.ABC此时其他边之间的比此时其他边之间的比是否是否也也随之确定呢？随之确定呢？导入新
2、知导入新知 新知一 锐角的余弦ABCDEF合作探究合作探究正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.第2课时 余弦和正切如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即由于都是两边比，因此其值都为正.17如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC.如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.如图，在 RtABC 中，C=90，求 cosA 和 cosB 的值.余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，如图，在 R
3、tABC 中，C90，例2 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值.此时其他边之间的比是否如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2，则 tan D=.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.由于都是两边比，因此其值都为正.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.第2课时 余弦和正切新知一 锐角的余弦同样地，cos A，tan A 也是 A 的函数.人教版 数学 九年级（下
4、）(1)求证：AEFDCE；人教版 数学 九年级（下）A=D，C=F=90，B=E，sinB=sinE，因此.ACDFABDEABCDEF在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的角的邻边邻边与与斜边斜边的比值是一个常数，与直角三角的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关形的大小无关如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即ABC斜边邻边A的邻边斜边cos A=.ACAB5如图，在RtABC中，C90，M是直角边AC上一点，MNAB于点N，AN3，AM4，求cos B的值余弦是在直角三角形中定义的，反映
5、了直角三角形边与角的关系.求A的三个三角函数值同弧或等弧所对的圆周角相等.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.解：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得例2 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三
6、角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.A 的正弦、余弦、正切都是A 的锐角三角函数.例2 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值.=DCA，RtDACsinB=sinE，此时其他边之间的比是否如图，在 RtABC 中，C90，人教版 数学 九年级（下）14已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，求底角的正切值如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.能灵活运用锐角三角函数
7、进行相关运算。如图，在 RtABC 中，C90，1.余弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与余弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系角的关系.2.余弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的余弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.ABC43图解：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得2222=435.ABACBC因此4cos5ACAAB，3cos.5BCBAB确定角的邻边和斜边确定角的邻边和斜边如图，在 RtABC 中，C=90，求 cosA 和 cosB 的值
8、.ABC135图解：如图，在RtABC中，由勾股定理得2222=13512.ACABBC因此12cos13ACAAB，5cos.13BCBAB确定角的邻边和斜边确定角的邻边和斜边如图，在 RtABC 中，C=90，求 cosA 和 cosB 的值.ABC14A巩固新知巩固新知CRtBDCRtBCA=DCA，RtDAC 新知二 锐角的正切ABCDEF合作探究合作探究如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.17如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC.即
9、BC DF=AC EF，余弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2，则 tan D=.当已知锐角 的一个三角函数值求锐角 的其他三角函数值时，可先画出锐角 所在的直角三角形，然后利用已知的三角函数值，通过采用设参数的方法，并结合勾股定理表示出三角形的三条边的长，再根据锐角三角函数的定义求解.对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以 sin A 是 A 的函数.第2课时 余弦和正切例2 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求 si
10、n A，cos A，tan A 的值.如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2，则 tan D=.在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关由于都是两边比，因此其值都为正.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.如图，在 RtABC 中，C90，由于都是两边比，因此其值都为正.5如图，在RtABC中，C90，M是直角边AC上一点，MNAB于点N，AN3，AM4，求cos B的值由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0
11、sin A 1，0 cos A 0.正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.如图，在 RtABC 中，C=90，求 cosA 和 cosB 的值.5如图，在RtABC中，C90，M是直角边AC上一点，MNAB于点N，AN3，AM4，求cos B的值即 sin A=.RtABC RtDEF.即 BC DF=AC EF，A=D，C=F=90，.BCACEFDF.BCEFACDFABCDEF在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的角的对边对边与与邻边邻边的比值是一个常数，与直角三角的比值是一个常
12、数，与直角三角形的大小无关形的大小无关如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tanA，即A的邻边A的对边tan A=.BCACABC邻边对边1.正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系角的关系.2.正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.活学巧记锐角三角函数值，正弦等于对比斜，锐角三角函数值，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，
13、余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，由于都是两边比，因此其值都为正由于都是两边比，因此其值都为正.A 的正弦、余弦、正切都是A 的锐角三角函数.对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以 sin A 是 A 的函数.同样地，cos A，tan A 也是 A 的函数.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.例2 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，ta
14、n A 的值.ABC106解：由勾股定理得2222=106=8ACABBC，因此63sin=105BCAAB，84cos=105ACAAB，63tan=.84BCAACABC6解：sinBCAAB，又22221068ACABBC，4tan.3ACBBC=4cos5ACAAB=，5610sin3BCABA=.1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.55sin=,13BCAAB12cos=13ACAAB，5tan=,12BCAAC5cos=13BCBAB，12tan=.5ACBBC12sin=13ACBAB，巩固新知巩固新知1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值
15、和正切值.3 13sin=,13BCAAB2 13cos=13ACAAB，3tan=,2BCAAC3 13cos=13BCBAB，2tan=.3ACBBC2 13sin=13ACBAB，2.如图，在半径为 3 的 O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2，则 tan D=.1.1.直径所对的圆周角为直角；直径所对的圆周角为直角；2.2.同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等.2.如图，在半径为 3 的 O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2，则 tan D=.3k5k4k33sin=,55BCkABk33t
16、an=.44BCkACk利用参数法求锐角三角函数值当已知锐角当已知锐角 的一个三角函数值求锐角的一个三角函数值求锐角 的其他三的其他三角函数值时，可先画出锐角角函数值时，可先画出锐角 所在的直角三角形，所在的直角三角形，然后利用已知的三角函数值，通过采用设参数的方然后利用已知的三角函数值，通过采用设参数的方法，并结合勾股定理表示出三角形的三条边的长，法，并结合勾股定理表示出三角形的三条边的长，再根据锐角三角函数的定义求解再根据锐角三角函数的定义求解.A的对边斜边sin A=三角函数正弦A的邻边斜边cos A=余弦A的对边A的邻边tan A=正切归纳新知归纳新知C 课后练习课后练习D B 5如图
17、，在如图，在RtABC中，中，C90，M是直角边是直角边AC上一点，上一点，MNAB于点于点N，AN3，AM4，求，求cos B的值的值如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.第28章 锐角三角函数=DCA，RtDAC=DCA，RtDAC如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.角 A 的 叫做A的正弦，由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，B
18、D，若 AC=2，则 tan D=.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.同弧或等弧所对的圆周角相等.如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A 的对边与斜边的比随之确定.例2 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.17如图，在矩形ABCD中，AB
19、2AD，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC.由于都是两边比，因此其值都为正.在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关5如图，在RtABC中，C90，M是直角边AC上一点，MNAB于点N，AN3，AM4，求cos B的值A 的正弦、余弦、正切都是A 的锐角三角函数.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 sin A 1，0 cos A 0.角 A 的 叫做A的正弦，如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2，则 tan D=.D 17 C 10如图，在如图，在RtABC中，中，C90，D为为AC上一点，上一点，CD3，ADBD5.求求A的三个三角函数值的三个三角函数值D A 14已知等腰三角形的腰长为已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为，底边长为10 cm，求底角的正切值，求底角的正切值17如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB2AD，E为为AD的中点，的中点，EFEC交交AB于于点点F，连接，连接FC.(1)求证：求证：AEFDCE；(2)求求ECF的正切值的正切值
