1、HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数5.1 贝塞尔方程的导出 设有半径为设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。规律。问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：).,(|,0|),(02222222yxuuRyxuuautRyxyyxxtHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5
2、 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数0,20,0),(20,),()0,(0,20,),11(2222222ttRuRrrrutRrurrurruauatu令：0),(),(rVrV20Ta T0112 rr 22rrr令：0 022 rrr(0)2()atT tAe)(),(),(tTrVtru),()()(),(2rVtTatTrV),(),()()(2rVrVtTatT)()(),(rPrVHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数2n,3,2,1,0n,sincos,nBnAnnn)0(,0)(,0222RRrnrrrrx/,xrrrd)
3、(dy 222,()0,(00)x yxyxnyxRyRyrxxxddd)(dyxxyd)(dn阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题)2()(,0 的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为 令令 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(n为任意实数或复数为任意实数或复数)2220 x yxyxny)0()(002210axaxaxaxaaxykkckkkc0)()()1)(022kkckxanxkckckc0)()1()(02221122022kkckkccxaankcxancxanc0)(02
4、2anc0)1(122anc0)(222kkaankc令：5.2 贝塞尔方程的求解假设假设,0n由于由于00a，所以有，所以有ncHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数10a 2(2)kkaaknk135.0aaa情形1 n不为整数和半奇数当当c=n时时)1(210nan22(1)02!(1)mmnmanmnm,则有令20(1)()0!(1)2nmmnmxJxnmnm于是于是,得到贝塞尔方程的一个特解得到贝塞尔方程的一个特解(称为称为n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数)01)(dxxeppx)()1(ppp1)1(当p为正整数时!
5、)1(pp当p为负整数或零时)(p)2/1(HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数当当c=-n时，令时，令 于是于是,得到贝塞尔方程的另一个特解得到贝塞尔方程的另一个特解(称为称为-n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数)1(210nan,2,1 ,2)1(!)1()(20nxmnmxJmnmmn显然显然)(),(xJxJnn线性无关，于是线性无关，于是n阶阶贝塞尔方程的通解为贝塞尔方程的通解为).()()(xBJxAJxynn()cos()()sinnnnJxnJxY xn)()(xBYxAJynn(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼
6、函数)如果取如果取,则得到方程的另则得到方程的另一个与一个与nBnAcsc,cot)(xJn线性无关的特解线性无关的特解于是于是n阶阶贝塞尔方程的通解又可表示为贝塞尔方程的通解又可表示为HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数情形2 n为整数20(1)()0,1,2,!()!2nmmnmxJxnmnm此时此时)(),(xJxJnn线性相关。令线性相关。令)()1()(xJxJnnnsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn可以证明可以证明)(xJn线性无关的特解，线性无关的特解，)(xYn是贝塞尔方程的与是贝塞尔方程的与)()(xD
7、YxCJynn于是，此时于是，此时n阶阶贝塞尔方程的通解为贝塞尔方程的通解为情形3 n为半奇数(类似讨论)HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数0222 ynxyxyx20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnmsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn()()nnyAJxBY xA、B为任意常数，n为任意实数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质1 有界性)(xJn)(xY
8、n0 x)0(nY性质2 奇偶性)()1()(xJxJnnn)()1()(xYxYnnn5.3 贝塞尔函数的性质当n为正整数时 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数2220dd(1)()dd2!(1)mnmnnnmmxx Jxxxmnm mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质3 递推性 22120(1)222!(1)mnmnmmnm xmnm01212)(!2)1(mmnmnmnmnmxx)(1xJxnn)()()(11xJxxJnxxJxnnnnnn1()()()nnnxJ
9、xnJxxJx11()()()nnnnnnxJxnxJxxJx 1()()()nnnxJxnJxxJx 1d()()dnnnnxJxxJxx 1d()()dnnnnx Jxx Jxx 01d()()dJxJ xx 10d()()dxJ xxJxx112()()()nnnnJxJxJxx11()()2()nnnJxJxJxHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数)()(dd1xYxxYxxnnnn)()(dd1xYxxYxxnnnn)(2)()(11xYxnxYxYnnn)(2)()(11xYxYxYnnn1d()()dnnnnxJxxJ
10、xx 1d()()dnnnnx Jxx Jxx 112()()()nnnnJxJxJxx11()()2()nnnJxJxJx例1 求下列微积分0d(1)()dJxx)(0 xJ)(1xJ001(2)()()JxJxx)(1)(11xJxxJ)(21)(21)(21)(212020 xJxJxJxJ)(2xJ00(3)3()4()JxJx)(4)(311xJxJ)(2)(2)(3201xJxJxJ)()()(2)(33111xJxJxJxJ)(3xJHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数2(4)()dxJxx xxJxxd)(212)(
11、d112xJxx2111d)()(xxJxxxJxxJxxJd)(2)(11)(d2)(01xJxxJCxJxxJ)(2)(01)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn00(6)()cos dRJxx x RRxxJxxxxJ0000cos)(d|cos)(RxxxJxxJxRRRJ0000dsin)(cos)(cos)(RxxxxJxxxJRRRJ0110dsin)(cos)(cos)(RxxxxJRRRJ010dsin)(cos)(RRRJRRRJsin)(cos)(1030(5)(
12、)dx Jxx)(d12xxJxxxJxxJxd)(2)(1213)(d2)(2213xJxxJxCxJxxJx)(2)(22131(7)()dnnxJxxttJtnnd)(1ttJtnnnd)(112)(d1112tJtnnnCtJtnnn)(121HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质4 初值 1)0(0J0)0(nJ(0)n)0(nY21)0()0(21)0(201JJJ0)0()0(21)0(11nnnJJJ1n)(2)()(11x
13、JxJxJnnn性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点)(xJn和)(1xJn的零点相间分布)(xJn的零点趋于周期分布，)()(1limnmnmm()()0nnmJHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnm性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 122102(1)()32!()2mmmxJxmmmmmxmm22102)21(2121221121!)1(mmmmxmm221012)21(12531!2)1(mmmmxm2210122!122)1(2102(1)21!mmmxxmxxsin2xxxJcos
14、2)(21xxxxxxJnnnnsindd12)1()(2121xxxxxxJnnncosdd12)(21)21(210(1)221!mmmxmxHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质7 大宗量近似 241cos2)(nxxxJn241sin2)(nxxxYn0)(,0)(,xYxJxnnHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质8 正交性()()222()2()0110,d()(
15、),22nnRmknnnnnmnmmkrJr JrrRRRRJJmk称称 RnmndrRrrJ0)(2)(n阶贝塞尔函数系阶贝塞尔函数系 1)()(mnmnrRJ在区间在区间(0,R)上带权函数上带权函数r正交：正交：其中其中,2,1,)(mnm为为n阶贝塞尔函数的零点，即阶贝塞尔函数的零点，即0)()(nmnJ为为n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 的的模模。)()(rRJnmnHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数正交性的证明正交性的证明：先将：先将n n阶贝塞尔方程写成如下形式阶贝塞尔方程写成如下形式 则有则有.0)()(2Frnrdr
16、dFrdrd记记),()(),()(2211rJrFrJrFnn,0)()(12211FrnrdrdFrdrd.0)()(22222FrnrdrdFrdrd 于是于是.0)()()()()(021122102221RRdrdFrrFdrdFrrFdrrFrFr 取取,)(2)(1RRnknm 并利用并利用kmJRFJRFnknnmn,0)()(,0)()()(2)(1 即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例2：证明 0212222
17、 yxmyxy的解为)(xJxym)()(1xJxxJxymm)()()()(12112xJxxJxxJxxJxymmmm )(1)(2)(212xJxxJxxJxmmm)()()(21)(1)(2)(22221212xJxxmxJxxJxxxJxxJxxJxmmmmmm)()()(222212xJxmxxJxxJxmmm)()()(222222xJmxxJxxJxxmmm)()()(2222tJmttJ ttJtxmmm 0HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数5.4 傅立叶-贝塞尔级数定理定理 如果)(rf在(0,R)内分段连续,
18、且积分 drrfrR)(0 21的值有限，则)(rf能展成傅立叶贝塞尔级数：)()()(1rRJCrfnmmnm并且在 的连续点,级数收敛于)(rf)(rf；而在)(rf的间断点，级数收敛于 2)0()0(rfrf，其中)(2)()()(212)(0nmnnmnRmJRdrrRJrrfCHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例3 3：将：将1 1在在 10 x区间内展成区间内展成)()0(0 xJi的级数形式的级数形式.1)0(0)(1iiixJC)(1)(d1d)(1d)()0(1)0(012)0(002)0(10)0(0)0()
19、0(iiiiiJttJtttJxxxJii)(21)()0(2110)0(0iiiJdxxxJC1)0(1)0()0(0)()(21iiiiJxJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn解解)(2)(21)()0(1)0()0(2110)0(0jjiiiJJdxxxJC，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例4：将x在0 x2区间内展成)2()1(1xJi的级数形式 1)1(1)2(iii
20、xJCx)1(0123)1(d)(8ittJti)(4)1(2)1(iiiJC1)1(2)1()1(1)()2/(4iiiiJxJx)(d8)1(0223)1(itJti)(8)1(2)1(iiJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn解解，其中，其中)(2)21()1(2220)1(12iiiJdxxJxC由于由于20)1(12)21(dxxJxi从而从而于是有于是有HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例5：将 21x在0
21、x1区间内展成)()0(0 xJi的级数形式 1)0(02)(1iiixJCx)(21d)(1)0(2110)0(02iiiJxxxJxC)0(002)0(22)0(d)(1 1jtttJtjj)()(4)0(21)0(22)0(jjjjJJC1)0(13)0()0(02)()(81ijjiJxJx)0(012)0(22)0()(d/11jttJtjjttJtjj)0(0124)0(d)(2)(2)0(22)0(jjJ)()()(24)0(21)0(0)0(1)0(2)0(jjjjjJJJ)(8)0(13)0(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2
22、)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn解解，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有10)0(02d)(1xxxJxiHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例1:求解圆形薄盘上的热传导问题求解圆形薄盘上的热传导问题5.5 贝塞尔函数的应用0,20,0),(20,),()0,(0,20,),11(2222222ttRuRrrrutRrurrurruauatu0,0),1(,1,1)0,(0,1),1(2222tturrrutrrurruatu 设有半径为设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上
23、下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为的初始温度分布为 ，其中，其中r为圆盘内任一为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。21 rHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：20Ta T022 rrr(0)2()atT tAe)()(),(tTrPtru)(1)()()()(2rPrrPtTatTrP)()(1)()()(2rPrPrrPtTatT,0)1()0(0,0),1(,1,1)0,(0,1),1(2222ttu
24、rrrutrrurruatuHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数002 rrrBAln02)()(00rBYrAJ)(0rAJ0)()1(0AJ)0(n,3,2,1,2)0(nnn)()0(0rJAnnn0222 rrr02TaT022)0(nnnTaTtannneBT22)0(1)0(022)0()(ntannnerJCu1)0(02)()0,(1nnnrJCrur)(21d)(1)0(2110)0(02nnnJrrrJrC1)0(13)0()0(0)()(822)0(nnntanJerJun)(8)0(13)0(nnJ022 r
25、rr,0)1()0(0,0BA0HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数 设有半径为设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，初始速度为，试求该薄膜的振动规律。试求该薄膜的振动规律。问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：例例2:求解圆形薄膜轴对称振动问题求解圆形薄膜轴对称振动问题22/1Rr0,|),0(|,0),(,1)0,(,0)0,(0,),1(2222222ttutRuRrRrrurutRrrurrua
26、turtHUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数Tu TrTaT12 222rrrTaT02 TaT0222 rrr)0(,0)(R002 rrrBAln00A02)()(00rBYrAJ)(0rAJRn)1(,3,2,1,2)1(nRnn)()1(0rRJAnnn022 rrr0,|),0(|,0),(,1)0,(,0)0,(0,),1(222ttutRuRrRrrurutRruruaurtrrrtt0)()()(10RJARJARP令令HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数
27、02 TaT000A,3,2,1,2)1(nRnn)()1(0rRJAnnn000 T000TC tD00000uTE tF 0022)1(nnnTaRTatRDatRCTnnnnn)1()1(sincos)(sincos)1(0)1()1(rRJAatRDatRCTunnnnnnnnn)(sincos)1(0)1()1(rRJatRFatREnnnnn)()sincos()1(0)1()1(100rRJatRFatREFtEunnnnnn从而，原问题有形式级数解从而，原问题有形式级数解HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数0)0,(
28、ru00,0,1,2nFEn)()sincos()1(0)1()1(100rRJatRFatREFtEunnnnnn0)()1(010rRJEFnnn22)1(01)1(01)()0,(RrrRJFaRErunnnnt21)1(00220drrrdrRrERR)(2)()1()1(20)1(2)1(0022nnnRnJRRadrrRrJRrFrRtn)1(令令设设,2,1,0,)1(mm为为1阶贝塞尔函数的非负零点，即阶贝塞尔函数的非负零点，即0)()1(1mJ.),(2,0)()()1(202)1(0)1(00kmJRkmdrrRJrRrJmmmR则有则有(见课后练习见课后练习)HUST H
29、UST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数(1)2250(1)2(1)04d()()nnnRt JtaJ3(1)(1)04()nnRaJ 2(1)(1)25(1)2(1)04()()nnnnRJaJ0)(2)()()1(1)1()1(2)1(0nnnnJJJ(1)21320(1)2(1)(1)021d()()nnnnRttJ taJ(1)1320(1)2(1)(1)022()d()nnnnRttJ ttaJ(1)2022(1)2(1)0(1)(1)021()d()nnnnnnRtFtJ ttaJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn
