1、第二十七章第二十七章27.1.2 27.1.2 相似多边形相似多边形人教版数学九年级下册1.1.掌握相似多边形的性质，会利用性掌握相似多边形的性质，会利用性质判断相似多边形质判断相似多边形.2.2.了解相似比和成比例线段的概念了解相似比和成比例线段的概念.学习目标学习目标回顾交流：回顾交流：把下面相似的图形用线连起来把下面相似的图形用线连起来.BCADEF导入新知导入新知1知识点知识点相似多边形的定义相似多边形的定义问问 题题 图中的两个大小不同的四边形图中的两个大小不同的四边形ABCD和四边形和四边形A1B1C1D1中，中，A=A1，B=B1，C=C1，D=D1，,因此四边形因此四边形ABC
2、D与四边与四边形形A1B1C1D1相似相似.ABBCCDDAA BB CC DD A11111111合作探究合作探究如果两个多边形的如果两个多边形的角分别相等角分别相等，边成比例边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形那么这两个多边形叫做相似多边形定义定义小和EF的长度x.A540元 B1 080元解：因为四边形ABCD和EFGH相(2)所有的边成比例GFAB，垂足分别为点E，F.四边形AFGE与四边形ABCD相似1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最解：(1)设ADx，则DM .如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，例2 如图，四边形
3、ABCD和EFGH相似，求角，的大似，所以它们的对应角相等，GFAB，垂足分别为点E，F.由此可得=C=83，A=E=118.，且EAFDAB，分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可例（2）对应边的比等于 ；2 下列说法中正确的是()若一个三角形的三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为()例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与B正方形与菱形=D1，,因此四边形ABCD与四边判定相似多边形的条件：判定相似多边形的条件：(1)所有的角分别相等；所有的角分别相等；(2)所有的边成比例所有的边成比例 以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相
4、以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相 似多边形必备的条件，缺一不可似多边形必备的条件，缺一不可例例1 如图，如图，G是正方形是正方形ABCD对角线对角线AC上一点，作上一点，作GEAD,GFAB，垂足分别为点，垂足分别为点E，F.求证：四边形求证：四边形AFGE与四边形与四边形ABCD相似相似导引：导引：要判定两个多边形相似，从边和角两个方面要判定两个多边形相似，从边和角两个方面 证明，即需证对应角相等，对应边的比相等证明，即需证对应角相等，对应边的比相等证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBCCDDA，DAC BAC45.又又GEAD，GFAB，EGFG，且，且A
5、EEG，AFFG.AEEGFGAF，四边形四边形AFGE为正方形为正方形 ，且，且EAFDAB，AFGABC，FGEBCD，AEGADC.四边形四边形AFGE与四边形与四边形ABCD相似相似AFFGGEAEABBCCDAD 判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可例分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可例如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，两个正方形一定相似两个正方形一定相似新知小结新知小结1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？如图所示的两个三角形
6、相似吗？为什么？解：解：相似相似.由已知条件可知它们的角分别相等，由已知条件可知它们的角分别相等，边成比例边成比例.巩固新知巩固新知2 下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A对应角相等的多边形一定是相似多边形对应角相等的多边形一定是相似多边形 B对应边的比相等的多边形是相似多边形对应边的比相等的多边形是相似多边形 C边数相同的多边形是相似多边形边数相同的多边形是相似多边形 D对应角相等、对应边成比例的两个边数相同对应角相等、对应边成比例的两个边数相同 的多边形是相似多边形的多边形是相似多边形D3 如图，在三个矩形中，相似的是如图，在三个矩形中，相似的是()A甲和丙甲和丙 B甲和乙甲和乙 C
7、乙和丙乙和丙 D甲、乙和丙甲、乙和丙A4 下列四组图形中，一定相似的是下列四组图形中，一定相似的是()A正方形与矩形正方形与矩形 B正方形与菱形正方形与菱形 C菱形与菱形菱形与菱形 D正五边形与正五边形正五边形与正五边形D2知识点知识点相似多边形的性质相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等，相似多边形的对应边的比相等，对应角相等对应角相等作用：作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的 度数度数合作探究合作探究例例2 如图，如图，四边形四边形ABCD和和EFGH相似，求角相似，求角，的大的大 小和小和EF的长度
8、的长度x.解：解：因为四边形因为四边形ABCD和和EFGH相相 似，所以它们的对应角相等，似，所以它们的对应角相等，由此可得由此可得=C=83，A=E=118.在四边形在四边形ABCD中，中，=360-(78+83+118)=81.因为四边形因为四边形ABCD和和EFGH相似，所以它们的对应边相似，所以它们的对应边 成比例，由此可得成比例，由此可得 解得解得x=28.即即EHEFx,.ADAB 242118 利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键需要注意的是对
9、应边是比相等，而对应角是直接键需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等相等新知小结新知小结1 如图所示的两个五边形相似，求如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值的值.解：解：a3，b，c4，d6.巩固新知巩固新知若一个三角形的三边之比为若一个三角形的三边之比为3:5:7，与它相似的三，与它相似的三角形的最长边的长为角形的最长边的长为21，则最短边的长为，则最短边的长为()A15 B10 C9 D32C如图，正五边形如图，正五边形FGHMN与正五边形与正五边形ABCDE相似，相似，若若AB:FG2:3，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()A2DE3MN B3DE2MNC3A2
10、F D2A3F3B如图，四边形如图，四边形ABCD与四边形与四边形A1B1C1D1相似，相似，AB12，CD15，A1B19，则，则C1D1的长是的长是()A10 B12 C.D.4454365C【中考中考济宁济宁】如图，在长为】如图，在长为8 cm、宽为、宽为4 cm的矩的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影图中阴影部分部分)与原矩形相似，则留下的矩形的面积是与原矩形相似，则留下的矩形的面积是()A2 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D16 cm25C【中考中考通辽通辽】志远要在报纸上刊登广告，一块志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm5 cm
11、的长方形版面要付广告费的长方形版面要付广告费180元，他要把元，他要把该版面的边长都扩大为原来的该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费版面广告费相同的情况下，他该付广告费()A540元元 B1 080元元 C1 620元元 D1 800元元6C相似比的定义：相似比的定义：相似多边形对应边的比称为相似比相似多边形对应边的比称为相似比ABC A B C A=A B=B C=C 对应角相等对应角相等 对应边成比例对应边成比例A BA B=B CB C A CA C=相似比相似比若若ABC A B C 导引：导引：相似多边形的对应边的比相等，其
12、比值就是相似比相似多边形的对应边的比相等，其比值就是相似比解：解：(1)设设ADx，则，则DM .矩形矩形DMNC与矩形与矩形ABCD相似，相似，x232.x4 或或x4 (舍去舍去)，即，即AD的长为的长为4 .(2)矩形矩形DMNC与矩形与矩形ABCD的相似比为的相似比为例例3 如图，把矩形如图，把矩形ABCD对折，折痕为对折，折痕为MN，矩形，矩形DMNC与与 矩形矩形ABCD相似，已知相似，已知AB4.(1)求求AD的长；的长；(2)求矩形求矩形DMNC与矩形与矩形ABCD的相似比的相似比ADCDx.xDCDM442x2222.4224 2合作探究合作探究 利用相似多边形的性质求线段长
13、及相似比的方法：利用相似多边形的性质求线段长及相似比的方法：先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最后通过相似多边形的对应边成比例建立方程进行计算后通过相似多边形的对应边成比例建立方程进行计算这种巧用这种巧用方程思想方程思想的方法在相似多边形的计算中经常的方法在相似多边形的计算中经常运用运用新知小结新知小结六边形六边形ABCDEF与六边形与六边形ABCDEF相似，若对相似，若对应边应边AB与与AB的长分别为的长分别为50 cm和和40 cm，则
14、六边，则六边形形ABCDEF与六边形与六边形ABCDEF的相似比是的相似比是()A5:4 B4:5 C5:2 D2:15B巩固新知巩固新知1知识小结知识小结相似相似形的性质：相似相似形的性质：（1）对应角）对应角 ；（2）对应边的比等于）对应边的比等于 ；相等相等相似比相似比归纳新知归纳新知一位同学经过研究发现：在等边三角形中，每条边都是相一位同学经过研究发现：在等边三角形中，每条边都是相等的，两个等边三角形相似；在正方形中，每条边都是相等的，两个等边三角形相似；在正方形中，每条边都是相等的，两个正方形相似于是他进一步推广，认为如果多等的，两个正方形相似于是他进一步推广，认为如果多边形的各边都
15、相等，那么这样的两个边数相同的多边形相边形的各边都相等，那么这样的两个边数相同的多边形相似你认为这种说法正确吗？为什么？似你认为这种说法正确吗？为什么？2易错小结易错小结解：解：这种说法不正确比如，如图所示的两个菱形，每个菱形这种说法不正确比如，如图所示的两个菱形，每个菱形的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所以它们不相似以它们不相似易错点：易错点：对相似多边形定义理解不透而致错对相似多边形定义理解不透而致错.相等相等成比例成比例对应角对应角对应边对应边课后练习课后练习DBB相等相等成比例成比例相似比相似比AABBC这种说法不正确比
16、如，如图所示的两个菱形，每个菱形的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所以它们不相似D甲、乙和丙A正方形与矩形C3A2Fx4 或x4 (舍去)，即AD的长为4 .那么这两个多边形叫做相似多边形先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过键需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，了解相似比和成比例线段的概念.C3A2F导引：要判定两个多边形相似，从边和角两个方面矩形ABCD相似，已知AB4.相似比的定义：相似多边形对应边的比称为相似比边成比例.设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最若一个三角形的三边之比为3:5:7，与它相似
17、的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为()例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角，的大键需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最（1）对应角 ；解：a3，b，c4，d6.【答案答案】B似，所以它们的对应角相等，C5:2 D2:后通过相似多边形的对应边成比例建立方程进行计算(2)所有的边成比例相似比的定义：相似多边形对应边的比称为相似比x4 或x4 (舍去)，即AD的长为4 .BAC45.的多边形是相似多边形解得x=28.先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过【中考济宁】如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩
18、形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形的面积是()如果两个多边形的角分别相等，边成比例，GFAB，垂足分别为点E，F.在四边形ABCD中，由此可得=C=83，A=E=118.D甲、乙和丙设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最=360-(78+83+118)=81.似，所以它们的对应角相等，小和EF的长度x.四边形AFGE与四边形ABCD相似【中考济宁】如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形的面积是()2 下列说法中正确的是()GFAB，垂足分别为点E，F.d的值.后通过相似多边形的对应边
19、成比例建立方程进行计算设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最似多边形必备的条件，缺一不可如果两个多边形的角分别相等，边成比例，键需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接3 如图，在三个矩形中，相似的是()例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与这种说法不正确比如，如图所示的两个菱形，每个菱形的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所以它们不相似d的值.似，所以它们的对应角相等，掌握相似多边形的性质，会利用性质判断相似多边形.解得x=28.例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与似，所以它们的对应角相等，似，所以它们的对应角相等，例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB4.先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过解：因为四边形ABCD和EFGH相再见再见
