1、3.3.4 简单线性规划问题的实际应用【学习目标】1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型.2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划解应用题的一般步骤x，y，z约束条件(1)设出_；(2)列出_，确定_；(3)画出_；目标函数可行域(4)作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与_有交点，且使其截距最大或最小；(5)判断_，求出目标函数的
2、_，并回到原问题中作答.可行域最优解最值z6x4y练习：有 5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为_.【问题探究】1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.2.应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？答案：线性规划问题一般用图解
3、法，其步骤如下：(1)根据题意，设出变量 x，y；(2)找出线性约束条件；(3)确定线性目标函数 zf(x，y)；(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；(5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x，y)t(t 为参数)；(6)观察图形，找到直线 f(x，y)t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.题型 1 资源配置问题【例 1】某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印 舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为 A，B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥
4、物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10盒.若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利1200 元，该厂月初一次性购进原料 A，B 的量分别为 200 盒和300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y 套，月利润为z 元，由题意，得作出可行域如图 D19 所示图D19目标函数为 z700 x1200y.将点 A(20,24)代入 z700 x1200y，得 zmax7002012002442 800(元).答：当
5、该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时，月利润最大，最大利润为 42 800 元.糖果种类混合烹调包装A153B241【变式与拓展】1.某糖果厂生产 A，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟).每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹调的设备至多只能用机 30 小时，包装的设备只能用 15 小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.求目标函数z40 x50y的最大值，作出可行域(如图D22)，其边界OA：y0，AB：3xy9000，BC
6、：5x4y18000，CD：x2y7200，DO：x0.图 D22zmax401205030019 800.即生产A 种糖果120 箱，生产B 种糖果300 箱，可得最大利润 19 800 元.燃料种类产品 A产品 B产品 C燃料甲/吨1075燃料乙/吨5913题型 2 降低资源消耗问题【例 2】某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A，B，C，每消耗一吨燃料与产品 A，B，C 有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2 3，现需要三种产品 A，B，C 各 50 吨，63 吨，65 吨.问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A，B，C
7、 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式组求在可行域上的最优解.解：设该厂使用燃料甲 x 吨，燃料乙 y 吨，甲每吨 2t 元，则乙每吨为 3t 元.则成本为 z2tx3tyt(2x3y).因此，只需求 2x3y 的最小值即可.作出不等式组所表示的平面区域(如图 3-3-4).图 3-3-4【变式与拓展】2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质，售价 3 元；乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个
8、单位铁质，售价 2 元.若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用 10 x g 和 10y g，图 D23题型 3 整数解处理【例 3】(2013 年湖北)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A.31 200 元C.36 800 元B.36 000 元D.38 400 元思维突破
9、：设A 型客车x 辆，B 型客车y 辆.问题转化为线性规划问题.同时应注意到题中的x，y 只能取整数.解析：设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆(x，yN)，所用的总租金为 z 元，则z1600 x2400y，其中 x，y 满足不等式组画出可行域如图 D20，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为 x5，y12，此时 z 最小为 36 800.故选 C.图D20答案：C根据已知条件写出不等式组是做题的第一步；第二步画出可行域；第三步找出最优解.其中最困难的是第二步.整数解的线性规划问题.若取最小值时不是整数点，则考虑此点附近的整数点.【例 4】某沙漠地带，考察车每天行驶 200
10、千米，每辆考察车可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车，同时从驻地 A 出发，计划完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中3 辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回)，甲、乙两车行至 B 处后，仅留足自己返回驻所必需的汽油，将多余的汽油供给另外 3 辆使用，问：其他 3 辆可以行进的最远路是多少千米？易错分析：对线性的约束条件考虑不清不全，没考虑甲、乙两车供油后，自己还须返回这一条件，导致约束条件出错.解：设考察行至B 处用了x 天，从B 处到最远处用了y 天，则有 23(xy)2x145，即 5x3y35，且 x0，y0.同时从其余 3 辆车的载油量考虑，145(52)x
11、143，即 x4.作可行域(如图D21)，则M(4,5).图D21作直线 l：xy0，向右平移过点 M 时，zmax9.最远路程为 200(45)1800(千米).方法规律小结1.线性规划的两类重要实际问题的解题思路：(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取最值的解.(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.2.应用线性规划处理实际问题时应注意的问题：(1)在求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美.(2)在处理实际问题时，x0，y0 常被忽略，在解题中应注意.(3)在求解最优解时，一般采用图解法求解.
